浅谈微积分在高中数学中的应用

浅谈微积分在高中数学中的应用房山教师进修学校卢寒芳摘要：微积分是数学中的重要内容，其思想方法和根本理论有着广泛的应用，可以当作工具去解决高中数学中的一些问题．本文举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程，作函数图象，求平面区域的面积等方面的应用．关键词：导数；函数；方程；定积分；面积微积分的创立是数学开展中的里程碑，它的开展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．《普通高中数学课程标准》〔以下简称《课标》〕对微积分教学内容进行了改革．《课标》和过去的高中数学教学大纲相比，一大特点是将一元函数微积分的局部内容拿到高中教材中，让中学生初步了解微积分的思想，为高等数学的学习打下根底．那么，微积分在高中数学中有哪些应用？本文将举例说明微积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程、作函数图象、求平面区域的面积等方面的应用．一、导数在高中数学中的应用《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下根底”．1．导数在函数单调性问题上的应用函数的单调性是函数的最根本性质之一，是研究函数所要掌握的最根本的知识．用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷．例(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是〔〕A.B.(0,3)C.(1,4)D.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：对函数求导，求不等式和的解，那么的解为单调增区间．解：令，得，所以的单调增区间为，应选D．2．导数在函数的极值问题上的应用利用导数求极值可分为三步：1：求导数；2：求方程的根；3：检验在方程的根的左右两边的符号，确定极值．例求函数，的极值，最值．解：因为，令，得．又因为由表中可知，为函数的极小值点，．当时，，所以在区间上最大值为，最小值为.在高考中，关于函数极值问题比拟常见的题型是函数的极值确定字母的取值范围或值．例〔2008四川卷理〕是函数的一个极值点，求．解：因为，所以，因此．3．导数在方程解的问题上的应用(1)利用导数判定单调性，可研究方程根的个数问题.例假设，那么方程在上有多少根？解：设，那么，当且时，，故在上单调递减，而在与处都连续，且，故在上只有一个根．(2)用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法〔牛顿法〕．例求方程的近似解．解设，，可以知道方程的唯一根在开区间(1，2)之中，取x０＝2，牛顿法的迭代公式为xn+1＝xn－＝xn－＝，那么x１＝＝1.77185x２＝＝1.76324x３＝＝1.76323因此给定一个精确度，我们就可以求出该方程的近似解．4．用导数证明不等式利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式．例当时，证明不等式成立．证明：设，那么．∵∴∴在内单调递减，而，∴，故当时，成立．一般地，证明，可以构造函数，如果，那么在上是减函数，同时假设，由减函数的定义可知，时，有，即证明了．例〔2007年安徽高考试题〕设，．求证：当时，恒有．分析：此题要证明的不等式是由函数变形而来．所以证明此不等式，我们无需构造新的函数，只需要通过研究函数的单调性，就可以使结论获证．解：对求导得：，，故，，于是，，所以，当时，．因为，所以的极小值．不难求得，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．5．用微积分知识证明恒等式用微积分知识证明恒等式的实质是将等式问题转化成函数问题，进而求导证明恒等关系，依据．例证明．证设，．那么，．故．又时，．从而，因此．原题得证．6．导数在曲线的切线问题上的应用导数的几何意义：如果函数的导数存在，那么的函数在处的导数即为该函数在点〔，〕切线的斜率．利用这个我们可以求出曲线的切线方程．例〔2009宁夏海南卷文〕曲线在点〔0,1〕处的切线方程为．解析：因为，在点〔0,1〕处斜率斜率为k＝＝3，所以切线方程为y－1＝3x，即．例〔2009福建卷理〕假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数取值范围是_____________.解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法．由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以．这些题目都考查导数的几何意义，在填空题中也是一种典型题型，不容无视．7．运用微分学知识研究函数图像函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前，用描点法作图是十分必要的，不过它有缺陷：带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像，就能克服描点法作图的缺点，可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说，讨论函数图像的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)求出函数的单调区间，极值，列表；(4)观察函数是否有渐进线，如果有，求出渐进线；(5)求出函数的凸凹区间和拐点，列表；(6)确定一些特殊点，如与坐标轴的交点等．例描绘函数的图像．解①定义域为，值域为．②是偶函数，图形关于轴对称．③，令，解得驻点，，令，解得，④当，函数值无限接近于0，即是渐近线．综上，画函数草图如下：中学用微分学知识作函数图像，举一、二个例子就行了．这里作为函数的一个极为重要的特征—凹凸性，B版教材只在“探索与研究”中提到．其实学了导数，从单调性到凹凸性是很自然的事情．关于函数凹凸性的题目在高考中也屡次露面，我们应该重视函数凹凸性与导数的关系．8．导数在数列问题中的应用例1求数列的和(其中，)．分析：这道题可以用错位相减法求和，但假设用导数方法运算会使问题更加简明．解注意到是的导数，即，可先求数列的前和．当，1时，，然后等式两边同时对求导，有例2首项与公差都是正整数的等差数列满足对任意，都有，〔1〕求数列的前n项的和；〔2〕求数列的最小项．分析：这道题第2问可以把数列看成函数，求导得极小值即是所求的项．解〔1〕注意到，∴恒成立，∴那么，∴．〔2〕设，当1≤n＜5时，＜0，当n＞5时，＞0，故．二、积分在高中数学中的应用定积分是新课标中新加的内容，《课标》对定积分的定位如下：“〔1〕通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的根本思想，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下根底；〔2〕通过实例，直观了解微积分根本定理的含义；〔3〕了解微积分的文化价值．可见，高中课程学习定积分，重在粗浅地领略其主要思想和根本方法，从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观08、09年新课改地区高考主要在定积分的求法，定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．连续曲线，轴二直线所围成的曲边梯形的面积．例1．〔2008海南、宁夏卷理〕由直线，，曲线及轴所围图形的面积是〔〕A．B．C．D．解：如图，那么此区域的面积，应选D．如果平面区域是区间上的两条连续曲线与〔相交〕及直线所围成的，它的面积为例2．求由两条曲线与围成的平面区域，如图解：两条曲线的交点是与，那么此区域的面积定积分还可以用来求曲线的弧长、求旋转体的体积，虽然教材不作为教学内容，但可以向学生渗透一些思想．微积分在解决数学问题中有更广泛的用途，我们高中数学主要有这几种用法，今后也需要我们更全面地探索和研究更多的用法．高中阶段微积分的应用是表达了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，也为今后进一步学好微积分打下根底．相对于对代数和几何等经典内容已经臻于完善的教学研究，微积分的教学研究还不成熟