《微积分（第4版）》 习题课课件 多元函数微分学内容概括

第十章多元函数微分学习题课1.理解多元函数概念,了解二元函数极限及连续概念.2.理解偏导数与全微分的概念.3.掌握偏导数求法，多元复合函数求导法则,隐函数求导公式.4.会求曲面的切平面，空间曲线的切线.5.理解二元函数极值概念,会求二元函数极值及简单实际问题的最值,会用拉格朗日乘数法求条件极值.一、要求与重点

重点：多元函数、偏导数、全微分概念,多元复合函数求导法则,二元函数的极值与最值.

第十章多元函数微分学习题课

偏导数定义偏导数与连续偏导数几何意义求偏导数方法全微分应用全微分运算全微分定义偏导数应用直接求偏导数复合函数求导法则隐含数求导法偏导数的几何应用多元函数极值实际问题最值多元函数多元函数极限多元函数连续二、内容结构第十章多元函数微分学习题课

三、内容概括第十章多元函数微分学习题课

1.多元函数概念

定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数.记为（或记为）.

类似地可定义三元及三元以上函数．二元及二元以上函数统称为多元函数.2.多元函数的极限第十章多元函数微分学习题课

定义

设函数的定义域为D，是其内点，若当，时无限趋近常数A，则称A为函数当,

时的极限，记为

说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．3.多元函数的连续性第十章多元函数微分学习题课

定义

设二元函数的定义域为点集D，

是其内点且，如果则称二元函数在点处连续.

定义设函数

z=f(x,y)

在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,若全增量则称函数

z=f(x,y)在点

P0(x0,y0)的极限处连续.

在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．

在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理4.多元连续函数的性质第十章多元函数微分学习题课

第十章多元函数微分学习题课

5.偏导数概念

定义

设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量,如果极限存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为第十章多元函数微分学习题课

同理可定义函数在点y处对的偏导数,为

记为或如果函数在区域内任一点处的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，称为函数的偏导函数，简称为偏导数.记为或6.高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.第十章多元函数微分学习题课

函数的二阶偏导数为第十章多元函数微分学习题课

7.全微分概念

定义如果函数在点的全增量可以表示为其中而A,B不依赖于而仅与有关，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即且有二元函数连续、可导、可微的关系第十章多元函数微分学习题课

连续偏导数全微分偏导数连续极限8.全微分的应用计算函数改变量与函数值的近似值第十章多元函数微分学习题课

（1）函数改变量的近似公式（2）函数值的近似公式9.复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.第十章多元函数微分学习题课

定理如果函数及都在点t可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点t可导，且其导数为zuvt函数关系图第十章多元函数微分学习题课

函数关系图

定理如果函数及都在点

可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点

可导，且其导数为zuvxy10.隐函数的求导法则第十章多元函数微分学习题课

（1）确定的函数的导数

定理设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数它满足条件，并有

（2）确定的函数的偏导数第十章多元函数微分学习题课

定理设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一邻域内唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数它满足条件，并有

11.偏导数在几何上的应用则切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面第十章多元函数微分学习题课

设空间曲线方程为(２)曲面的切平面与法线则其切平面方程为法线方程为第十章多元函数微分学习题课

设空间曲面方程为12.多元函数的极值第十章多元函数微分学习题课

极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.

定义

设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；二元函数取得极值的条件

一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.可导函数的极值点一定为驻点，但驻点未必为极值点.第十章多元函数微分学习题课

定理（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为同时为零，即第十章多元函数微分学习题课

定理（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，且在该点有一阶及二阶连续偏导数.且若令则在点是否取得极值的条件如下：（1）当时有极值，当时有极大值，当时有极小值；（2）当时没有极值；（3）当时可能有极值.第十章多元函数微分学习题课

求函数极值的一般步骤：(1)解方程组求出实数解，得驻点.（2）对于每一个驻点

求出二阶偏导数的值A、B、C.

（3）确定的符号，再判定是