中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题07 全等三角形旋转、一线三等角模型（重点突围）(教师版)

专题07全等三角形旋转、一线三等角模型【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一全等三角形旋转模型】 1【考向二全等三角形一线三等角模型】 26【直击中考】【考向一全等三角形旋转模型】例题：（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D，E分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0绕点A顺时针方向旋转，旋转角为SKIPIF1<0．如图②，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如图②，请直接写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．(2)将SKIPIF1<0旋转至如图③所示位置时，请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)在旋转的过程中，当SKIPIF1<0的面积最大时，SKIPIF1<0______．（直接写出答案即可）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，理由见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0，可得结论；（2）设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点O，证明SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进一步得到SKIPIF1<0，即可得到结论．（3）在SKIPIF1<0中，边SKIPIF1<0的长度为定值，当SKIPIF1<0边上的高最大时，SKIPIF1<0的面积最大，则当点D在SKIPIF1<0的垂直平分线上时，SKIPIF1<0的面积最大，进一步求解即可得到旋转角的度数．【详解】（1）SKIPIF1<0，理由如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点O，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；（3）在SKIPIF1<0中，边SKIPIF1<0的长度为定值，当SKIPIF1<0边上的高最大时，SKIPIF1<0的面积最大，∴当点D在SKIPIF1<0的垂直平分线上时，SKIPIF1<0的面积最大，如图所示，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点G，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0的面积最大时，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，证明SKIPIF1<0是解题的关键．【变式训练】一、选择题1．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形SKIPIF1<0中，将边SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转至点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据旋转的性质，可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0．取点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中点，并连接SKIPIF1<0．根据等腰三角形三线合一的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，可证得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而证得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，取点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中点，并连接SKIPIF1<0．依题意得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理的运用等知识，解题的关键是辅助线的添加．2．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直角SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0旋转，两边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是等腰直角三角形；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根据等腰直角三角形的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即证得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0全等，根据全等三角形性质判断结论是否正确．【详解】解：∵SKIPIF1<0，直角SKIPIF1<0的顶点P是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故①正确；∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，故②正确；∵SKIPIF1<0是等腰直角三角形，P是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0不一定是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0不一定成立，故③错误；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故④正确．故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，DE平分SKIPIF1<0交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，其中一定正确的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【分析】根据旋转的性质判断得SKIPIF1<0，可判断③正确，证SKIPIF1<0可判断④正确，从而得出结果.【详解】解：根据旋转的性质可知，SKIPIF1<0，∵DE平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴PH=PD，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故③正确；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故④正确；根据已知条件无法证明①DH=DE，②DP=DG.故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．二、填空题4．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0，点B到x轴的距离为4，若将SKIPIF1<0绕点O逆时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】过B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，构建SKIPIF1<0，即可得出答案．【详解】过B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋转可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．5．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0的中点处，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0自由旋转，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的长为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】连接AO，证明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在利用勾股定理求出SKIPIF1<0的长即可．【详解】如图，连接AO，∵由题意可知SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．6．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'．当点P'落在边BC上时，∠PP'C的度数为________；当线段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋转性质及旋转角知△BPP′为等边三角形，得到∠PP′B=60°；当点P'落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再证明△ABP为等腰直角三角形，进而得到∠EP′B=∠APB=45°，最后当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．【详解】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，∴∠PP′B=60°，当点P'落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由点P'落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG与△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=SKIPIF1<0CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=SKIPIF1<0BC，又已知AB=SKIPIF1<0BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP为等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案为：120°，75°．【点睛】本题考察了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．三、解答题7．（2022·山东日照·校考二模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0延长线上一动点，连接SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转，旋转角为SKIPIF1<0，得到线段SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如图1，当SKIPIF1<0时，①求证：SKIPIF1<0；②求SKIPIF1<0的度数；(2)如图2，当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量关系．(3)当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请直接写出点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为【答案】(1)①见解析；②SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）①证明SKIPIF1<0可得结论．②利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0解决问题．（3）分两种情形，解直角三角形求出SKIPIF1<0即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，SKIPIF1<0将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转，旋转角为SKIPIF1<0，得到线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②解：如图1中，设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）解：结论：SKIPIF1<0．理由：如图2中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0．如图SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0是钝角三角形时，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0是锐角三角形时，同法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上所述，满足条件的SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题注意一题多解．8．（2022·河北保定·校考一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10SKIPIF1<0cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝SKIPIF1<0，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ．(1)填空：BC＝，BD＝；(2)点P运动几秒，DQ最短；(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．【答案】(1)20cm，8SKIPIF1<0cm(2)4秒(3)SKIPIF1<0(4)8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0【分析】（1）利用勾股定理求出BC，利用三角函数求出AD，即可得到BD；（2）当PD⊥BC时，PD最短，即DQ最短，利用面积求出PD，即可得到运动时间；（3）分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，证明△DGQ≌△PHD，推出QG=DH，DG=PH，利用面积求出DH=QG=SKIPIF1<0，求出DG即可求出结果；（4）过点D作DM⊥BC于点M，则MD=MB=SKIPIF1<0BD=8，分两种情况，①当点Q在BC左侧时，得∠BPD=SKIPIF1<0，求出PM即可；②当点Q在BC右侧时，得到∠BPD=SKIPIF1<0，求出PM即可．（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝10SKIPIF1<0cm，∴BC=SKIPIF1<0AB=20cm，∵tan∠ACD＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得AD=2SKIPIF1<0cm，∴BD=AB-AD=8SKIPIF1<0cm，故答案为：20cm，8SKIPIF1<0cm；（2）如图，当PD⊥BC时，PD最短，即DQ最短，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得PD=8，∴点P运动8÷2=4秒，∴点P运动4秒时DQ最短；（3）分别过点Q、P作AB的垂线，垂足分别为点G，H，则BH=PH，∠QGD=∠PHD=SKIPIF1<0，∵∠QDG+∠DQG=SKIPIF1<0，∠QDG+∠PDH=SKIPIF1<0，∴∠DQG=∠PDH，又∵PD=QD，∴△DGQ≌△PHD，∴QG=DH，DG=PH，∵SKIPIF1<0，BD=8SKIPIF1<0，∴DH=QG=SKIPIF1<0，∵DG=PH=BH=BD-DH=7SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（4）过点D作DM⊥BC于点M，则MD=MB=SKIPIF1<0BD=8，分两种情况，①当点Q在BC左侧时，如图（1），由题意知∠QPD=SKIPIF1<0，又∵BPQ=SKIPIF1<0，∴∠BPD=SKIPIF1<0，∴PM=SKIPIF1<0MD=8SKIPIF1<0，∴BP=BM+PM=8+8SKIPIF1<0；②当点Q在BC右侧时，如图（2），∵∠QPD=SKIPIF1<0，BPQ=SKIPIF1<0，∴∠BPD=SKIPIF1<0，∴PM=SKIPIF1<0MD=SKIPIF1<0，∴BP=BM+PM=8+SKIPIF1<0；故BP的长度为8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，垂线段最短的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及掌握锐角三角函数是解题的关键．9．（2022秋·九年级单元测试）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：SKIPIF1<0；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE(2)①见解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）证明△BCG≌△DCE可得结论；（2）①在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．证明△BCK≌△DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，推出△KCH是等腰直角三角形，即可解决问题；②分两种情形：当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即SKIPIF1<0．综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且SKIPIF1<0．故答案为：BG＝DE且SKIPIF1<0；（2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形∴CE＝CH＝1，∴SKIPIF1<0．∵AB＝3，∴SKIPIF1<0，设DH＝x，则SKIPIF1<0，在Rt△BDH中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍）故此时SKIPIF1<0；如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴SKIPIF1<0，在Rt△BDH中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（舍）故此时SKIPIF1<0；综上所述，满足条件的DH的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D在SKIPIF1<0上．(1)如图1，若点F在SKIPIF1<0的延长线上，连接SKIPIF1<0，探究线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D与点A重合，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点D旋转，连接SKIPIF1<0，点G为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，在旋转的过程中，求SKIPIF1<0的最小值；(3)如图3，若点D为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于点M，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点N，且SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，证明见解析(2)SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）过F作SKIPIF1<0于H，过E作SKIPIF1<0于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；（2）第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取SKIPIF1<0的中点O，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，构建相似，转化线段即可得到答案；（3）过点C作SKIPIF1<0平行线，点F作SKIPIF1<0平行线交于点G；过点G作SKIPIF1<0于点H，过点K作SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．【详解】（1）解：（1）线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的数量关系：SKIPIF1<0，证明如下：过F作SKIPIF1<0于H，过E作SKIPIF1<0于G，如图：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点F、D、A、E四点共圆，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）取SKIPIF1<0的中点O，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图：∵G为SKIPIF1<0的中点，O为SKIPIF1<0中点，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的最小，需SKIPIF1<0最小，∴当H、G、C三点共线时，SKIPIF1<0的最小，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，如图：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）过点C作SKIPIF1<0平行线，点F作SKIPIF1<0平行线交于点G；过点G作SKIPIF1<0于点H，过点K作SKIPIF1<0，如图：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，中间穿插了不同的模型，对模型的运用与转化能力要求很高，难度较大，属于压轴题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形或相似三角形．11．（2022·内蒙古通辽·模拟预测）综合实践问题情境在图SKIPIF1<0所示的直角三角形纸片SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点．数学老师让同学们将SKIPIF1<0绕中点SKIPIF1<0做图形的旋转实验，探究旋转过程中线段之间的关系．解决问题（1）“实践小组”的同学们将SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为中心按逆时针旋转，当点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0与它的对应边SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．他们发现：SKIPIF1<0．请你帮助他们写出证明过程．数学思考（2）在图SKIPIF1<0的基础上，“实践小组”的同学们继续将SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为中心进行逆时针旋转，当SKIPIF1<0的对应边SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．他们认为SKIPIF1<0．他们的认识是否正确？请说明理由．再探发现（3）解决完上面两个问题后，“实践小组”的同学们在图SKIPIF1<0中连接SKIPIF1<0，他们认为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也具有一定的数量关系．请你写出这个数量关系______．（不要求证明）【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得SKIPIF1<0，根据等边对等角、旋转的性质可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根据等腰三角形三线合一可证SKIPIF1<0；（2）过点O作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为N，M，利用“角边角”证明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，再利用“角角边”证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而证明四边形SKIPIF1<0正方形，通过等量代换可得SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性质得出SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0；（3）利用正方形的性质可得SKIPIF1<0，再结合（2）的结论可得SKIPIF1<0．【详解】解：（1）证明如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由旋转的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）他们的认识正确，理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．如图，过点O作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别为N，M，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由旋转的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0矩形．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0正方形．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）如图，连接SKIPIF1<0．由（2）知四边形SKIPIF1<0正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．【考向二全等三角形一线三等角模型】例题：（2023·全国·九年级专题练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点C，过A作SKIPIF1<0于点D，过B作SKIPIF1<0于点E．求证：SKIPIF1<0．(2)如图3，在SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求点C到SKIPIF1<0边的距离．(3)如图4，在SKIPIF1<0中，E为边SKIPIF1<0上的一点，F为边SKIPIF1<0上的一点．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）由直角三角形的性质得出SKIPIF1<0，可证明SKIPIF1<0；（2）过点D作SKIPIF1<0于点F，过点C作SKIPIF1<0于，交SKIPIF1<0的延长线于点E，证明SKIPIF1<0，由全等三角形的性质可得出SKIPIF1<0，则可得出答案；（3）过点D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点M，证明SKIPIF1<0，由相似三角形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：过点D作SKIPIF1<0于点F，过点C作SKIPIF1<0于，交SKIPIF1<0的延长线于点E，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即点C到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；（3）过点D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点M，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练】一、选择题1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，SKIPIF1<0，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．二、解答题2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图1，SKIPIF1<0，垂足分别为D，E．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(2)在其它条件不变的前提下，将SKIPIF1<0所在直线变换到SKIPIF1<0的外部（如图2），请你猜想SKIPIF1<0三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，C，E三点在同一条直线上，并且有SKIPIF1<0，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想