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第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为X01P9a2-a3-8a则常数a的值为(A)A.13 B.23 C.13或23 D.-解析由分布列的性质可知0≤9a2-a≤12.已知ξ的分布列如表所示.ξ012P?!?其中,“!”处完全无法看清,尽管两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此计算,下列各式中:①E(ξ)=1;②D(ξ)>1;③P(ξ=0)≤12,正确的个数是(CA.0 B.1 C.2 D.3解析设“?”=a,“!”=b,则a,b∈[0,1],2a+b=1.①E(ξ)=0×a+1×b+2×a=2a+b=1,因此①正确;②D(ξ)=(0-1)2×a+(1-1)2×b+(2-1)2×a=2a≤1,因此②不正确;③P(ξ=0)=a=1-b2≤123.[2023南昌市一模]某班准备购买班服,确定从A,B两种款式中选出一种统一购买.现在全班50位同学赞成购买A,B款式的人数分别为20,30,为了尽量统一意见,准备在全班进行3轮宣传,每轮宣传从全班同学中随机选出一位,介绍他赞成所选款式的理由.假设每轮宣传后,赞成该同学所选款式的不会改变意见,不赞成该同学所选款式的同学会有5位改变意见,改成赞成该同学所选款式.(1)计算第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率.(2)设经过3轮宣传后赞成A款式的人数为X,求随机变量X的数学期望.解析(1)记第i轮宣传选到的同学赞成A款式为事件Ai,第i轮宣传选到的同学赞成B款式为事件Bi,i=1,2,3.因为P(A1A2)=2050×2550=P(B1A2)=3050×1550=所以第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率P(A2)=P(A1A2)+P(B1A2)=15+950=(2)经过3轮宣传后赞成A款式的人数X的所有可能取值为5,15,25,35,则P(X=5)=P(B1B2B3)=3050×3550×4050P(X=15)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=2050×2550×3050+3050×1550×3050+3050P(X=25)=P(B1A2A3)+P(A1B2A3)+P(A1A2B3)=3050×1550×2050+2050×2550×2050+2050P(X=35)=P(A1A2A3)=2050×2550×3050所以X的分布列为X5152535P4239293所以E(X)=5×42125+15×39125+25×29125+35×34.[2023南宁市第一次适应性测试]在某次现场招聘会上,某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位,规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的问题有4个,乙每个问题能答对的概率为23(1)求甲在第一个问题答错的情况下,第二个和第三个问题均答对的概率;(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙谁被录用的可能性更大.解析(1)记“甲第一个问题答错”为事件A,“甲第二个和第三个问题均答对”为事件B,则P(A)=26=13,P(AB)=13×45×∴甲在第一个问题答错的条件下,第二个和第三个问题均答对的概率为P(B|A)=P(AB)P((2)设甲答对的问题数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21∴X的分布列为X123P131E(X)=1×15+2×35+3×15D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15设乙答对的问题数为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3.P(Y=0)=(1-23)3=1P(Y=1)=C31×23×(1-23)P(Y=2)=C32×(23)2×(1-23P(Y=3)=(23)3=8∴Y的分布列为Y0123P1248E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×8(另解:∵Y~B(3,23),∴E(Y)=3×
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