初中数学总复习知识

初中数学

基础知识系统化整理

（2018年春修改）

编撰者朱静安韩庆川

—数与式

1实数

1.数的分类及概念

「正整数

X0

'有理数（有限或无限循环小数）I负整数

工正分数

工负分数

实数＜

抚理数（无限不循环小数）｛彦流

｛正有理数

正实数

正无理数

实数Y0

｛负无理数

负实数

负有理数

2.非负数：正实数与零的统称。（表为：a20）

常见的非负数有三种:

推广：a的偶次方

Ia|

、4a(a40)

推广：痴具有双重非负性

性质：几个非负数的和为0,则每个非负数均为0。

运用：已知：［2x+y1+44—y+（x-5z”=0，那么x-2y-3z的值为多少？

3.倒数：（1）定义:如果两个数的乘积为1.那么这两个数互为倒数.

（2）性质：①乘积为1;②0没有倒数；③土1的倒数是本身。

4.相反数：（1）定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.

（2）求相反数的公式：a的相反数为-a.

（3）性质：①和为0;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③0的相反数是0

5.数轴：

（1）定义（“三要素”）：具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.

（2）数轴上的点与实数的对应关系：

所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如血也可以在数轴上表示出来，所以数轴

上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。

6.绝对值：

(1)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

代数定义：正数的绝对值是它的本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数

注意：。的绝对值既等于它本省，又等于它的相反数。

1a(a>0)

Ia|=J

Io(a=0)

-a(a<0)

(2)怎样去掉代数式的绝对值符号？

若代数式的结果为正数，直接去掉绝对值符号，但是代数式要加括号。

若代数式的结果为负数，去掉绝对值符号后，将代数式加上括号，前面再加上负号。

7.科学记数法：N=aX10"(lWa<10,n是整数)。

(1)当N是大于1的数时，n=N的整数位数减去1。如：3241.56=3.24156X103.

(2)当N是小于1的数时，n=N的第一个有效数字前0的个数.

如:0.0000324156=3.24156x10-5

8.有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数

字。如：0.004015,有效数字是4,0,1,5.一共四个.又如:0.00401500,有效数字是4,0,1,5,0,0,

一共六个.思考：2.15X10"的有效数字呢？

9.平方根

(1)定义：一个数的平方等于a,我们就说这个数是a的平方根。

(2)记法：a的平方根记作：土布；(a的算术平方根记作：a的立方根记作：板.)

(3)性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。

0的平方根是0。

负数没有平方根。

10.算术平方根：

正数有两个平方根，其中正的平方根叫这个正数的算术平方根。

0的算术平方根是0.

负数没有算术平方根

11.立方根

任何实数都有且只有一个立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负

数。

12.塞

a=a,a•a•a.....a,a(n为正整数)a°=l(aWO)

__________________，

n个a

a=£三口诀为：底数颠倒，指数变号.如(|)

2实数的运算

1.运算法则

(1)有理数加法法则：同号........，异号........。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。(变减为加)

(3)有理数乘法法则：两数相乘，同号……，异号……，再把……

(4)有理数除法法则：①两数相除，同号……，异号……，再把……

②除以一个数，等于乘以这个数的倒数。(变除为乘)

(5)有理数的乘方：变为乘法。

2.运算定律(五个:加法交换律，加法结合律；乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律)

3.运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右(如5+，X5),有括号时先算小括号

5

内的，再算中括号内的，后算大括号内的。。

4.逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。

5.实数的大小比较：

(1)差值比较法：如a-b>0,则a>b

如a-b=O,则a=b

如a-b<0,则a<b

例如：当实数a<0时，1+al—a(填“v”或“>”)

(2)商值比较法：若a+b>l,则a>b；

若a+b=l,则a=b；

若a-rb<l,则a<b；

(3)平方比较法如：比较2痛与3百

(4)倒数比较法如：比较历一6和6—后

亚-“翁:"小小

.•册6

灵活运用：

己知：a-b=-2且ab<0,(a#0,b#0),判断a、b的符号。

3整式

一.什么叫代数式？

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

二、代数式的分类

代数式分有理式和无理式两大类。

若字母在根号内的代数式叫无理式，否则，若字母不在根号内的代数式叫有理式。

有理式包括整式和分式两大类。

三、基本概念

1.什么叫整式、什么叫分式？

分母中含有字母的代数式叫做分式。如：—O

a3a

分母中不含有字母的代数式叫做整式。

整式和分式统称有理式，整式包括单项式和多项式。

2.什么叫单项式、多项式？

数字和字母之间，字母和字母之间只有乘除运算的代数式叫单项式。如：3a°be,-a2be.

3

单独的一个数或字母也是单项式。如：。、0、-3。

几个单项式的和或差，叫做多项式。如：2x2y-3y+l.

3.什么叫单项式的系数、次数？

单项式前面的数字叫单项式的系数，如上1//,JC的系数是1上，11乃/,3,,的系数是上1乃

3333

单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数。如1病比的次数是4次，1乃/人3c的次数是6次.

33

4.什么叫多项式的次数和项数？

在一个多项式中，次数最高那一项的次数，叫多项式的次数。如：2x?y-3y+l中，次数最高的一项为'"x》",

故它是3次多项式。

在一个多项式中，有几项，就叫几项式。如2x0-3y+l有三项，叫三项式，它是三次三项式。注意：多项式

的每一项都有符号。

5.什么叫同类项？

两个单项式所含字母相同，相同字母的指数也相同，这样的单项式叫做同类项。如：历与2a2历.

3

四、去括号法则

括号前为正号时，把括号连同前面的"+”号去掉以后，括号内的各项不变号；

括号前是负号，把括号和它前面的号去掉，要改变括号内各项的符号

五、三种区分

(1)怎样区分整式和分式？分母中有字母是分式，分母中没有字母则为整式。

(2)怎样区分单项式与多项式？整式中有加减运算的是多项式，整式中没有加减运算只有乘积运算

则是单项式。

(3)怎样区分分数与整数？怎样区分分式与整式？

区分原则：数看化简式，字母看原形式。如：？不是分数，而是整数；二不是整式，而是分式。

2x

4.整式的运算

(-)整式的加减运算：合并同类项。

(二)整式的累的运算：

①同底数幕相乘：a'n-a"=am+n②同底数幕相除:am^an=am-n

③事的乘方：("")"=a'""④积的乘方：(ab)"=a"b"

⑤分式乘方：（£）"=注（注意：凡是公式都可以倒用）

⑥零指数嘉的意义：a°=l（a^O）

⑦负指数幕的意义：。一°=A（a，O,p是正整数）

a'

（三）整式的乘法运算

1.单项式与多项式的乘法：

⑴单X单;（2）单X多;⑶多X多。

2.特殊形式的乘法：运用乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2—b2.

完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2.

三项和的完全平方公式：3+〃+c）2=a2+h2+c2+2ab+2hc+lac

（四）整式的除法

单项式与多项式的除法：⑴单+单;（2）多+单。

七、充分理解公式中字母的含义

公式的字母不仅代表一个数字、一个单独的字母，而且代表一个单项式、一个多项式、一个非常复杂

的多项式、甚至代表一个国家、一个地球、一个宇宙，代表一切的一切.

八、用公式做题三大步骤：找模、整模、用模.

九、公式的三用：顺用、倒用（世界上所有的公式都可以倒用）、变形用.

十、常用的变形公式有

⑴/+〃=(a+by-2ab

(2)/+b2=(a-b)2+2ab

(3)(。+A)~—(a—b)~+4ab

(4)(〃-b)2=(〃+b)2-4ab

(a-bf

(5)。+b=

(a-b)

(6)Q—b-----------

(4+h)

⑺a2+/+6J=(〃+〃+c)2_2(ab+Oc+ac)

(S)ah+he+ac=^-[(a+h+c)2-(a2+h2+c2)]

(9)/+/+c2-ab-bc—c=?(f)、(―(…沟

(10)/+1=(a+与-2

a-a

(1l)a2+-L=(a--)2+2

aa

以上常用的变形公式常用于代数式的整体变用，对于解决难题很有帮助。

5.分解因式

1.分解因式：又叫因式分解，就是把一个多项式变成几个整式的乘积形式。

2.分解因式注意点：(1)分解因式要彻底，要分解到每一个因式不能再分解为止

(2)分解因式的结果不带中括号

(3)如第一项系数为负，先将负号提出来

(4)注意分解因式的范围(有理数范围内还是实数范围内)

3.分解因式的步骤：一提二套三分组。

提：指提公因式。如24x)2-16x?yz

套：指套用公式：a2±2ab+b2=(a±b)~

a~-b~=(a+b)(a-b)

稍复杂的可以分组，分组要确保组与组之间有联系，组与组之间能再分解。

4.分解因式的常用方法：

(1)提取公因式法；(2)倒用乘法公式法；(3)分组分解法；(4)十字相乘法.

尝试：(x+2y)2-x2-2xy.(2m+3n)(2m-n)-4n(2m-n)

m,：(p-q)-p+q(X2-2X)2+2X(X-2)+1

3x'-48y,4a2b2-（a2+b2）2

6.分式

一.什么叫分式？

分母中有字母的式子叫分式。

二.分式的三种条件：分式有意义的条件：分母不等于0

分式无意义的条件：分母等于0

分式的值为0的条件：分母不等于0,分子等于0

三.分式的基本性质：

分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

四、什么叫分式的约分、通分？

将分式的分子和分母中同时除以公因式叫做约去.

把不同的分母的分式化成同分母的分式叫通分。

五、分式的运算

「同分母的：分母不变，分子向加减。

（1）分式的加减Y

L异分母的：先通分，化为同分母的再加减。

如何确定最简公分母？

（1）各个分母先分解因式；（2）系数取各系数的最小公倍数，因式取各个因式的最高次幕，然后全部

相乘.

（2）分式的乘法：分子分母先分解因式，再约分，约分后，分子乘分子，分母乘分母。

（3）分式的除法：变除为乘。

（4）分式的乘除法与分式的加减法步骤的区别？

分式的乘除法：（1）分子分母都要分解因式；（2）约分；（3）相乘，分子乘分子，分母乘分母.

分式的加减法的步骤：（1）只把分母分解因式；（2）通分；（3）按同分母法则计算.

（5）分式的混合运算：有括号，先算括号里面的；没有括号，先算乘除，再算加减.

六、分式方程

1.什么叫分式方程？

分母中含未知数的方程，叫分式方程。如：—1+-^2-=-1

2xx+32

2.解分式方程

(1)基本思想:

转化___________

分式方程整式方程

方程两边同是乘以最简公分母

如何将分式方程化为整式方程？答：去分母一去括号一移项一合并同类项一降基排列.

(2)解分式方程的基本步骤：

①降累排列分母；

②提分母第一项的负号；

③将分母的负号写在分数线前；

④分母分解因式.

⑤去分母，方程两边同时乘以最简公分母；

⑥去括号；

⑦移项；

⑧合并同类项；

⑨未知数系数化为1；

⑩检验：将未知数的值代入最简公分母，看是否为0.若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方

程的增根。

总的来说：变形三步+分母分解因式+老五步+检验.

3.列分式方程：与以前列方程的方法步骤完全一样，只不过别忘了写检验.

7.二次根式

一.对的含义的理解

&表示a的算术平方根，由于负数没有算术平方根，所以，在“右”中，被开方数必须是非负数,

即：a20.

二.什么叫二次根式？

形如的式子，叫做二次根式.二次根式的实质是指一个数的算术平方根.

三.理解二次根式的双重非负性

(1)在“右”中，由于负数没有算术平方根，所以被开方数必须是非负数，即：a20.

(2)在“\[a"中，由于一个数的算术平方根不可能是负数，所以G的结果不可能是负数，故

0.

四.二次根式的两个重要性质

(1)(V«)2=«(a>0)

(2)=\a\

五、什么叫最简二次根式？

若一个二次根式满足两个条件：被开方数不含开方开得尽的因数或因式，被开方数不含分母，这样的

二次根式叫做最简二次根式。

二次根式运算的结果必须化成最简二次根式，同时分母不含根号.

六、怎样化简二次根式？

化简公式有两个：(1)Vab=Va•Vb(a20,b20)

(2)Ja+b=Va-+-y/b(a20,b>0)

七、二次根式的运算

(1)二次根式的加减法：先将各个二次根式化简，再合并同类二次根式。

(2)二次根式的乘法

Va•Vb--Vab(a，0,b20)

(3)二次根式的除法

Va-S-Vb=Va+b(a>0,b>0)

(4)二次根式的混合运算

符合公式形式的要按公式计算，没有公式形式的按运算顺序算。

运算顺序：如果有括号，先算括号；没有括号的，先乘除，后加减.

八、二次根式的估算：记住下列数据有利于估算

(1)记住0——10的算术平方根的近似值

Vo=0;VT=1;V2«1.414;V6«2.449;Vf«2.646;

V3=1.732;V4=2;渥=2.828;彼=3;

V5«2.236;VTox3.162;

(2)记住下列各数算术平方根：

•x/5"=0;A/T=1;VT=2;

邪=3;VT6-=4;V25-=5;

回二6;四二7;洞二8;V144=12;Vi69=13;Vi96=14;

V8T=9；A/T60=10；5/T2T=11;V225=15;V256=16;V289=17;

7324=18;7361=19;7400=20;

7441=21;V484=22;7529=23;

"576=24;V625=25;

V676=26;J729=27;

"784=28;

784?=29;V900=30;

(2)记住下列各数立方根

g=—i；V5=o；Vi=i；

双=2而=3;痴=4;

V125=5;V216=6;

V343=7;VM2=8;

V729=9;V1000=10;

二方程与不等式

1.一元一次方程

i.方程：含未知数的等式叫方程。

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

3.解方程的依据一等式的基本性质

（1）等式两边同时加上或减去同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式两边同时乘以同一个数，所得结果仍是等式。

（3）等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。

4.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程叫一元一次方程。

5.解一元一次方程的程序：去分母一去括号一移项一合并同类项一未知数系数化成1.

6.列方程解应用题的步骤

（1）“勾”：在题中勾出表示等量的句子。认真审题，理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是

什么，问题给出和涉及的相等关系（或不等关系）是什么。

（2）“改”：将表示等量的句子改写具有“=”的等量关系。

（3）“析”：分析怎么计算，既分析数量关系，怎样进行计算。

（4）“设”：将不知道的设为未知数。

（5）“列”：列方程.

（6）“解”：解方程（组或不等式）.

（7）“验”：检验，看是否符合题意和符合实际。

（8）“答”：写答案。

7.列方程怎样设未知数？

（1）直接设：求什么，设什么叫直接设。

（2）间接设：不设求的为未知数，而设其它数量为未知数，叫间接设。

8.设未知数的小技巧：设“小”些的数为x,可以使计算简单。

9.关于等量关系的使用

在一道应用题，一般都有两个或三个等量关系。一般来说，其中一个等量关系可用于设未知数，另

一个用于列方程。

10.什么叫不定方程（组）？

当未知数的个数多于方程的个数，就叫不定方程（组）.

2.二元一次方程组

1.二元一次方程：含有两个未知数，未知项的最高次数为1的整式方程叫二元一次方程。

2.二元一次方程组：一个方程组中，共含有两个未知数，未知项的最高次数为1,这样的方程组叫二

元一次方程组。

3.二元一次方程组的解：方程组中每个方程的公共解。

4.二元一次方程组的解法：基本思想：“消元”

(1)代入消元法(2)加减消元法(3)图像解法

5.三元一次方程组的解法：与二元一次方程组相同，“消元”。

3.一元二次方程

1.一元二次方程定义：有一个未知数，未知项的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。

2.一般形式：ax~+hx+c=0(a0)

如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式？

(去分母一去括号一移项一合并同类项~降事排列.)

3.解法：(1)直接开平方法

(2)配方法(注意步骤和推导求根公式)

(3)公式法：x=二"±"士"(02—4ac>0)

2a

(4)因式分解法(特征：方程右边为0)

说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化

成一元二次方程的标准形式。

4.根的判别式：A=b2-4ac

当△=A?-4ac>0时，-元二次方程ox?+bx+c=0(。H0)有两个不相等的实数根.反之亦然.

当△=〃—4ac=0时,一元二次方程a?+陵+。=0(。。0)有两个相等的实数根.反之亦然.

当△=〃-4ac<0时,一元二次方程以②+Ox+c=0(aH0)没有的实数根.反之亦然.

bc

4.根与系数顶的关系：X)4-X=-,X|,X=一

2a2a

逆定理：若用+/="2，当，无2=〃，则以西,82为根的一元二次方程是：x2-iwc+n=0«

5.解应用题：关键是找等量关系。

常见类型：(1)儿何面积问题：如花圆修路问题

(2)商品数量、价钱、利润问题

(3)连续两次增减问题:逐年逐月分析法.

5一元一次不等式和一元一次不等式组

一、基本概念

1.什么叫不等式？

用不等号连接的式子。如a>b、a<b、a》b、aWb、aWb。

2.什么叫一元一次不等式？

含有一个未知数，未知项的最高次数为1且不等号两边是关于未知数的整式叫元一次不等式组：

3.什么叫一元一次不等式组？

由两个一元一次不等式组合在一起，叫一元一次不等式组。

二、不等式的性质：

(l)a>b*--►a+c>b+c

(2)a>b----ac>bc(c>0)

(3)a>b-->ac<bc(c<0)

(4)a>b,b>c^a>c(传递性)

⑸a>b,c>dfa+c>b+d.

三.解一元一次不等式

步骤：与解一元一次方程步骤完全相同.

去分母f去括号一移项一合并同类项一未知数系数化成L

三、解一元一次不等式组

先解出每一个不等式，再取各个不等式的公共解。

怎样取公共解？大大取较大；小小取较小；小大大小中间找：大大小小解不了.

四、怎样求不等式或不等式组的特殊解？

先解出不等式、不等式组，再按要求取整数解，正数解、负数解等。

五、怎样列一元一次不等式或不等式组？

答：抓住题中的“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超过”，“至少”、“至多”……等字眼，

列出不等式，另外，还要善于挖掘题目中隐含的不等关系来列不等式。

六、常见题型：

(1)不满也不空的问题.

(2)选择费用优惠问题.

(3)方案设计型的问题：方案设计中，必须求出未知数x的最大范围与最小范围，一般来说至少要列

两个不等式，组成不等式组。

（4）最优化问题。

方案设计型中的利润最大值、成本最小值等问题：要设两个未知数，销售利润、成本也要设一个未

知数如w元，才能建立一次函数或二次函数的关系式，用一次函数或二次函数的增减性模型来解决。

6方程与不等式的综合应用

1•列不等式（组）解应用题具体步骤：与列方程的步骤相同。

2.常用的相等关系

（1）相遇问题：速度和X相遇时间=相遇的路程.

（2）追及问题：速度差X追及时间=追及时间.

（3）水中航行：v顺=船速+水速；丫逆=船速-水速

⑷商品利润问题：利润=售价-进价利润率=想

进价

（5）储蓄问题：利息=本金义利率X时间（时间要和利率对应）

（6）工程问题：工作量=工作效率X工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

（7）数字问题：

两位数的表示：百位数字X100+个位数字

三位数的表示：千位上的数字义1000+百位数字义100+个位数字

三基本图形

（-）图形与坐标

1.各象限内点的坐标的特点：一（+,+）.二（-，+）.三-）.四（+,-）.

2.坐标轴上点的坐标的特点

3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数

关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同。

关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数

4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系

5.坐标平面内两点的距离：

点P（XI,0）,Q（x2.0）在X轴上，PQ的长=大的横坐标-小的横坐标，或者，PQ=|x「X4.

点P点（0,弘），Q点（0,%）在y轴上，或PQ的长=大的纵坐标-小的纵坐标，或者，PQ=Iyiy2|.

22

任意两个点P点（X"X）,Q点，则PQ=yl（x2-x｝）+（y2-yl'）»

（二）轴对称

1.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴

对称图形，这条直线叫做对称轴。（注意：对称轴是直线）

2.轴对称：如果两个图形沿着一条直线对折后两个图形完全重合，这两个图形就关于

这条直线对称。这条直线仍叫做对称轴。（注意：对称轴是直线）

3.轴对称指的是两个图形的位置关系；而轴对称图形指的是一种具有特殊性质的图形。

4.轴对称的性质：

（1）对应点到对称轴的距离相等

（2）对应点的连线被对称轴垂直平分

5.垂直平分线（中垂线）：

（1）定义：垂直且平分某条线段的直线叫这条线段的垂直平分线。

（2）性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（3）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6.角平分线:

（1）定义：从角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分

线。

（2）性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

（3）判定到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

7.轴对称作图：关键是描出关键点的对应点，在连线。

8.中心对称指的是两个图形的位置关系；而中心对称图形指的是一种具有特殊性质的图形。

3平移与旋转

1、图形的平移:

(1)概念：图形沿着一定的方向移动一定的距离叫平移。

(2)平移的基本要素：基本图案，平移方向，平移距离

(3)平移的特征：

①平移中，图形中的每一个点沿着同一方向移动同一距离。

②平移后，对应线段平行且相等。

③平移后，对应角相等。

④平移后，对应点的连线相互平行或在同一条直线上

⑤平移是图形的平行移动，图形的形状、大小都不会发生改变。

(4)平移图形作图：关键是利用平移的性质做关键点的对应点。

2、图形的旋转：

⑴旋转：如果平面内的点绕着某点0按某个方向(顺时针或逆时针)转动一定的角度，这种图形的

变换称为旋转，点0就是旋转中心。

⑵旋转角：某组对应点与旋转中心的连线构成的夹角。

⑶旋转的基本要素：基本图案、旋转中心、旋转方向、旋转角度。

⑷旋转中心是旋转变换的唯一不动点，反之，若有一点在旋转中保持不变，则必为旋转中心

⑸图形旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距

离相等；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小都没有发生改变。

⑹作旋转后的图形：关键在于利用旋转的特征做关键点的对应点。

3、中心对称:

(1)中心对称：将一个图形绕着一个点旋转180°后，与另一个图形重合，我们称这两个图形关于这

个点成中心对称。这个点叫对称中心。

(2)中心对称图形：将一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合，我们把这种图形叫做中心对

称图形。这个中心点叫对称中心。

(3)中心对称指的是两个图形的位置关系；而中心对称图形指的是一种具有特殊性质的图形。

(4)中心对称图形的特征：在成中心对称的图形中，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中

心平分。

(5)中心对称图形的识别：如果某个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那

么这个图形一定是中心对称图形。

4空间图形

1.常见的几何体

2.三种视图：

(1)主视图、左视图、俯视图

(2)画三视图时应注意：①尺寸：长对正，宽相等、高平齐②位置③虚实④名称

3.几何体的展开与折叠

4.投影

(1)基本因素：投影物体、投影光线、投影面

(2)投影分类：平行投影、中心投影

(3)投影作图：①平行投影利用平行光线作图，中心投影利用光线交于一点作图

②投影作图的关键是作形成影子的光线，形成影子的光线经过光源、物体顶端和

影子顶端三点。

5.一天中太阳光线下影子的长短和方向变化

6.盲区：眼睛看不到的区域叫盲区。(类似于中心投影：眼睛似光源，视线似形成影子的光线，盲

区似影子)

7.投影的解答题多与相似三角形、三角函数有联系。

5基本作图

1.工具；直尺、圆规

2.格式：己知、求作、作法、证明

3.要求：标注字母，保留痕迹

4.基本尺规作图：

(1)作线段等于已知线段

(2)作一个角等于已知角

(3)作线段的垂直平分线

(4)作角平分线

(5)平移和旋转

(6)放大与缩小

四函数及其图像

1认识函数

一、变量与常量

1.认识变量、常量，区分自变量和因变量

2.确认反映变量关系的图像(可借助实际问题、增减性、函数等)

二、函数表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

三、确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。

四、画函数图象：⑴列表;⑵描点象)连线。

2一次函数

一、正比例函数

1.定义：

形如y=kx(k^O)的函数叫正比例函数.

2.图象：

(1)形状：过原点的一条直线.

(2)画法：过(0,0),(1,k)两点画直线。

3.性质：

(1)k的符号决定直线的走势

k>0时，直线从左向右走上坡，过一、三象限，y随X增大而增大;

k〈0时，直线从左向右走下坡，过二、四象限，y随x增大而减小。

(2)k的绝对值的大小决定直线的陡度

|k|越大，直线越陡，直线与x轴的交角越大。

4.怎样求正比例函数表达式？

用待定系数法求：①设②代③解④代；只需知道一个点的坐标.

5.正比例函数图象草图：

k>0k<0

一次函数

1.定义:形如y=kx+b(kWO)的函数，叫一次函数.

正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数，一次函数包含正比例函数。

2.图象：

(1)形状：一条直线.

b

(2)画法：过(0,b),0)画一条直线.

k

3.性质：

(1)k的符号决定直线的走势

k>0时，直线从左向右走上坡，过一、三象限，y随x增大而增大；

k〈0时，直线从左向右走下坡，过二、四象限，y随x增大而减小。

(1)k的绝对值的大小决定直线的陡度

|k|越大，直线越陡，直线与x轴的交角越大。

(2)b的符号决定直线与y轴的交点位置

b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴；

b<0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴。

4.y=kx+b(kr。)的图像草图:

5.直线y=Lx+bi与y=kzx+b2的位置关系:

<>重合

ki=k2bi=b2

<>平仃(可以解答图像平移问题)

ki=k2bH\)2

ki#k2<>相交

<>垂直

kik2=-1

6.怎样求一次函数解析式？

用待定系数法求：①设②代③解④代；必须知道两个点的坐标.

7.一次函数运用

(1)在平面直角坐标系中，怎样求三角形的面积？

将底或高至少选一条在坐标轴上，斜三角形要竖分。

(2)处理好坐标与线段长的关系：横、纵坐标加了绝对值=线段的长.

(3)平面内两点间的距离公式：

如果两个点A点(xi,0),B点(xz,0)在x轴上，则A、B两点的距离是卸=.一%20

如果两个点A点(0,yJ,B点(0,必)在y轴上，则A、B两点的距离是w同=|乂一对。

如果两个点A点(X1,y),B点(々，%)是平面上任意两点，则A、B两点的距离是

=近2-4)2+(y2一弘)2。

(4)求两直线交点的坐标：将两直线解析式列成方程组，方程组的解就是交点的坐标。

(5)运用：几种方案问题，与不等式组联系.

3反比例函数

一、定义

形如y=K(kWO)的函数叫反比例函数.

X

反比例函数另外两种形式：y=kx"(kWO)xy=k(kWO)

二、图象

(1)形状：双曲线，和两坐标轴无限靠近，但不会与坐标轴相交.

(2)画法：列表、描点、连线.

(3)双对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形。

三、性质：

k>0时，图象位于一、三象限，在每一个象限内y随x而减小。

k<0时，图象位于二、四象限，在每一个象限内y随x而增大。

4.用待定系数法求反比例函数解析式：①设②代③解④代.只需知道一个点的坐标

四、反比例函数图象草图：

k>0时k<0时

五、反比例函数k的儿何意义：

①双曲线上任意一点横、纵坐标的乘积=k

②S矩形=Ik|SRtA=-Ik|(注意矩形和三角形位置)

2

六、运用

(1)一次函数与反比例函数综合题：求函数表达式和^面积.

(2)比较一次函数与反比例函数的大小。

4二次函数

一、二次函数的定义：

1.什么叫二次函数？

形如丁=办2+b%+c(qw。)的形式的函数叫二次函数。注意：(1)x的系数必须是2；二次

项系数aKO；(3)自变量x不能在分母中。

2.二次函数的三种表达形式:

一般式：y=ax2+bx+c(aW0)

顶点式：y=a(x-h)2+k(a#0)

两根式：y=a(x-xi)(x-X2)(a#0)(x］、X2是图像与x轴两交点的横坐标)

二、二次函数丁=+Z?x+c(〃，0)的图像画法

1.四步法：(1)求出对称轴和顶点坐标。(2)列表，顶点坐标放在中间，对称列表。(3)描点。(4)

连线。

b4ac—b2

2.四点法：求出顶点(-，----------)、与y轴交点(0,c)、与x轴的两个交点(xi,0),(X2,0),

2a4a

过四个点画.

h4ac—h2

3.三点法：求出顶点(——，---)、与x轴的两个交点区,0),(X40),过三点画。

2a4a

4.实际问题中二次函数的图像画法：

(1)求出实际问题中自变量的最小值与最大值。

(2)自变量最小值时，有一个点的坐标，自变量取最大值时，有一个点的坐标，再求出顶点坐标。

过这三个点可以画图。

三、二次函数平移问题：

__iZ欠差攵、，±y丫=>”2门勺千1不多^w

1-平移关系

-4------------------------------------------*y=a(x—--------------------------------------------—h产+k

当hVOEFt,向左干琴当kVO».白下干建

2-亚点变化

Co,o)Ch,o)

af决定开口方向

h-决定左右移动(左加右减：y=a(x-h)2+k,往左移时，h前是加号；往右移时，h前是减号)

k~决定上下移动(上加下减：y=a(x-h)2+k,往左移时，k前是加号；往右移时，k前是减号)

移动时，抓住顶点坐标。

四、y=a(x~h)2+k,y=ax2,y=ax2+c,y—OX'+bx+C(以丰0)的联系:

函数统一成顶点式顶点对称轴

y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+kx二h(h,k)

y=ax2y=a(x-0)2+0x=0(0,0)

y=ax2+cy=a(x-O)2+cx=0(0,c)

2

1.b、24ac-trb4ac-bb

y=ax++cy=a(x+)-+(C，A)x=-----

2a4a2a4a2a

五、二次函数y=a(x-h)?+k(aWO)的性质

(1)开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.

(2)对称轴:直线x=h

(3)顶点坐标：顶点坐标公式(h,k)

(4)最值：a>0时，当x=h时，y有最小值k;a<0时，当x=h时，，y有最大值k。

(5)增减性：

a>0时，在对称轴左侧，x<h时，y随x增大而减小，

在对称轴右侧，x>h时，y随x增大而增大。

a<0时，在对称轴左侧，x<h时，y随x增大而增大，

在对称轴右侧，x>h时，右侧y随x增大而减小。

六、怎样求对称轴，顶点坐标？

1.配成顶点式y=a(x-h)、k(aWO)的形式。对称轴是x=h,顶点是(h,k)«

h4ac—h2

2.直接用公式(—一,------)求，将a、b、c的值代入计算即可。

2a4a

b

3.算出——的值，再代入>=奴92+Zzx+c(aHO)得出纵坐标的值.

2a

七、怎样求二次函数解析式？

方法：待定系数法。

任意三点，通常选用一般式；

已知对称轴或顶点，一般选用顶点式；

已知抛物线与x轴的两个交点，可设为两点式。

八、抛物线)=依2+hx+c(aH0)与一元二次方程at?+bx+c=0(a0)的关系:

判别式抛物线y=cue2+bx+c（。w0）一元二次方程

a?+么+c=0（a。0）的根的情况

△=/-4ac的值与x轴的交点个数

△=/72-4ac>0两个两个不相等的实数根。

一个两个相等的实数根。

△二〃-4ac=0

没有没有实数根

△二从一4ac<0

九、关于a、b、c的几何意义

1.如何确定a、b、c的符号：

a的符号f决定开口方向.

a、b的符号f共同决定对称轴的位置。a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b异号，对称轴

在y轴右左侧

c的符号f决定图像与y轴的交点。c>0,交y轴正半轴；cVO,交y轴负半轴；c=O,

过原点.

2.a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等的符号：分别看x=l,x=T,x=2,x=-2时,y的值。

3.b与2a的关系：一般看对称轴的位置。

4.人2-4ac的符号；看抛物线与x轴的交点个数。

5.有“>,<”的代数式比较：一般是比较纵坐标或横坐标的大小。

6.复杂的不等式：由各种条件综合考虑。

等式可以相加、相减；同向不等式可以相加，相减；不等式加上或者减去一个等式，结果仍为不等式。

十、距离与点的坐标的关系：任何点的横纵坐标必须加绝对值才是距离。

如果两个点A点（Xi,0）,B点（X2.0）在x轴上,则A、B两点的距离是=|石一引。

如果两个点A点（0,y）,B点（0,%）在y轴上，则A、B两点的距离是川=|x—%|。

如果两个点A点,B点（々,%）是平面上任意两点，则A、B两点的距离是

|阴=&工2-4）2+（〉2一弘）2。

十一、二次函数的实际运用：

（1）解决实际问题的最大难点：将实际问题中的数据与函数中坐标的值对应。即实际问题中的某一个

数字就是函数中的某一个纵坐标或者横坐标。

（2）通常函数中的最值问题，一次函数、反比例、二次函数都有最大、最小值。如最大面积，最大利

润。二次函数的最大最小，就是二次函数的顶点坐标的纵坐标。

这类题要善于假设因变量和自变量，列出函数关系式，再用其最值或增减性解答。

（3）二次函数与一元二次方程如：2xJ5x+3=0的解就是函数y=2x?-5x+3的纵坐标y=0时，横坐标的

两个值。2X2-5X+3=2的解就是函数y=2x2-5x+3的纵坐标y=2时，横坐标的两个值。