高中数学人教A版选择性必修第一册1 .2 空间向量基本定理基础练习

1.2空间向量基本定理

基础练习

一、单选题

1.已知三棱锥O—ABC,点M,N分别为线段48,0c的中点，且OA="，OB=b，0C=c，

用a，b，c表示MN,则MN等于（）

g(c+a+b

C.~c—bD.

【答案】A

【分析】利用空间向量基本定理进行计算.

【详解】

2.（2022・全国•高二）如图所示，在平行六面体中，"为4G与8Q的交点,

，则8M=（）

U+c

A.B.

2222

」』+c

ca--b+cD.

-4222

【答案】D

【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.

【详解】由题意得，

BM=BB、+^B]Dl=AAi+^(AlD]-AtB^=AAt+^AD-AB)=-^a+^b+c.

3.（2022・全国•高二）已知。，A,B,C为空间四点，且向量OA,OB，OC不能构成空间的

一个基底，则一定有（）

A.Q4，OB，OC共线B.O,A,B,C中至少有三点共线

C.OA+OB与。C共线D.O,A,B,C四点共面

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理即可判断

【详解】由于向量。4，OB，OC不能构成空间的一个基底知04，OB，OC共面，所以。，

A,B,C四点共面

4.设向量｛a,A,c｝是空间一个基底，则一定可以与向量p=a+b,g=a-Z?构成空间的另一个基底

的向量是()

A.aB.bC.cD.a或，

【答案】C

【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从

而判断出结论.

【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，

结合p+g=(a+b)+(a-b)=2a,

得&与P、4是共面向量，

同理5与。、厅是共面向量，

所以a与6不能与。、。构成空间的一个基底；

乂e与a和。不共面，

所以c与〃、4构成空间的一个基底.

5.在四棱柱ABC。-AB|C|£)|中，CM=MD\<CQ=4QA],则()

A.AM=-AB+-AD+AAB.AQ=AB+-AD+-AA,

22l22

I131-14-

C.AQ=-AB+-AD+-AAtD.AQ=-AB+-AD+-AA]

【答案】D

【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可

[详解】因为CM=MDi>所以CM=-CDt=-(CD+DD])=——AB+—AAt,

所以AM=AB+8C+CM

…A*A*"

=-AB+AD+-AA.,

221

所以A错误

44444

因为CQ=4041,所以CQ=gC4i=-(CB+BA+A4,)=--AB--AD+-A41,

所以AQ=AB+BC+CQ

444

=AB+AD——AB——AD+-AA.

555

114

=-AB+-AD+-AA.,

5551

6.(2022•江苏南通・高二期末)在四面体。4BC中，OA=a，OB=b，OC=c，点。满足

BD=ABC<E为AD的中点，^.OE=-a+\b+-c,则；1=()

244

A.1B.-C.-D.1

2433

【答案】A

【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可

uun1r1ririuuriurniuun

【详解】OE=-a+-h-^--c=-OA+-OB+-OC,

244244

11muo1mu1uun

具111E为中点，彳］OE=—OA+—OD,故可知OD=—OB+—OC,

则知D为BC的中点，故点D满足BD=；BC,2=1.

7.已知四棱锥P-ABCD,底面ABC£＞为平行四边形，M,N分别为棱BC,PD上的点，畀二,

CB3

PN=ND,设A8=a，AD=b，AP=c>则向量MV用｛。，。，。｝为基底表示为（）

C171

B.-a+—b+—c

3262

-1,1-1,1

C.a——h+—cD.—a——b+—c

3262

【答案】D

---1一1

【分析】由图形可得MN=MC+CO+£W，根据比例关系可得MC=§A£>,DN=-DP,再

根据向量减法OP=4P-A。，代入整理并代换为基底向量.

【详解】

n\］MN=-a--b+-c

62

二、多选题

8.（2022•全国•高二）若｛”,仇c｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

1111

A.b+c>b>b-cB.a，a+b>a-bC.a+b>a-h,cD.a+b>a+b+c>c

【答案】ABD

【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.

【详解】对于A,因为人=；［仅+c）+（6-c）］,故〃+。，b,6-c共面；

对,于B,0为a=/［（a+Z?）+（a—人）］,故a，a+b,共面；

对于D,因为2=a+5+c-（a+A）,故”+b,a+b+c.c共面；

对TC,若“+b,a-h,c共面，则存在实数人M，使得：，

c=/i(a+b)+〃(a-b)=(2+〃)a+(/l-〃)/?,故a,A,c共面,

这与｛a,〃,c｝构成空间的一个基底矛盾，

9.（2022.江苏南通•高二期末）已知a,方，c是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A.若a//5,b，则。〃右

B.若。，b，c；两两共面，则a,b，c；共面

C.对于空间的任意一个向量P,总存在实数工,z,使得〃=m+yb+zc

D.若｛a，b,c｝是空间的一组基底，则和+6,b+c,c+力也是空间的一组基底

【答案】AD

【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.

【解答】解：b,，是空间的三个单位向量，

由a//6，b11c.则。〃e,故A正确；

a，b，C两两共面，但是d,b,C不一定共面，a,b，《可能两两垂直，故B错误；

由空间向量基本定理，可知只有当。，匕，C不共面，才能作为基底，才能得到。=网+油+2。，

故C错误；

若｛&b,c｝是空间的一组基底，则a,b.C不共面，可知加+4b+c,c+a｝也不共面，

所以｛“+〃，6+c,c+a｝也是空间的一组基底，故D正确.

10.关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若对空间中任意一点O,有++则P,A,B,C四点共面

632

C.己知向量,力,4是空间的一个基底，若/=a+c，则｛a，上〃”也是空间的一个基底

D.若”.6<0，则卜是钝角

【答案】ABC

UUUUU11UULIUU

【分析】对■于A,根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据OP=xQ4+yO8+zOC且

x+y+z=lop,A,B,C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义｛“力,"｝是空间的一

个基底=“,6,c•不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得cos（a,今<0,结合向量

夹角的范围分析判断.

【详解】对于A,根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B,若对空间中任意一点O,有0尸=9。4+:。8+1℃因为!+：+!=1,

632632

根据空间向量的基本定理，可得P，A，B,C四点一定共面，所以B正确；

对于C,由于是空间的一个基底，则向量2,61不共面

*'m=a+c则a,c,加共面

，可得向量机不共面，所以｛4,4"卜也是空间的一个基底，所以C正确：

对于D,若“力叫卜际,力卜。，即cos（“,6）<0,又6,/>”[0,兀],所以兀，所

以D不正确.

11.（2022・江苏•高二阶段练习）下面四个结论正确的是（）

A.空间向量b（awO,Z?wO），若a上b，则a・A=O

B.若对空间中任意一点o,有OP=，OA+!OB+《OC,则P、A、B、c四点共面

632

c.己知｛a,/?,c｝是空间的一组基底，若,〃=4+c，则｛。,6,〃?｝也是空间的一组基底

D.任意向量a,b>c,满足（a•》）•©=a•（。・c）

【答案】ABC

【分析】A.利用空间向量数量积的定义判断；B.利用空间向量共线定理的推论判断；C.利用空

间基底的定义判断；D.根据（4/）4与C共线，a・（b©与&共线判断.

【详解】A.空间向量a,b（a/0,b*0），若a_L6，则（4力）=90,所以4包=0，故正

确；

B.若对空间中任意一点。，有O尸=，。4+:。3+:℃,旦!+:+!=1,则巴A、B、C四

632632

点共面，故正确；

C.因为｛a,4c｝是空间的一组基底，所以。泊,c不共面，则感,W也不共面，又m=a+c，所以

41,加不共面，则他力,〃?｝也是空间的一组基底，故正确；

D.因为（q./?）.c与c共线，e（b・c）与a共线，乂a,b，c是任意向量，所以（a力）与

不一定相等，故错误；

三、填空题

12.正方体ABCQ-AEGR中，点E是上底面ABCR的中心，^AE=xAB+yAD+zAAl,

贝ljx+y+z=.

【答案】2

【分析】根据向量线性运算，利用9表示出AE,由此可得x，XZ的值.

【详解】

AE=AA,+AE=AA+^AC=AA+^

tltl]4B]+A[Z)[)=AA|+—AB+AD'\=-AB+-AD+A\

>22'

11c

.*.X=-,y=-,Z=l,:,x+y+z=2.

22

13.（2022・全国•高二课时练习）如图，在三棱柱A8C-AqG中，M为AG的中点，若48="，

BC=b，A4,=c,则8W=（用。、b、C表示）

【答案】一”人

【分析】利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.

【详解】根据题意，BM=BA+AA,+AlM=-AB+AA,+^AlCt=-AB+AAt+^AB+BC)

=--AB+-BC+AA.=--a+-b+c.

22122

UUIUU

14.（2022・全国•高二）如图，在四面体A8CO中，E是BC的中点，设=q,AC=e2,AD=e,,

请用e；、e2、03的线性组合表示潴=.

【分析】先求出AE=；（AB+AC）,再由£>E=D4+AE求解即可.

【详解】在<A8C中，因为E是8c的中点，所以AE=g（A8+AC）=g,+ej,

uuuuuuum।ur(irir

所以DE-DA+AE——6H—g—6.

22-

四、解答题

15.(2022・全国•高二课时练习)如图所示，已知在三棱锥A-5c。中，向量A3=〃，AC=h,

uuu1

AD=cy已知M为BC的中点，试用°、b、c表示向量。

【答案】DM=^(a+b-2c)

【分析】利用空间向量的线性运算的几何表示运算即得.

【详解】为8C的中点，

uuir1/iiunuimx

/.AM=](A8+AC),

DM=AM-AD=^AB+AC)-AD=^a+b-2c).

16.如图，在平行六面体48。-ABCQ中，AB,AD,4A两两夹角为60。，长度分别为2,

3,1,点尸在线段BC上，且3BP=BC,记a=AB，b=AD，。=例.试用“，b，c表示D、P.

【分析】利用空间向量的线性运算，即可用a，b，c表示D、P.

【详解】因为在平行六面体AB8-ABCQ中，点尸在线段BC上，且38P=BC,

所以"P=AP-AR=(AB+BP)-(A£)+A4J

=^a+-b\-(b+c)=a--b-c,

17.(2022・全国•高二课时练习)如图所示，己知A88-AAGR是平行六面体.

⑴化简A4,+BC+A8；

⑵设〃是底面ABC。的中心，N是侧面BCC4对角线BG上的1分点，设

4

MN=aAB+/3AD+yAA,,试求a,4，7的值.

UUII

【答案】(DAG;

1,13

(2)a=-,b=_,/=-.

244

【分析】(1)利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；

___1_1___3___

(2)利用向量线性运算的几何表示可得+进而即得・

(1)VABCD-A^QD,是平行六面体，

AAy+BC+AB=A4|+4cl+A4=ACt

13

(2)VMN=MB+BN=-DB+-BC.

=1(AB-A£>)+|(A4,+AD)

113

=-AB+-AD+-AA],

5LMN^aAB+pAD+yA\,

.1,13

・・a=—,b=—,/=—.

244

提升训练

一、单选题

1.如图，在平行六面体A3C3-A4GR中，"为AC和3D的交点，若相=〃，AD=b，AAl=c,

则下列式子中与M4相等的是()

1.1,_11_11,

A.一〃——b+cB.-a+-b-cC.——a+—b+cD.——a——b+c

22222222

【答案】A

【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量加瓦，即得答案.

【详解】MB,=MB+BB,=^DB+AAi=^AB-AD)+AAt

2.在以下命题中，真命题的是().

A.同-忖=卜+4是〃、方共线的充要条件

B.若aHb，则存在唯一的实数4,使"劝

C.对空间任意一点。和不共线的三点A、B、C,若OP=2OA-2OB-OC，则P、A、B、C

四点共面

D.若“、b、c；是不共面的向量，则a+b、b+c、c+a的线性组合可以表示空间中的所有向

量

【答案】D

【分析】根据模的性质、向量共线定理、空间向量共面定理、空间向量基本定理判断各选项.

【详解】A.若d、b不共线，则向量加法的三角形法则有|4训＜卜+"但当&、6同向时,

也有同-B卜卜+同，因此口|-回=1+4是,、石共线的充分不充要条件，A错：

B.若aNb，当。=0时，不存在唯一的实数4，使q=/lb，B错;

C.因为A、B、C三点不共线，则CA,CB不共线，

若RA,8,C四点共面，则存在唯一的一组实数使得CP=xC4+yCB,

B|JOP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC),变形得OP=xQA+yOB+(l-x-y)OC,

而当由OP=2OA-2OB-OC时，2-2—1=一1片1,所以尸,A,B,C不共面，C错;

D.若4、b、C是不共面的向量，则a+力、b+c、c+a也是不共面的向量，否贝I」若a+。、b+c>

c+a,则存在实数苍儿使得a+O=Mb+c)+y(c+〃),

即(1一y)〃=(x-l)h+(x+y)c,l-x,l-y,x+y中至少有一个不等于0,

X—1X+V

若l-y=0,贝lja=-b+-~~c,因止匕。、b、C共面，与已知矛盾，1一xwO或x+y*。同

l-_y1-y

样得出矛盾，所以a+b、b+c,c+a也是不共面，由空间向量基本定理，可能用它们表示出

空间任意向量.D正确.

3.（2022•上海市建平中学高二期末）已知4民C、£>、E是空间中的五个点，其中点A、B、C不

共线，则“DE平面ABC'是“存在实数x、y,使得£>E=xAB+yAC的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合向量共面的判定定理即可得出答案.

【详解】若。E〃平面A8C,则O£,A8,AC共面，故存在实数x、y,使得DE=xA8+yAC.

若存在实数x、y,使得QE=xA8+y4C,则£）E,AB-AC共面

则DEII平面ABC或£>Eu平面ABC.

所以“DE〃平面A5cM是“存在实数x、y,使得DE=xAB+yAC的充分而不必要条件.

4.（2022•广东•高二阶段练习）在三棱锥A-BCD中，尸为LBCD内一点，若SP叱=1，S=2,

S=3，则AP=（）

A.-AB+-AC+-ADB.-AB+-AC+-AD

362263

111

C.-AB+-AC+-ADD.-AB^r-AC^-AD

326632

【答案】C

【分析】延长PB到B,,使得PBt=2PB,延长PC到G，使得PC,=3PC,连接DBt,B£,

G。，根据SPBC=\,Spcn=2,SPIID=3,得到P是.BC0的重心求解.

【详解】延长PB到片，使得PB『2PB,延长PC到G,使得PG=3PC,连接DB,,B.C,

C,D,如图所示：

因为SPBC=1，PCD~,SPBD=3,

所以S"4G=SAPC、D=S&P&D,

所以尸是,B|G。的重心,

所以PD+PB]+PG=0,即PD+2P8+3PC=0,

所以AO-AP+2(AB-AP)+3(AC-AP)=0,

整理得APJAB+'AC+'A。.

326

5.（2022•河北邢台•高二阶段练习）如图.空间四边形CMBC中，OA=aQB=b,OC=c,点、M

在。4上，且满足OM=2M4，点N为8c的中点，则NM=（)

21,I

D.-a——b——c

232322222322

【答案】D

【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用OAOB,OC

表示M0即可得结果.

【详解】由题图，NM=AM-^(AB+AC),而AB=OB-OA，AC=OC-OA,MA=^OA,

11?11211

所以NM=——OA——(OB-OA+OC-OA)=-OA——OB——OC=-a——b——c.

32322322

二、多选题

6.（2022•广东惠州•高二期末）下面四个结论正确的是（）

A.空间向量°,6（a二0,。=0）,若a_L〃，贝10包=0

11—1

B.若对空间中任意一点。，有OPu^QA+qOB+7OC,则尸、A、B、。四点共面

632

c.已知脑力,4是空间的一组基底，若m=a+c>则｛a,6,〃?｝也是空间的一组基底

I-rrrrr

D.任意向量”，b，c满足力），c=a•卜・c）

【答案】ABC

【分析】空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量

基底的定义可判断C；是一个数值，）出也是一个数值，说明♦和2存在倍数关系，或者

说共线，可判断D.

【详解】空间向量a，耳力0,20）,若则a/=0,故A正确；

对空间中任意一点O,有0P=l0A+10B+l0C,

632

且，+:+!=1,则P、A、B、C四点共面，故B正确；

632

因为｛。,尻c｝是空间的一组基底，所以a,b,c不共面，机=a+c，则a,6,a+c也不共面，

即｛〃也时也是空间的一组基底，故C正确；

rrrrrr

任意向量a，b，c满足『力）"=人（儿。），由于a力是个数值，c»也是一个数值，

则说明a和c存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.

7.若Q4，OB，0c是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为9，则（）

A.e的取值范围是（o,乃）

B.｛0AAB,8C｝能构成空间的一个基底

c."OP=204—O8+OC''是"尸，A,B,C四点共面”的充分不必要条件

D.（OA+OB+OC）BC=Q

【答案】BD

【分析】根据给定条件结合空间向量相关知识逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】因OA，OB，0C是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，，则三棱锥O-ABC

是侧棱长为1的正三棱锥，如图，

a

作O。，平面ABC于点O',连接O'AOBO'C,则0'A=0'8=0'C=re(0,l),

ZAO'B=ZBO'C=ZCO'A=y,BC=&BOC中，由余弦定理得

*_，鹿(」』)

2x1x122

于是得。e(O,-y),A不正确;

因OA，OB，。。是不共面的，由空间向量基底的意义知，B正确;

假定尸，4,B,C四点共面，依题意，存在唯一实数对(x,y)使得BP=xBA+)，BC,即

OP=xOA+(1-x-y)OB+yOC,

x=2

而OP=2OA-OB+OC，由空间向量基本定理知T-x-y=T，此方程组无解，则有P,A，B,

)=1

C四点不共面，“。尸=2。4_。8+。(?”是“尸，4,B,C四点共面”的不充分不必要条件，C不正

确；

22

(OA+OB+OC)BC=(OA-bOB+OC)(OC-OB)=OAOC-OAOB+OC-OB

=cos6-cose+l—1=0,D正确.

8.在四面体P-ABC中，以下说法正确的有()

I?

A.若AO=§AC+1A3,则可知8C=38O

B.若。为△ABC的重心，则PQ=gpA+gpB+gpC

itUJU.

C.若四面体P-ABC各棱长都为2,M,N分别为MBC的中点，则|MN|=1

D.若「4-8C=0，PCAB=0,贝i」PB-AC=0

【答案】ABD

【分析】A：令B£j=2BC，利川平面.向量基本定理及向量加减、数乘的几何意义，求A。,43,AC

之间含力的线性关系，结合已知即可求2；B：根据线段的空间位置及空间向量的加减、数乘

运算，求PQ,P4,P8,PC的线性关系；C：由正四面体性质求MN的长度即可；D：由题设有

PABC+PCAB=0,利用空间向量数量积的运算律及空间向量的加减几何含义求证结论.

1?

【详解】A：由=则。在线段BC上，又A£)=AB+BO，若BO=25C，则

AD=AB+ABC<又BC=4C-AB，故AO=(1-X)AB+XAC,所以2=(,即8C=38。，正

确；

B：若。为AB的中点，PA+PB=2PD'又PQ-PQ=Q。，而CA+C8=6Q£>,所以

PA+PB^2(PQ+-CA+-CB),又CA=PA-PC,CB=PB-PC,贝U

66

11111

>

PA+PB=2PQ+-(PA-PC)+-(PB-PC),PQ=-PA+-PB+-PCfiEiiffi；

C：由题设知：PN=AN=B即MVLA4,且PM=40=1，故1MN卜血,错误;

D：若P4-8C=0，PCAB=O,贝UPA-8C+PC4B=(PC+CA)(BA+AC)+PC-AB=0，又

PC=PB+BC，所以(P8+8C+C4)(BA+AC)+(P8+8C)A8=0,整理得

PBBA+PBAC+BCBA+(BC-BA)AC+CAAC+PB-AB+BC-AB=0故尸8AC=0,正

确.

三、填空题

9.（2022・全国•高二课时练习）已知q,/，6是空间单位向量，4=《24=63/,若空

间向量°满足a=xe{+ye2（x>0,y>0），忖=4,则a•%的最大值是.

【答案】侦

3

【分析】由忖=4列方程，利用已知条件化简Ze；,结合基本不等式求得le；的最大值.

【详解】依题意巧0,03是空间单位向量,

且Q=xq+y/(尤>0,y>0),

)=\/x2e~+2xye-e+y2^

+Nlt2

=1,+gxy+y2=4，f+|•冲+_/=16,

4・63=(咫+*2)，%=咫./+少2,1=§(X+y),

、2

[6=x2+V+g孙=(x+y1-^A^>(x+y)2-^x爰=2小

当且仅当％=），=几时等号成立,

所以(x+»<24,x+y<2>/6,

所以a•《3=g(%+>)<：x2>/6=

10.（2021・全国,高二课时练习）如图在正方体ABC。-A&GA中，已知

AA=a，A4=b，AA=。，。为底面的ABCO的中心，G为，RGO的重心，则AG=

215

【答案】——^+―^+―

326

【分析】

AG=AO+OG=g(AB+AD)+g(OA+OCj=/+c)+1；(B4+BC)+OR

+；(AB+AQ)+CG,由此能求出结果.

【详解】解：在正方体ABCO-A4GQ中，4A=“，A4=6.AA=c,

。为底面的ABCD的中心，G为sRG。的重心，

AG=AO+OG

=g（A8+A£>）+g（OR+OG）

=g仅+c）+；^（BA+BC）+DDt+g（AB+AQ）+CG

326

四、解答题

11.在长方体4BC£>-AB|GR中，E是CO的中点.

(I)设A3=〃，AD=b,A4,=C,用向量〃、b>C表示4七；

(2)设A81=〃，AD】=b,AC=c用向量Q、b>c表示

1315

[答案](l)AE=〃+-〃_c；(2)AE=--ah+-c

2]444

【分析】(1)根据向量加法运算求解即可；

AA.+AD=AD]=b

<AD+AB=AC=c,进而得A4,=’a+,匕一,e,AB=-a+-c--b,

(2)由题知

AA]+AB==a222222

1111

AD=—b+—c——ci,再根据+AO+gAB求解