高中数学竞赛讲义

目录

第一章集合...............................2

第二章函数...............................15

§2.1函数及其性质..................15

§2.2二次函数................21

§2.3函数迭代................28

§2.4抽象函数................32

第三章数列...............................37

§3.1等差数列与等比数列..............37

§3.2递归数列通项公式的求法...........44

§3.3递推法解题.......................48

第四章三角平面向量复数.................51

第五章直线、圆、圆锥曲线.................60

第六章空间向量简单几何体.................68

第七章二项式定理与多项式.................75

第八章联赛二试选讲.................82

§8.1平几名定理、名题与竞赛题……82

§8.2数学归纳法..................99

§8.3排序不等式.............103

第一章集合

集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学

的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函

数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛

中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学

大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.

§1.1集合的概念与运算

【基础知识】

集合的有关概念

1.集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的

元素.

2.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

3.集合的分类：无限集、有限集、空集。.

4.集合间的关系：

二.集合的运算

1.交集、并集、补集和差集

差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作A\8.

即A\8={xeA且xeB}.

2.集合的运算性质

(l)AUA=A,AnA=A(幕等律)；

(2)4118=3114,4口3=304(交换律)；

(3)(AUB)uc=cu(BUc),(cnB)nc=cn(Bn。(结合律);

(4)AUGBnC)=(AU8)n(AUC),Ari(8UC)=(Ari8)U(AnC)(分配律)；

(5)An(8UA)=A,AU(An8)=A(吸收律)；

(6)Cv(Ct,A)=A(对合律)；

⑺孰(A0为=©A)U(Q,B),CV(AUB)=(CVA)A(Q,B)(摩根律)

(8)A\(BUC)=(A\B)n(A\C),A\(BAC)=(A\B)U(A\C).

3.集合的相等

(1)两个集合中元素相同，即两个集合中各元素对应相等；

(2)利用定义，证明两个集合互为子集；

(3)若用描述法表示集合，则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件)，即等价；

(4)对于有限个元素的集合，则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集

合相等的必要条件.

【典例精析】

【例11在集合{1,2,…中，任意取出一个子集，计算它的各元素之和.则所有子集的元素之

和是.

R分析』已知{1,2,…，”}的所有的子集共有2"个.而对于Vie{1,2,显然{1,2,}

中包含，的子集与集合{1,2,-一"-1"+1,-、”}的子集个数相等.这就说明i在集合

{1,2,•••,/?}的所有子集中一共出现2"-'次,即对所有的i求和，可得

【解】集合{1,2,…,〃}的所有子集的元素之和为2"T(1+2+…+〃)=2”T•亚丁)

=〃.(〃+l).2"T.

K说明】本题的关键在于得出{1,2,・一,〃}中包含，的子集与集合{1,2,・一/一1』+1,・一,”}的

子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.

【例2】已知集合A={x|x?+3x+2<0},B={x|犬-4ax+3a2<0}且A=8,求参数a

的取值范围.

K分析》首先确定集合A、B,再利用A=8的关系进行分类讨论.

【解】由己知易求得A-[x\—2<x<-1},5={x|(x—a)(x—3a)<0}

当a〉0时，B-{x\a<x<3a}，由A=8知无解；

当a=0时,8=。,显然无解；

当a<0时,3={x[3a<x<a},由解得

综上知，参数〃的取值范围是.

K说明》本题中，集合的定义是一个二次三项式，则寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字

化，才能通过条件求出参数的取值范围.

【例3】已知XGR,yeR+,集合4={x2+x+-1},B={—y,-+1}.若A=B,

则-+>2的值是()

A.5B.4C.25D.10

【解】v(x+l)2>0,/.x2+x+l>—x,且•.•一+%+1>0及集合中元素的互异性知

x2+x+\^-X,即Xw-1,止匕时应有X2+X+1>-x>-x-l.

而ye从而在集合B中,

由4=8,得

由(2)(3)解得x=l,y—2，代入(1)式知x—l,y—2也满足(1)式.

/.x2+/=俨+2?=5.

K说明2本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等，则两个集合中对

应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关

键.

【例4】已知集合A={x,y,lg(孙)},5={0,|尤|,训.若A=B,求……+的值.

K分析U从集合A=B的关系入手，则易于解决.

【解】•.・A=B,.1+移+lg(xy)=1xI+y,根据元素的互异性由B知X。0,yw0.

x-xy-lg(Ay)=0

:0eB且A=0eA,故只有lg(xy)=0,从而xy=1.

又由leA及A=3,得le

所以或，其中x=y=1与元素的互异性矛盾！

所以x=y—1,代入得：

......+=(-2)+2+(—2)+2+......+(—2)+2=0.

K说明X本题是例4的拓展，也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的

必要条件，即两个集合相等，则两个集合中，各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解

决本题的关键.

【例5】已知A为有限集，且AcN*,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等，写

出所有这样的集合A.

【解】设集合A二{4，%,・・・4}(〃>1)且1<a]<a2<，由%+%+…+。〃=4•%.......。〃，

an>n(nGN*),得nanNq+9+・,•+。〃=q・出...1)!,即〃之(〃-1)!

.・.〃=2或〃=3(事实上，当〃>3时，有(〃-1)!之(〃-1)(〃-2)>(n-1)-2>n).

当〃=2时，4・。2=4+生<2%,二・4<2,/.ax=1,而1・电工1+生，，〃工2.

当〃=3时，4•%・。3=。]+%+。3<3。3，「・4•%〈3,.・.q=1,%=2.

由2a3=3+2，解得%=3.

综上可知，A={1,2,3}.

K说明X本题根据集合中元素之间的关系找到等式，从而求得集合A.在解决问题时，应注意

分析题设条件中所给出的信息，根据条件建立方程或不等式进行求解.

【例6】已知集合尸={x|Y-3x+2W0},S={尤|/一2ar+aW0},若S口P,求实数a的

取值组成的集合A.

【解】P={x|l〈x«2},设/(幻=》2-2ax+a.

①当△=(一2a)2—4a<0,即0<a<l时,S=。,满足S=P;

②当△=(-2a)2-4a=0,即a=0或a=1时，

若。=0,则S={0}，不满足S之P,故舍去；

若a=l时，则S={1},满足S=P.

③当△=(-2a)2-4a>0时，满足S=P等价于方程x2-2ax+a^0的根介于1和2之间.

A>0a<0或a>1

(—2a)c

1<--——-<21<a<2

即<2Oae0.

/(D>01-a>0

,/(2)>04—3aNO

综合①②③得0<aW1,即所求集合A={a|0<«<l}.

K说明U先讨论特殊情形(S=份)，再讨论一般情形.解决本题的关键在于对△分类讨论，确定

a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论△>().

【例7】(2005年江苏预赛)己知平面上两个点集M={(%,y)11x+y+112厢+同x,y€R),

N={(x,y)||x—a|+|y-1|<1,x,yeR}.若MQN^0,则a的取值范围是

【解】由题意知M是以原点为焦点、直线x+y+l=0为

准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N是以(a,l)为中

心的正方形及其内部的点集(如图).

考察MDN=0时，。的取值范围：

令y=l,代入方程|x+y+11=+/),

得X2-4X-2^0,解出得x=2+46.所以，

当«<2-V6-l=l-V6时，MDN=0........③

令y=2,代入方程|x+y+l|=J2，+，),得炉―6x—i=o.解出得

x=3±Vio.所以，当。>3+9时，Mp|N=0........④

因此，综合③与④可知，当1-娓Wa$3+M,即ae[l-V6,3+JI5]时，

MQN^0.故填11-76,3+710].

【例8]已知集合4={%,。2，。3，。4},5={4：,9,婚,说},其中41<。2<“3</，

ava2,a3,a4GN.若Ap|5={q,%}，%+4=1。.且AljB中的所有元素之和为124,求

集合A、B.

【解】：<a2<%</，且AC!6={4,4},二％=。；,又4eN,所以q=1.

又％+&=10,可得&=9，并且W=%或W=g.

若靖=9,即4=3,则有1+3+/+9+a；+81=124,解得%=5或%=—6(舍)

此时有A={1,3,5,9},B={1,9,25,81).

若雨=9,即/=3，此时应有出=2，则AU8中的所有元素之和为100X124.不合题意.

综上可得,A={1,3,5,9},B={1,9,25,81).

K说明》本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发

分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一，将问题分为多个部分，每一部分

的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.

[例9]满足条件|g®)-g(X2)区4|玉一马1的函数g(x)形成了一个集合M,其中

孙々eR，并且<1,求函数y=f(x)=x2+3x-2(xeR)与集合M的关系.

K分析》求函数/(幻=/+3彳-2集合M的关系，即求该函数是否属于集合M,也就是判断

该函数是否满足集合M的属性.

【解】f(%))—f(%2)1=1(X；+3%[+2)—(%2+3々+2)HX]—x,|TX]+电+31

9

取时，I/(X1)-/(X2)|=,|X1-々1>4|%]-x2\.

由此可见,f(x)史

K说明D本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数/(x)是否属于M,只要找至一个或

几个特殊的%,.使得/(x,.)不符合M中的条件即可证明/(%)生M.

【例10】对集合{1,2,…,2008}及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按

递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如{12,4,6,9}的“交替和”是

9—6+4—2+1=6,集合{7,10}的“交替和”是10—7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.

试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合{1,2,…求出所有的“交替和”.

K分析D集合A的非空子集共有22008—1个，显然，要想逐个计算“交替和”然后相加是不可

能的,必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共

有15个，共“交替和”分别为：{1}1;{2}2；{3}3；{4}4；{1,2}2-1;{1,3)3-1;

{114}4-1；{2,3}3-2;{2,4}4-2；{3,4}4-3；{1,2,3}3-2+1；{1,2,4)4-2+1；

{1,3,4}4-3=1；{2,3,4}4-3+2;{1,2,3,4)4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,

除⑷以外，可以把{1,2,3,4}的子集分为两类：一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样

的对应：设4是{1,2,3,4}中一个不含有的子集，令A,与{4}U4相对应，显然这两个集合的

“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对，再加上⑷的“交替和”为4,即{1,2,3.4}

的所有子集的“交替和”为32.

【解】集合{1,2,­••,2008}的子集中，除了集合{2008},还有22008-2个非空子集•将其分为两

类:第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同.因为如果

A,是第二类的,则必有A,U{2008}是第一类的集合;如果B.是第一类中的集合，则Bj中除

2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素，即Bj中去掉2008后不是空集,且是第二类中

的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来，都有2008,从而可得A的所有子集的“交替

和”为:(22008-2)X2008+2008=22007x2008.

同样可以分析{1,2,…因为〃个元素集合的子集总数为2"个(含“，定义其“交替和”

为0),其中包括最大元素〃的子集有2用个,不包括〃的子集的个数也是2"T个，将两类子集

一一对应(相对应的子集只差一个元素〃)，设不含〃的子集“交替和”为S,则对应的含“子集

的“交替和”为〃-S,两者相加和为〃.故所有子集的“交替和"为2"T•几

R说明D本题中"退到最简"，从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现，

这种方法在数学竞赛中是常用的方法，在学习的过程中应注意强化.

【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后

差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游

行队伍的人数最少是多少？

K分析D已知游行队伍的总人数是5的倍数，则可设总人数为5〃.“按每横排4人编队，最

后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1

人”，显然问题转化为同余问题.5〃被4、3、2除时都余地，即5〃-1是12的倍数，再由总

人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.

【解】设游行队伍的总人数为5〃(〃eN+),则由题意知5〃分别被4、3、2除时均余1,即

5”一1是4、3、2的公倍数，于是可令5〃-1=12m(mwN+),由此可得：①要使游行队伍

人数最少，则式①中的机应为最少正整数且12加+1为5的倍数，应为2.于是可令

m=5q+2(peN*),由此可得：〃=！[12・(5p+2)+1]=12p+5,5〃260P+25②

所以60〃+2521000,.

取〃=17代入②式，得5〃=60x17+25=1045

故游行队伍的人数最少是1045人.

K说明》本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、

“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面(反义词)考虑，对原命题做部分或

全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解

题思想或方法，实现解题的目的.

【例12】设〃GN且〃215,A,B都是｛1,2,3,…，”｝真子集，,且A|J5=｛1,

2,3,…，〃｝.证明：A或者8中必有两个不同数的和为完全平方数.

【证明】由题设，｛1,2,3,…，”｝的任何元素必属于且只属于它的真子集之一.

假设结论不真，则存在如题设的｛1,2,3,…，”｝的真子集使得无论是A还是3中

的任两个不同的数的和都不是完全平方数.

不妨设A,则3eA,否则1+3=22,与假设矛盾，所以3G氏同样6/5,所以

这时10£A,,即10G3.因〃二15,而15或者在A中,或者在6中，但当15GA时，因1GA,

1+15=42,矛盾；当15Gs时，因1068,于是有10+15=5?,仍然矛盾.因此假设不真,

即结论成立.

【赛向点拨】

1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念，熟

练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多，所以抓好概念的理解和应用尤

其重要.

2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考

查集合语言和集合思想的应用.

3.对于给定的集合，要正确理解其含义，弄清元素是什么，具有怎样的性质这是解决集合问题的

前提.

4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中，集合题是普遍而又基本的题型之一.

【针对练习】

(A组)

1.(2006年江苏预赛)设在xOy平面上，OvyWF,所围成图形的面积为I,

则集合加=｛(乂川以一国41｝,N=｛(x,y)|旧2/+]｝的交集“nN所表示的图形面

积为()

124

A.—B.-C.1D.一

333

2.（2006年陕西预赛）a,b为实数，集合M={2』},p={a,0}表示把集合M中的元

a

素x映射到集合P中仍为x,则a的值等于（）

A.-lB.OC.lD.±l

3.（2004年全国联赛）已知乂={（再,）|/+2,2=3},N={（x,y）|y=，nx+b},若对于所有

的加eR,均有则人的取值范围是

A.口B.（）C.（）D,[]

4.（2005年全国联赛）记集合T={0,1,2,3,4,56},M=母+率+$+$|qeT,i=1,2,3,4},

将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）

A.B.

C.D.

5.集合A,B的并集AUB={ai,a2,a3},当且仅当A彳B时，（A,B）与（B,A）视为不同的对，则这

样的（A,B）对的个数有（）

A.27B.28.C.26D.25

6.设A={〃|100W〃W600,〃eN},则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为

7.已知4={耳，-4x+3<O,xGR},B={M2i+aW0,M?-2（a+7）x+5W0,xeK}.若

4工3,则实数a的取值范围是.

8.设M={1,2,3,…,1995},A是M的子集且满足条件：当时,15x纪A,则A中元素的

个数最多是.

9.（2006年集训试题）设"是正整数，集合M={1,2,2n}.求最小的正整数4,使得对

于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

10.设A={a|a=，-y2,了,了£z},

求证：⑴2人一1eA（AwZ）；（2）4A:-2s5A（kwZ）.

11.（2006年江苏）设集合A=[Jlogi（3—x）Z—2,,.若AOBA。，求实数a的取值

范围.

12.以某些整数为元素的集合户具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②尸中的

元素有奇数，有偶数；③一1仁P；④若x,yGP,则x+yWP试判断实数0和2与集合P

的关系.

（B组）

1.设S为满足下列条件的有理数的集合：①若aeS,bwS,则a+beS,

abeS；②对任一个有理数r,三个关系reS,—rS,r=0有且仅有一个成立.证明：

S是由全体正有理数组成的集合.

2.St,S2,S3为非空集合，对于1,2,3的任意一个排列i,/,3若xeS”yeS）,则x-yeS,

(1)证明：三个集合中至少有两个相等.

(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？

3.已知集合：A={(x,y)|ox+y=l},B={(x,y)|x+ay=l},C={(x,y)|x2+/=1}问

(1)当。取何值时，(AUB)nC为含有两个元素的集合？

(2)当a取何值时，(AU8)DC为含有三个元素的集合？

4.己知A={(x,y)k2+y2+4x+4y+7=0,x,yw/?},

B={(x,刈4=-10,x,yGR}.

⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中“距离”的认识,给集合A与B的

距离定义；

⑵依据⑴中的定义求出A与5的距离.

5.设集合尸={不小于3的正整数},定义P上的函数如下：若〃eP,定义/(")为不是"

的约数的最小正整数，例如/⑺=2,/(12)=5.记函数f的值域为M.证明：

19GM99仁标

6.为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P(PwN+)条建议.已知有些班级提出了相同

的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证

该校的班级数不多于个.

【参考答案】

A组

1.解：/PIN在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此的图形面积只要

算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意

2

可得，MAN的图形在第一象限的面积为A=.因此MflN的图形面积为一.所以选B.

3

2.解:由M=P,从而，即。=1,6=0,故a+Z?=l.从而选C.

3.解：相当于点(0,b)在椭圆丁+2y2=3上或它的内部

—<1,一反远.故选A.

322

4.解:用…4],,表示k位P进制数，将集合M中的每个数乘以7、得

=回+生・7?+%・7+/14=1,2,3,4}={[a1«2a3a4]71%eT,z=1,2,3,4).

M'中的最大数为[6666b=[2400]*在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第

2005个数是2400—2004=396.而[3961。=口KM卜将此数除以74，便得M中的数故选C.

5.解：A=4>时，有1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6种可能；A为二

元集时，B必须含有另一元.共有12种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8种可能.

故共有1+6+12+8=27个.从而选A.

6.解：被7除余2的数可写为〃:+2.由100W7什2W600.知14WZ85.

又若某个火使7k+2能被57整除，则可设7-2=57〃.即M=&尹=亚产=8〃+皇.

即n-2应为7的倍数.设n=7m+2代入，得k=51m+l6./.14<57m+16^85.：.m=0,1.于是

所求的个数为85-(14-1)-2=70.

7.解：依题意可得4={x[l<x<3},设/(x)=2i+a,g(x)=x2-2(a+7)x+5

要使Aq5,只需/(x),g(x)在(1,3)上的图象均在x轴的下方，则/(I)W0J(3)W0,

g(l)W0,g(3)W0,由此可解得结果.

8.解：由于1995=15x133,所以，只要“>133,就有15〃>1995.故取出所有大于133而不超

过1995的整数.由于这时己取出了15x9=135,…15x133=1995.故9至133的整数都不能

再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数，这说明所求数21870.

另一方面，把k与15k配对，(k不是15的倍数，且lWkW133)共得133—8=125对，

每对数中至多能取1个数为A的元素，这说明所求数W1870,综上可知应填1870.

9.解：考虑M的”+2元子集P={w—1,“，〃+1,…，2n}.P中任何4个不同元素之和不小

于(〃-1)+〃+(〃+1)+(〃+2)=4”+2,所以Q〃+3.将M的元配为〃对，Bi=(i,2/?+1—/).

\<i<n.对M的任一〃+3元子集A,必有三对B,,缥,纥同属于A(ii、八、h两两不同).又

将M的元配为〃一1对，CI(z>2n-i),\<i<n~\.对M的任一〃+3元子集A,必有一对Q

同属于A,这一对C”必与耳，纥，耳中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和

为2〃+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310.

10.解:⑴；k,k-lGZ且2k—l=k2—(k—I)2,2k—1GA；

⑵假设4"2€A(hZ),则存在x,y€Z,使4"2=f-尸即(x-y)(x+y)=2(2A-1)(*)

由于x-y与x+y具有相同的奇偶性，所以(*)式左边有且仅有两种可能：奇数或4的

倍数，另一方面，(*)式右边只能被4除余2的数，故(*)式不能成立.由此，

4女一2eA(AeZ).

11.解：A={x|-14x<3},B=1x|(x-a)(x-3n)<0^.

当a>0时，B={x\0<a<x<3a],由A口8/0得0<a<3；

当a<0时，jB={x|3a<x<a<0},由4口500得。>一1；

当a=0时，8=卜,2<。}=0,与不符.

综上所述，ae(-l,0)U(0,3).

12.解：由④若X,了《「,则％+，6。可知，若XGP,则ZxwPGlwN)

(1)由①可设x,yep,且x>0,y<0,则一yx=|y|x(|y|©N)

故xy,一yxGP,由④,0=(—yx)+xyP.

(2)2仁户.若2右尸，则尸中的负数全为偶数，不然的话，当一(2Z+1)eP(ZeN)

时，-1=(一2左一1)+2keP,与③矛盾.于是，由②知尸中必有正奇数.设

一2根,2〃—leP(根,〃GN),我们取适当正整数q,使

q-\-2m\>2n-\,则负奇数一2例7+(2〃-1)eP.前后矛盾

B组

1.证明：设任意的「《。，r#0,由②知或一reS之一成立.再由①，若r©S,

则,eS；若一reS,则六=(_r).(—〃)wS.总之，r2eS.

取r=l,则leS.再由①，2=l+lwS,3=l+2eS,…，可知全体正整数都属于S.

设p,qeS,由①pqwS,又由前证知，所以《5.因此，S含有全体正有理数.再由①知，

0及全体负有理数不属于S.即S是由全体正有理数组成的集合.

2.证明：(1)若xeS”yeS/,则y-xeS«,(y-x)-y=-xeS,，所以每个集合中均

有非负元素.

当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.

否则，设S，S2，S3中的最小正元素为“，不妨设设力为S2,S3中最小的非负元素,

不妨设beSz，则人一。WS3.

若b>0,则0Wb—a<b,与b的取法矛盾.所以6=0.

任取因OeS2,故x—0=xeS3.所以5cS3,同理SjqS—

所以S尸S3.

(2)可能.例如S尸S『｛奇数｝,§3=｛偶数｝显然满足条件,"和S2与S3都无公共元素.

3.解：(AU8)nc=(Anc)u(8nc).Anc与Bpic分别为方程组

(I)(II)

的解集.由(I)解得(x,y)=(0,1)=(,)；由(H)解得

(x,y)=(1,0),(,)

(1)使(AU3)nc恰有两个元素的情况只有两种可能:

①②

由①解得4=0；由②解得4=1.

故a=0或1时，(AU8)nC恰有两个元素.

(2)使(AU8)nc恰有三个元素的情况是：=

解得。=一1土血，故当。=一1±也时，(AUB)CIC恰有三个元素.

4.解:(1)设4=,1«皿(即集合A中的点与集合B中的点的距离的最小值)，

则称d为A与B的距离.

⑵解法一：：A中点的集合为圆(x+2产+(y+2)2=1,圆心为M(_2,_2)，令P(x,j)是

双曲线上的任一点，则|"P「=(x+2尸+(y+2>=/+了2+朱”+乃+8

=(x+y)2-2xy+4(x+y)+8=(x+y)?+4(x+y)+28

令E=x+y,则|MP「=『+4f+28=(f+2)2+24I

当£=一2时，即有解，...|川田1血=2几，〃=2#一1J.

解法二：如图，P是双曲线上的任一点，Q为圆(x+2)2+(,+2)2=1断广

上任一点,圆心为M.显然,|PQ|+|"Q|却(当P、Q、M三点共-|[

线时取等号)...d=-L

5.解：记〃=18!时，由于1,2,……18都是〃的约数，故此时/(〃)=19.从而19eM.

若存在使.f(〃)=99,则对于小于99的正整数3均有人|〃，从而9|〃,11|“，但

是(9,11)=1,由整数理论中的性质9X11=99是n的一个约数，这是一个矛盾！从而99定M.

6.证明：假设该校共有加个班级，他们的建议分别组成集合A，4这些集合中没

有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议)，而任何两个集合都有相同的元素，

因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在中至多有A(所有P

条建议所组成的集合)的个子集，所以加《2八1.

第二章函数

§2.1函数及其性质

一、函数的基本性质：

i.函数图像的对称性

(I)奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意都有/(-x)=-/(x)成立；

偶函数的图像关于)，轴对称，对于任意都有/(-x)=/(X)成立。

(2)原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y=x对称。若某一函数与其反函数表

示同一函数时，则此函数的图像就关于直线y=x对称。

(3)若函数满足f(x)=/(2a-x),则/(x)的图像就关于直线x=a对称；若函数满足

f(x)=-f(2a-x),则/(x)的图像就关于点3,0)对称。

(4)互对称知识：函数y=/(x-a)与y=/(a-x)的图像关于直线x=a对称。

2.函数的单调性

函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导

数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性)

特别提示：函数＞=^+3(。＞0)的图像和单调区间。

X

3.函数的周期性

对于函数y=/(x),若存在一个非零常数7,使得当x为定义域中的每一个值时，都有

/(x+7)=/(x)成立，则称y=/(x)是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中

存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。

(1)若丁是y=/(x)的周期，则"7(〃wZ)也是它的周期。

(2)若y=f(x)是周期为7的函数，则y=/(如+力(。工0)是周期为人的周期函数。

a

(3)若函数y=/(x)的图像关于直线x=a和x=6对称，则)，=/*)是周期为2(。一切的函数。

(4)若函数y=满足/(戈+。)=一/(%)(。。0),则y=/(x)是周期为2〃的函数。

4.函数的最值：

常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法

5.Gauss(高斯)函数

对于任意实数x,我们记不超过R的最大整数为［幻，通常称函数y=［划为取整函数。又称高斯

函数。又记｛幻=工-［幻，则函数y=｛x｝称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。

高斯函数的常用性质：

(1)对任意工£尺均有4-1＜［划《］＜［力+1(2)对任意xeR,函数y=｛x｝的值域为［0,1)

(3)高斯函数是一个不减函数，即对于任意玉，x?eR,若为《三，则[xjwix2]

(4)若〃eZ,xeR,则有[x+”]=〃+[x],{〃+x}={x},后一个式子表明y={x}是周期为1的函数。

(5)若x,ywR,则[x]+[y]4[x+y|W[x]+[y]+l(6)若"eN",xwR,则[nr]*”[x]

二、应用举例：

例1.已知/(x)是一次函数，且九)(x)=1024x+1023.求/(x)的解析式.

Av,11h

例2.已知f(x)=-----3涉是常数，岫W2),且/'(%)/(-)=%.⑴求人;⑵者八八1))=一,求n,b.

2x4-67X2

"-3n>1000

例3.函数/(〃)=求/(84)

/(/(〃+5)),n<1000

函数迭代中的“穿脱”技巧

设函数y=f(x),并记fn(K)邛f(f…(fx)…)，其中n是正整数,f"(x)叫做函数的n次迭代，函

数迭代是一种特殊的函数复合形式，在现代数学中占有很重要的地位，尤其是近年来在国内外

数学竞赛屡次出现，成为热点问题之一，以引起广在数学爱好者的关注.由酢乂或f“(x)的表达

式“穿上“或“脱去”n-l个函数符号得出于网(或负X》的函数迭代问题，这里我们对数学竞赛中

穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.

1程序化穿脱

“穿”:‘脱"函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上手,或从外至内一层层脱

去f,往往是一种程序化的模式,

例已知f(x)=，求fn(x).

2实验法穿脱

许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作，还需要用敏锐的思维和眼光去

发现穿脱过程所蕴含的规律性，实验是发现的源泉，是发现规律的金钥匙.

例函数定义在整数集上,且满足

f(n)-n-3(n^lOOO)

f[f(n+5)](n<1000^f(84)

例21对任意的正整数k,令扭k)定义为k的各位数字和的平方.对于n2令

f„(k)=fi(fn.i(k)),^fl9!i8(ll).

3周期性穿脱

在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性，利用周期性穿脱要能达

到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.

例定义域为正整数的函数,满足:

f(n)-n-3(n21000)

f[f(n+7)](n<1000.

试求f(90)

练习

1.设n是自然数和)为十进制)的数字之和，扭0=伽),求的于100a990)值.

2.已知设,5(X)=f5(X),求f28(X).

例4.求函数y=x+ylx2-3x+2的值域。

y=x+y/x2—3x+2=>-Jx2—3x+2=y—x>0

两边平方寿(2y-3)x=y2_2,从而且。

y2-2y2-3V+23

由y-x=y—%NOn?Q—NOnlKyv)或y920

2y-32y-32

任取y22,由,易知x22,-3x+2>0o

任取,同样由,易知KWI。

^x2-3x+2>0.

因此,所求函数的值域为。

(x-1)3+2004(%=

例5(1)设x,y是实数，且满足《、，求x+y的值

(j-1)3+2004(j-l)=l

(2)若方程--2asin(cosx)+/=0有唯一解，求a

x20072007

例6：解方程、不等式：(1)x+log2(2-31)=5(2)(X+8)+X+2X+8=0

(3)(x2-20A-+38)3+4x2+152<x3+84^

Ex1.求y=(3x—l)(j9f—6x+5+1)+(2x—3)(j4x?—12x+13+1)的图象与x轴交点坐

标。

解:y=(.3x-1)(7(3X-1)2+4+1)+(2X-3)(7(2X-3)2+4+1)

♦/«)=«J『+4+D，可知于⑦是奇函数,且严格单调,所以

y=/(3x-l)+/(2x-3),当y=。时,/(3x-l)=-f(2x-3)=/(3-2x),

所以3x-\=3—2x,故,即图象和x轴交点坐标为

若函数于卜玲为单调的奇函数,且JG)+f(x2)=0,以西+々=0。若遇两个式子

结构相同,不妨依此构造函数,若刚好函数能满足上述性质,则可解之。

32

Ex2.设函数/(x)=x+log2(x+7x+l).则对任意实数a,b,“+人》0是

%)+/(与20的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

探求讨论函数的有关性质,历年来都是数学竞赛的命题热点之一,例如探求函数的周期

性,函数的不等式证明,以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题的办法就是要“穿

脱”函数符号“于”,下面我们从具体的例子谈一谈"穿脱”的技巧与方法.

L单调性穿脱法

对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行"穿

脱”，进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.

已知函数代x)在区间q9,+9)上是增函数,a和b是实数.试证:

⑴证明命题:如果a+hNOHOIf(a)+f(h)/-a)+f(-b).

⑵判断⑴中的逆命题是否正确，并证明你的结论.

2反函数穿脱法

灵活自如地处理原函数于3与反函数f-l(x),并能熟练地运用

储的2x时1(X))=K进行穿脱函数符号咛”,这是极为常用而又重要的方法.

引理若f(x),g(x)互为反函数，且f(a+b)=f(a)f(b),则g(nm)=g(m)+g(n)

J

例已知函数网满足:①[(2)=1;②函数的值域为卜1,1];③严格递减;(4)f(xy)=f(x)+f(y).

1

-11

试求：(1)求证:4不在于(x)的定义域内⑵求不等式「——)£一的解集

l-x2

3定义探求法

在求解有关函数方程的问题时，我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数，此时我们一

般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.

例设a>0,%x)是定义在实数集上的一个实值函数，且对每一实数x,有

.^)=2J/W-I/W]2

⑴证明:为x)是周期函数;

⑵对a=l,具体给出一个这样的非常数的函数代x)

例7.设a>l,均为实数，试求当。变化时，函数y=("+sm')(4+sm/的最小值。

1+sin。

f{x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)①

例8.设f(x)是定义在Z上的一个实值函数，/(x)满足

/(1)=0②'

求证：/(x)是周期为4的周期函数。

例9.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-,求证f(x)是周期函数

三、练习

1.集合〃由满足如下条件的函数/(X)组成：当X”々1］时，有

|/(x1)-y(x2)|<4|x,-x2|,对于两个函数工(%)=》2—2x+5,力