高中数学：数列求和的方法技巧

高中数学：数列求和的方法技巧

数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，

只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，

而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又

非等比数列，也就不能直接用公式来求解。对于这种非

常规数列的求和问题，针对具体情况，现归结为以下几

种方法。

一、倒序相加法

此法例1.已知1g(对)=&Sn=lgx"+lg(X»ly)+lg(x"-2y2)+“.+lgyn或

sn.

nn-1n22n

解:Sa=1gx+lg(xy)+lg(x-y)+•••+1gy0①

把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式

子：

nn1n22n

Sn=lgy+lg(y-x)+lg(y-x)+-+lgx.②

把①②两式相加得2Sn=8+1)1g的广=n(n+l)lg(xy)=an(n+l).

Sn=--n(n+1).

二、错位相消法

此法例2.求数列812a2居3....6,…的前n项和。

解：设SR=a+2a，+3a3+・・・+nan.

oircn(n+1)

当a=l时，Sn=l+2+3+...+n=-

当awl时,Sn=a+2a2+3a3+…+na".①

①式两边同时乘以公比3,得aS「a2+2a3+3a4+“・+naZ

a+a2+a3+•••+an-nan+1=~——-nan+1

①②两式相减得1-a

_nan+2-(n+l)an+1+a

n=

三、拆项分组法

把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数

列)，然后利用相应公式进行分别求和。

例3.求数列，…+k+会的前n项和。

解：设数列的前n项和为％,则

号"1+H+白卜…+卜+总；

k+±+2)+(X'+++2)+.“+(x2n+*+2)=(x2+x4+-“+x2n)+[±+g+

…+W)+2n

x"x*-l)x~2(x-2n-1)(x&-1)3a+2+1)

、[3ri3乳=o+o+，n=/Xxo+2n.

当XW±1时，X2-lX-2-lxRxa-l)

当乂=±1时,S“=4n.

说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q=l

与的情况进行讨论。

四、裂项相消法

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如

n(n+1)nn+1

11

(n+1)「ni------=——----------------------=—

'"(口+1)!n!(n+1)!'n(n+l)(n+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

一i——=Jn+1-瓜.

Vn+1+Vn

1_____1_____1________1_

例4.求数列lx3,2x4,3x5，，n(n+2)，的前n项和。

解：n(n+2)21nn+2/

+)]

五、奇偶数讨论法

如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数

项分别总结出“与n的关系进行求解。

例5.已知数列&｝，a「-2[n-(-l力求该数列的前n项和4。

解：an=-2[n-(-l)n]=-2n+2(-1尸,对n分奇数、偶数讨论求

和。

①当n=2m(meN，)时,

2

Sn=S2m=-2(l+2+3+-+2m)+2[(-l)+(-1)+•••+

(-1产]=-2(1+2+3+■■•+2m)=-(2m+1)-2m=-n(n+1).

②当n=2m-l(meN.)时,

2m

Sn=S2m_1=S2m=-(2m+l)-2m+2[2m-(-l)]

=-(2m+1)-2m+2(2m-l)=-4m2+2m-2=-(n+I)2+(n+1)-2=-n2-n-2.

n(n+l)(n为正偶数)，

"*=1-n2-n-2(n为正奇数).

六、通项公式法

利用S"-,问题便转化成了求数列0)的通项问题。

这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。

例6.已知数列｛4｝4=入3可求该数列的前0项和4。

解：

Sn+1-sn=an+i=(n+1)-3n=3n-1(4n+4)=3n­9[(2n+1)-3-(2n-l)]=

44

n+1nn+1

卜2n+l)-3-l(2n-l)-3,目口Sn+1-1(2n+1).3=Sn-l(2n-1).3n

44用J44

・•・数列,《37寸｝是一个常数列，首项为

S1-l-3=a1-2=1.

1444

二&一*丽"

七、综合法

这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观

察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。

例7.已知312-22+32_42+...+(_1严代求$11.

分析：注意观察到：0-22=0-2)(1+2)=-(1+2),

32-42=(3-4)(3+4)=-(3+4),

其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是

偶数。

解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：

Sn=