高中数学教师资格证面试题

高中数学教师资格证面试真题

一、函数零点判定定理........................................................2

二、终边相同的角............................................................3

三、奇函数...................................................................4

四、圆的一般方程............................................................5

五、函数的单调性与导数......................................................6

六、弧度与角度的转化........................................................7

七、子集.....................................................................8

八、直线的点斜式方程........................................................9

九、等差数列的通项公式.....................................................10

十、圆的标准方程...........................................................11

H-一、曲线与方程...........................................................12

十二、交集..................................................................13

十三、两直线平行的判定.....................................................14

十四、充分与必要条件.......................................................15

十五、直线与平面平行的判定定理.............................................16

十六、函数的单调性.........................................................17

十七、椭圆的标准方程.......................................................18

十八、等差数列..............................................................19

十九、几何概型.............................................................20

一、函数零点判定定理

1.题目：函数零点判定定理

2.内容：

c

u

e

o

s

'Es

观察二次函数/（工）=/一如一3后图象（如图o

>

3.1-2）,我旬发现函数/（H）=/-2X-3在区间g

p

［-2.1］上有零点.计算;\-2）与/（）>的案枳，你能发现这个g

u

索积有什么转点？在区网［2.4J上是否也具玄这种侍点凫？e

s9

B3.1-2

可以发现./（-2）•/（IXO.函数八,）=/一。-3在区间（-2,I）内有零立

=-»•它是方程/一一一3=0的一个根.同样堆./（2）./（4）<0,函数八工）3二一

了一3住（2.4）内有零点I-3.它是方程/-2JT-3=0的另一个根.

同学们可以任意画几个函数图象•现余图象.看看是否能得出同样的结果.

一般地.我们有।

如果函Uy/tr）在区间>.6］上的图象是连续不断的一条曲线,并且育/<<»）",

。）<0,那么•函敷y=/Cr）在区间（八%）内有零点.即存在cW（a.6>.«W/（c）=*O.

:个，也就是方程/Cr>i的机

例I求曲数/（力lnr+2Lr-6的零点的个也

3.基本要求：

（1）要有板书；

（2）试讲十分钟左右；

（3）条理清晰，重点突出；

（4）学生能够利用定理判断函数零点个数。

二、终边相同的角

1.题目：终边相同的角

2.内容：

L将焦按以上逑方法放在直角坐标系中

后,给定就有收一的一条终边与之的应.反之.

对十直危坐快系内任意一条射线08，如091.15）.以它

为终边的怠是否唯一?如果不咳一•那么终边相同的角

有什么关系？

不一发现.在图1.1-5中.如娱32°的终边是（犯.那

么328,392,……用的终边翻足（出.并11与-32'角券边

相网的这些角都可以表示成一僧的给与A个（AWZ洲角的

和.如

328—32'+3即（这里.*=）.

392--321G0•（这里人->.

设S='38--32•十。•360’.*€Z.则3281-392

角都是$的元素.32'向也是S的元家（此时4>IN

在豆角生纬系此,所有与32■角终龙相同的角.连同32♦俗在内.都是

中.两州纬迨能再

集合S的声索：又过来.象台5的任一元素显"'jXi'ffi

.«,**♦360-JeSM

终边栩同.

*A的区工因

*.在立席里林东-WM.-1

中讨论角可以《•纣所有句%终边相司的加工「他女内可构成-f

盛表现♦崎“q历

1*,•的交化境

S-户涓一a—•360—.

即住一与角，线边相同的用杷可以去水母飨与受故个网

角的和.

❶"•〜3&)“

住）-360•范楙内。.找出与一950°12'角终选相

n(广0<3«>:

同的角.并判定它是第几象限角.

3.基本要求：

（1）要有板书；

（2）条理清晰，重点突出；

（3）教学过程注意启发引导。

三、奇函数

1.题目：奇函数

2.内容：

度集函数•和/Cr)=；的用象<ffl1.39).并完成下再的

两个由故他对粒表,保位发现这两个话教有什么共同朴普吟？

实际上♦时十函数〃*>r_r定义域R内任意•个都有/(.!■)='——八/).这

时我们称函数，Cr)，为奇函数.

•般地•如果尚上函数八/)的定义域内任意一个/，都行/<x>-/(x).那么南

数/(")就叫做奇泊数(oddfunclkxi).

3.基本要求：

(1)能利用函数图像探究出奇函数的特点；

(2)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节;

(3)请在10分钟内完成试讲内容。

四、圆的一般方程

1.圆的一般方程

2.内容：

1%方程2r+4y+l-。表示什么IB形？方，-2r—4+6

L・J-。我示什么由力？

对方程/+，—2x+4y+1-0配方.可循

Cr-l)'+(y+2»T・

It方程表示以(1.-2)为删心,2为华校长的X.

同样.财方用V+y-Zr-4y+6-O/方.阴。-1A+(y-21一—1.山于不存在

点的士徐(公山族足这个方程.所以这个方程小塞示任何阳形.

­/

:，,力n"+y，nr+gv+F-0在什么*件下表/.?

我打*研究方臼

jr*+y*+&tr+E>+F=a(2)

将方程<2>的左边配方.井把常效率移到右边.郎

(，+¥)'"”针』+厂":'

<I>%〃+£4F>0»J.比较"程①和第的休*方f¥.可以行出力W(2)&示

M(-f.-打为H心.4上口人为中校长的删，

<0>当/>+£>-""<)时.方便<2>x"?.它*示一个

点~f卜

<ID>-iCHF4F<0H-方程(2)及“实数”.它不会示低何用影.

闪筋,、〃+炉一叶<>H.方程(2)&示一个・.方程<2>叫做圈的一般方，11

(itmrrjilrautttwxtofrirrlr).

3.基本要求：

(1)体现出重难点；

(2)试讲10分钟；

(3)合理设计板书；

(4)学生能探究出方程在什么条件下表示圆。

五、函数的单调性与导数

1.题目：函数的单调性与导数

2.内容：

观察下面一些函数的图象（图1.3-2）.探讨函数的中竭性芍其导函数而加的关系.

to1«1.3-3.导数八，，表小函数八八在点（£./Q,））处的切线的斜率,在，二，

处./（J>><i,切线是“左下右匕”式的.这时,函数八丁）在》附近单调透增；在

r-八处.切线是“左上行卜”式的.这时.函数八工）在t附近单网遵械.

fflL3

•般地.函数的单间科与其导函数的正负有如下关系：

O”最A某个U

在某个区间《〃・力）内.如果/<r）0,那么函做・厂间内投存/（jr）-0.

y八心在这个区间内单调速地;如果r（/）<>.那么图数年么品It八力有什么

•依"?

V在这个区间内单调通鹿•.

3.基本要求：

（1）有适当的板书设计；

（2）有讨论、提问环节；

（3）讲清楚函数的单调性与导数的关系

六、弧度与角度的转化

1.题目：弧度与角度的转化

2.内容：

用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同（都是

0）;用角度制和弧度制度度任一非零角.单位不同，度数也不同.

因为周角的弧度数是2元.而在角度制卜的度数是360,所以

360°=2nrad,

180°=贰rad,

1°—rad^O.01745rad.

loO

反过来有:

1rad=，，）°=57.3O°=57T8'.

一般地,我们只需根据

••：1°=y^rad^O.01745rad;

180°=汽rad

=57.30

就可以进行弧度与角度的换算r.

3.基本要求：

（1）要有板书；

（2）条理清晰，重点突出；

（3）教学过程注意启发引导；

（4）学生掌握弧度与角度的转化方法。

七、子集

1.题目：子集

2.内容：

实效有相等美系、大小关系.如5—5,5V7・5>3,等%夷比实效

之闲的关系.你会想到鬃令之何的什么关系？

现>察卜面几个例广・你能发现两个集合间的关系叫？

(!)人={1・2,3).B=U.2.3.4.Sh

⑵设人为新华中学高♦(2)JK全体女生蛆成的年含.8为这个班全体学生才1成的

集合；

(3)设r—是卿条边相等的三角形匕D川)是等艘向影:.

可以发现♦在⑴中.集介人的任何•个元素格是集合“的兀索.这时我们说第—

A与集合包含关系.(2)中的集合人与集合％也有这种关系.

一般地.对于两个集合A.B.如果集合八中任意一个元京

郤是集合4中的儿素.我们就说这两个集合何包含关系.称他

叁人为集合8的子集Gukct).记作

ATH(或1QA).

读作“人含于/「(或“8包含八

在数学中.我们经常用瞥血匕时⑷曲线的内郃代衣集合.

这种图衿为\EHN.这样.！，述集合八和集介4的包含关系.ffit.11

nJUJUffl1.11表示.

在O)中.由于“网条边相等的二前形“是等屐二角形.因

此.集合U・〃鄱地也所外等於三地即纲成的集合.即集合C•中任请你举出几

个具有色舍艮乐.

M个元家都是集合IJ中的元素.同时.案介D中任何个元案也

如等英系的臬鱼

格於集介C中的几札这样.柴合。的几点与集合(•的几索是-实M.

样的.

我们可以用子柒假念对两个集合的相等作进步的数学描i£.

如果架包八是集合“的了集《八匚”》・且集合”是集合

A的「集(呼一人)・此时.集合人，铢合〃中的几索是•样・禹安盘中的绐融

的.因此・集合八勺集合〃相等・・汜ft,,x.、.

A-H.时“T.相臭比・库

有什么体会？

如果集合十二6,但〃住元素.rW",且/W八.我力称

集令八电集合>6的I［子集(propersubset)•记作

3.基本要求：

(1)用韦恩图表示子集的概念；

(2)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节;

(3)请在10分钟内完成试讲的内容。

八、直线的点斜式方程

1.题目：直线的点斜式方程

2.内容：

如图3.2I.直线/经过点儿（A.y）.II斜率为人

设点PQ.W是直线/上不同丁点，的任意•点.因为直线

/的斜率为入山斜率公式得

X-To

即

由上述椎铮过程我们可知：

1°过点几（了,.A）.斜率为A的直线/上的每点的坐标都满足方程（1"

反过来•我们还可以聆证

2.坐标满足方程（1）的每一点都在过点.V）.斜率为A的直线/匕

事实上，若点-Cn.V）的坐标X，足方程3）•即

y>->k（j-t-Jr）.

若H-n.则说明点E与。垂合.于是可得点R在宜线/上，若4#人.

则3二3.这说明过点H和h的直线的斜率为4.于足可得点n在过点尸式看.

X\一工,

g）.斜率为A的自级/h.

上述「.2恸条成立.晚明方程⑴怡为过点3V）.斜率为A的直线/上的任-

点的坐标所满足的关系式.我储称方程<1）为过点P°（r.yj）.斜率为4的在线/的

方程.

方程⑴由直线上一定点及其斜率确定.我CHE（1）叫做直线的―二.简称

「斜式（pointslopeform）.

3.基本要求：

（1）会求直线的点斜式方程，知道其适用范围。

（2）体现出重难点；

（3）试讲10分钟；

（4）合理设计板书。

九、等差数列的通项公式

1.题目：等差数列的通项公式

2.内容：

般地.如果等差数列“♦的首项是小.公差是d,我们根据零差数列的定义.可以得到

a：a।=J•a।a»­d•a1-a,i—c/•

所以

a：=a।+J♦

­=〃1+d=(ai+4)+d-a+2</*

a」匚a—d=(ai-Zdl+d=

由此,请你填空完成等基数列的通项公式

0.=。］+()d.

例1(D求等差数列8.5.2,…的第20项；

(2)-401是不是等基数列-5.-9.13,…的项？如果是•是第几项？

解：(1)由a1=8.1=5—8=—3,w=20>得

a20=8+(20—1)X(—3)—-49,

(2)由5,C/R—9—(―5)=-4,得这个数列的通项公式为

aN=-5-4(n-1)=­—1.

由题意知,本题是要回答是否存在正整数〃.使得

—401=-44—I

成立.解这个关于〃的方程,得〃=100.即一401是这个数列的第100项.

3.基本要求：

(1)能推导出等差数列的通项公式；

(2)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；

(3)请在10分钟内完成试讲的内容。

十、圆的标准方程

1.题目：圆的标准方程

2.内容：

•西2・2-1（1）星以。为3"为定长画出的一个■•如何日

立它的方修？

i(2».

J-9CUUO为壶修£(旭2・2・1(2»・<.w

»-fttFtr.

»Xfft«t.OF-r.HAy>fU.W

/Q-OH-F^-OP-r.

“♦M.W

亭U*I的・也*・，♦丁一H

"一，it*是所求叫方■H・上的任

-M.ftAPtr・y>J|aCU・6为・6・，为*粒内・上的任

■一点（国2・2・2>・，<7,匕白MAM的重离公式归

jlr一.——。一护.r.

印

S-d+”W-d・（D

及.若点R■£*（4•力）是方0a的・・1!

g

j57y+S-**，・

送设,点HCr”*）在口8・6力水、•'为丰收的・上

+-人，>0）

叫・以血（3・6》・心.，为*&11^«$方△

3.基本要求：

（1）如果教学期间需要其他辅助教学工具，进行演示即可;

（2）让学生理解掌握圆的标准方程的推导；

（3）教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；

（4）要求配合教学内容有适当的板书设计；

（5）请在10分钟内完成试讲内容。

十一、曲线与方程

L题目：曲线与方程

2.内容：

•・我的研究r在线MBI的方程.时论r这些曲线（包括京我）加相应的方程的关

系.下面也一步研究一般•理（包括直或）和方程的关系.

我m知道.在直焦坐标系中.平分第、三象米的口蝶的方程是*-y=o,这就

是说.如果点MQ°・*）是这条宣奴上的任息一点.它到内堂体■的能离相等.即r

=A・那么它的里林（r・＞＞是方程1—y■。的“1反过来.如果（4・y）是方望X

一尸。的■・"&=*・那幺以这个■为里你的点利两堂幄轴的距离相等.£一定

在这条直域上（图2】D.

又如・以Q-6）为毗3r为华校的回的方程是（工一。）：，6・一力?一/,这就是说.加

果MCR・》）是■上的点.后么它到留心的距离一定等于半校.即,《4一“/+《”—6了

一，♦也就是（五-。）:+（*—6）:=/♦这说明它的坐你（打・》）是方程（X—■）'+

（k*6）’―/的Hi反过来・如果（n・g》是方程（/。/+（y-5）*=＞的■・即

（区-/S—•）”+《》—林・♦,却以这个・为坐标的点

利点Q・6）的即寓为r・它一定在以储・b）为Bl心、/为华校的■上（图2・12）.

在血角轮标系中.如果某曲线C《R作点

的集合或适合某聆条件的点的负逊）上的点与一个二元

方程/《，・w・o的实效5建立了如下的美系,

（I）♦线上点的坐标都是这个方程的11，

（2）以这个方粮的单为坐标的点科是普线上的点.

篇么.这个方ft叫做管线的方程，这条曲拨叫俄方程的青蝶（cnee.

3.基本要求：

（1）要有板书；

（2）条理清晰，重点突出；

（3）讲清楚曲线与方程的关系。

十二、交集

1.题目：交集

2.内容：

号拿下面的同期.集合A.B与集合C之呵有什么美最？

(1)A-U-4.6.8・10>・B={3.5.8.12).C«(8h

(2)人・(，匕葩*华中学2004年9月在校的女同学}.是新华中学2004年

9月在校的高一年级自学).C-(x|z最新华中学2004年9月在校的高一年ft女同学).

我r】看到.在上逐问题中.鬣合「是由那些改“于集合A且乂属于集合8的所育无

*忸或的.

一般地.由*于集合Afl属于集合3的所有元素用成的

霰合・强力A与H第交■(intersectionx«)・记作人。b

<«<r・人父B・)・9

人n8-ULrWA・且*WBL

可用Ven困1.17表示.

这祥.在上述同星<1)(2)中.Af|B=C

倒6抵华中学开运动会.设

人-1*“是・华中孕高一年次叁加白米交跑的同学.

BnLr"是顺华中学高一年级参加跳高比赛的同学.

求4CIK

«：人。811型*隼中学高一年级中那州既参加百米变的乂*加跳高比^的同学坦虞的

■合.所以.AnB・LrbJg新华中学育•年蝮我与加口*安苑乂叁加跳高比委的时学).

3.基本要求：

(1)用韦恩图表示交集的概念；

(2)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节；

(3)要求配合教学内容有适当的板书设计；

(4)请在10分钟内完成试讲内容。

十三、两直线平行的判定

1.题目：两直线平行的判定

2.内容：

改角条/•的气率分别为，，・

h//i：H.h与&演星什么美、？

Nik.用A与4的演斜角与相等.fcWXl7.由

•I-•：.可"sn®i-tan。；.印时■&.Nit

著/，〃&♦剜%=&.

反之*If4i-kz•JHh//h»

于史我I〕得刎.财于前条自我♦・/,,凡科不分用为a.b・

■117

/|〃/«0%二方.

«tt*>nfitt/..，：可能0余时.

«/.

Mfe.用斜率让■三个点件IW.*或@明到这，结论

3.基本要求：

（1）试讲过程要有条理；

（2）有适当板书；

（3）能够根据斜率判定两条直线平行;

（4）试讲时间十分钟。

十四、充分与必要条件

1.题目：充分与必要条件

2.内容：

MMKIIHie(方式的金虺•K中有伪•也为««电.”的0d

为戴命®Mln.卜*4角个金d中：

(1)ft♦夕・・r^-2n/#.

(2)tiabo«W|«'(>•

命It(I)0也<：>为仪0a

・•・•，，力Ceit・及指的。透过,内彳日初出4.述附・MIA

诲.曲。/■出％id作(--

■*♦■<|>04*

IHliftpMv的充分事件(ahrirfMcondrt”n>・q般。，£3・・，

的0量条件(iwtarygAtg).f，

«•♦伎t>^♦>4

I*的。虺(l>SAM.BJL・ft«Hfr>2«i<A.

w1HA.*J>W4-f>

dWAASS叁♦件.

所以-，L+V-ft-x>W的允分条件.-r>一

3H•,>」+，■ne«*n.

3.基本要求：

(1)教学中注意师生间的交流互动，有适当的提问环节;

(2)要求配合教学内容有适当的板书设计；

(3)请在10分钟内完成试讲内容。

十五、直线与平面平行的判定定理

L题目：直线与平面平行的判定定理

2.内容：

通过探呢.我夕1发现.A线。与直战〃共曲・立奴U与

子■•不可•相交.宜筑。与平面。平行.COMA*).可以・I

雄』&“的牛”・・w;

-«*.我＜□可以证明下冏的结论.

■个。.这是★―文河

定土甲■外一条直线与此平I■内的一条直线平行.■社JL次4一**•*3・k

*豆*与，■手钻是季＜«।

茶直线与优平・平行.

上述定理通*称为直线与平面平行的九定定理.它可以，然・)“化角JL&K个〃

美*

用符号表示：伙Zs・

家fit,空间网边影M1K西边中点的连线平行于经过另外网边所在的平廊•

巳如：如囹2.2・5・空间四边形人BCD中.E・尸分别是AB・AD的中点.

求i£jEF〃半倒BCD.

还刖：illftBD.

因为AE^EB.AF=FD.

所以EF//HD(三细步中位

位的性陆〉.♦后香“♦一番已AJL

内为EFC平旬BCD.BDC线易一个今面个什.X＜A

平面BCD.

由直纹与平出平行的判定定时拘

EF〃平9iBCD.

3.基本要求：

(1)要有板书；

(2)试讲十分钟左右；

(3)条理清晰，重点突出；

(4)学生掌握直线与平面平行的判定定理。

十六、函数的单调性

L题目：函数的单调性

2.内容：

N于二次函故/（，）=/.我KJ可以这样描述-在区向

（0.+~）±.*衣，的增大.相应的/（力也丽哥增大，在区

问（0.+«＞＞上.任取两个了”jrj./（xi）=r{.fix,＞=

/<*)-/AKR

人.当有/（A）＜/（n）.这时.我的就说函数

•(-8.O'X***

/（，）=/在区网（0.+8"：是增函畋.

一般地.设南数，（外的定义域为/,

加果附于定义域/内某个K间D上的任意四个白变屈的（ftx1,工”为时.«

?l/（X|X/（T：）.S么就说函数/（1）在区间D上兄,增函蚊（increasingfunction）＜M

l.3-3（l））t

如果时于定义域I内某个区间。上的任意两个自变量的tfth,工"当4＜十时.S

6/（4）＞/（1!1,）.那么就说函数/（了）在区间D上西效（decreasingfunction）

3.基本要求：

（1）试讲十分钟；

（2）要有板书设计；

（3）提问具有启发性；

（4）掌握函数单调性的求法。

十七、椭圆的标准方程

1.题目：椭圆的标准方程

2.内容：

力0*

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tteX♦哀1r分ttRy■・唾『优能"

&"■・x>MMMi.ftB-A.■・/«!，AZr。o>.

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mu

彳产丁丁)二R——"

为化—iX个方程・格左必纣一个帔大林HI

・这个▼方・2

111■■的定望可M・2->2r・，“>•・若以d—r*。

3.基本要求：

(1)要有板书；

(2