中考数学模拟试卷二十六（含解析）

中考数学模拟试卷二十六（含解析）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分,共40分)在每小题给出的四个选项中

只有一个选项符合题意.

1.（4分）（2021•资阳）2的相反数是（）

11

A.-2B.2C.-D.-4

22

2.（4分）（2021•资阳）下列计算正确的是（)

A.a2+a2=2c^B.C.(3a)2=6a2D.a6+a2=«3

3.（4分）（2021•资阳）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中

的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

4.（4分）（2021•资阳）如图，已知直线m//n,Zl=40°,N2=30°,则N3的度数为

（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

5.（4分）（2021•资阳）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前

8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）

A.平均数B.众数C.方差D.中位数

6.（4分）（2021•资阳）若a=近,b=A/5,c—2,则a,b,c的大小关系为（)

A.h<c<aB.h<a<cC.a<c<bD.a<h<c

7.（4分）（2021•资阳）下列命题正确的是（）

A.每个内角都相等的多边形是正多边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D.三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

8.（4分）（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形

ABCD.连结EG并延长交BC于点若AB=旧，EF=\,则GM的长为（）

3-724V2

C.—D.

45

9.（4分）（2021•资阳）一对变量满足如图的函数关系.设计以下问题情境:

①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟,在原地停留了2分钟,然后以1000

米/分的速度匀速骑回家.设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；

②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满

后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水.设所用时间为x秒，瓶内水

的体积为y升；

③在矩形ABCD中，AB=2,BC=1.5,点P从点4出发.沿AC-CD-D4路线运动至

点A停止.设点P的运动路程为x,△ABP的面积为y.

其中，符合图中函数关系的情境个数为（）

A.3B.2C.1D.0

10.（4分）（2021•资阳）已知A、3两点的坐标分别为（3,-4）、（0,-2）,线段A3上有

一动点M（加，n）,过点〃作x轴的平行线交抛物线（x-1）2+2于尸（xi,yi）、Q

（A2,J2）两点.若则。的取值范围为（）

A.-4^a<-2B.-4^a<C.-^<a<QD.<a<0

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）（2021•资阳）中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从

建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党.请将数92000000

用科学记数法表示为.

12.（4分）（2021•资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈

从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为.

13.（4分）（2021•资阳）若1=0,则3x-?=

X-------

14.（4分）（2021•资阳）如图，在矩形A8C。中，AB=2cm,AD=Vlcvw以点B为圆心，

AB长为半径画弧，交CD于点E,则图中阴影部分的面积为cm2.

15.（4分）（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成

六等份折叠得到图2,将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角

星.若/CDE=75°,则NOBA的度数为.

图1图2图3

16.（4分）（2021•资阳）如图，在菱形A8CC中，ZBAD=120°,OEJ_8C交BC的延长

线于点E.连结AE交BQ于点立交CO于点G.FHLCD于点H,连结CF.有下列结

论：®AF=CF；②AF2=EF・FG；③尸G：EG=4：5；④cosNG尸”=之空.其中所有正

14,

确结论的序号为.

三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

2

%+2%+11r2

，7-（9分）（2021•资阳）先化简，再求值：（下1一有）十口，其中…"

18.（10分）（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作.某单位为了解

职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时

关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所

示的统计图.

个人数

150-----------营

120

90

60

30:生舌一二

0BCD霸

请根据图中信息，解答下列问题:

(1)求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

(2)若。类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图

或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率.

19.(10分)(2021•资阳)我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知

识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件

乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.

(1)求甲、乙两种奖品的单价；

(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种

奖品数量的去应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

20.(10分)(2021•资阳)如图，己知直线)=履+6(无片0)与双曲线y='相交于A(m,

3)、B(3,n)两点.

(1)求直线AB的解析式；

(2)连结AO并延长交双曲线于点C,连结8c交x轴于点。，连结A。，求△48。的面

积.

21.(11分)(2021•资阳)如图，在△A8C中，AB=AC,以AB为直径的。0交8c于点£>,

力EL4c交BA的延长线于点E,交AC于点尸.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若AC=6,tanE==r,求AF的长.

q

■E

B

22.（11分）（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020-2025年拟建设5G基站七

千个.如图，在坡度为i=l：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB,小芮在坡脚C测

得塔顶A的仰角为45°,然后她沿坡面CB行走13米到达。处，在。处测得塔顶4的

4?

仰角为53°.（点A、B、C、。均在同一平面内）（参考数据：sin53°«cos53°«

4

tan530*4)

（1）求。处的竖直高度;

（2）求基站塔AB的高.

23.（12分）（2021•资阳）已知，在△ABC中，ZBAC=90°，AB=AC.

（1）如图1,已知点。在BC边上，ZDAE=90°,AD=AE,连结CE.试探究与

CE的关系;

(2)如图2,已知点。在BC下方，ZDAE=90°,AD=AE,连结CE.若8Z)_LAQ,

CE=2,AD交BC于点、F,求A尸的长;

（3）如图3,已知点。在8c下方，连结AD.BD、CD.若NCBO=30°,ZBAD>

15°,AB2=6,AZ)2=4+遮，求sin/8C£)的值.

24.(13分)(2021•资阳)抛物线y=-/+fcv+c与x轴交于4、8两点，与)，轴交于点C,

且B(-1,0),C(0,3).

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E,当PE：

BE=l：2时，求点P的坐标；

(3)如图2,点。是抛物线的顶点，将抛物线沿CO方向平移，使点O落在点。处，且

Q£>'=2C。，点M是平移后所得抛物线上位于。'左侧的一点，MN〃y轴交直线0Z7于点

V5

N,连结CN.当gO'N+CN的值最小时，求MN的长.

2021年四川省资阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项符合题意.

1.（4分）（2021•资阳）2的相反数是（）

1I

A.-2B.2C.-D.一5

22

【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.

【解答】解：2的相反数是-2.

故选：A.

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一

个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.（4分）（2021•资阳）下列计算正确的是（）

A.（r+a2—2a4B.c^a—cr1C.（3a）2—6a1D.a^+a2—^

【分析】根据合并同类项法则，同底数基乘法，幕的乘方与积的乘方逐项进行计算即可.

【解答】解：A.（^+a2=2a2,因此选项A不正确;

B.a2,a=a2+'=ai,因此选项B正确；

C.（3a）2—9a2,因此选项C不正确；

与J不是同类项，不能合并计算，因此选项。不正确；

故选：B.

【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幕乘法，幕的乘方与积的乘方，掌握合并同类

项法则，同底数累乘法，幕的乘方与积的乘方的计算方法是得出正确答案的前提.

3.（4分）（2021•资阳）如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中

的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）

【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出

答案.

【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为3个正方形，右边的一列为一个

正方形，

因此选项C中的图形符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判

断的前提.

4.（4分）（2021•资阳）如图，已知直线m//n,/1=40°,/2=30°,则/3的度数为

（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【分析】由两直线平行，同位角相等得到N4=40°,在根据三角形的外角性质即可得解.

【解答】解：如图,

1m

3（X

:直线〃z〃〃，Nl=40°,

.*.Z4=Z1=4O°,

VZ3=Z2+Z4,/2=30°,

.\Z3=30°+40°=70°,

故选：B.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题

的关键.

5.（4分）（2021•资阳）15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前

8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（）

A.平均数B.众数C.方差D.中位数

【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，

只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可.

【解答】解：由于总共有15个人，且他们的成绩互不相同，第8的成绩是中位数，要判

断是否进入前8名，故应知道中位数的多少.

故选：D.

【点评】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量.

6.（4分）（2021•资阳）若a=诟,b=V5,c—2,则a,6,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出a、〃的近似值，再进行比较即可.

【解答】解：

A1<V7<2,

即l<a<2,

又；2<遮<3,

：.2<b<3,

.'.a<c<h,

故选：C.

【点评】本题考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意

义是正确判断的前提.

7.（4分）（2021•资阳）下列命题正确的是（）

A.每个内角都相等的多边形是正多边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D.三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分

【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线

定理进行判断即可选出正确答案.

【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；

8、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；

C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题;

。、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故错误，是假命题.

（,:DE是aABC的中位线,

J.DE//BC,DE=jfiC,

A/\ADE^^ABC,相似比为1:2,

•'•5AAD£：SA4BC=1:4，

SAADE：S四边形OECB=1：3.）

故选：B.

【点评】本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中

位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义.

8.（4分）（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它

是由四个全等的直角三角形和一个小正方形E尸GH组成，恰好拼成一个大正方形

ABCD.连结EG并延长交8C于点M.若AB=A,EF=L则GM的长为（）

3724V2

C.—D.

45

【分析】由大正方形4BCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，在

直角三角形AEB中使用勾股定理可求出BF=AE=GC=DH=2,过点M作MNLFC于

点N,由三角形EFG为等腰直角三角形可证得三角形GNM也为等腰直角三角形，设GN

=NM=a,则NC=GC-GN=2-a,由tanZFCB=罄=|=翳=可解得«=进

而可得GM=V2NC=华.

【解答】解：由图可知/AE8=90°,EF=1,AB=V13,

;大正方形ABC。是由四个全等的直角三角形和一个小正方形ErGH组成,

故AE=8/=GC=£W,设AE=x,

则在RtAAEfi中，有AB2=AE1+BE1,

即13=J+(1+X)2,解得：x=2.

过点M作MNLFC于点N,如图所示.

•.•四边形EFG"为正方形，EG为对角线，

：./\EFG为等腰直角三角形，

:.NEGF=NNGM=45°,

椒2GNM为等腰直角三角形.

设GN=NM=a,则NC=GC-GN=2-a,

•tanZFCB=CF=3=-CN=2^'

解得：“=g.

：.GM=y/GN2+NM2=J《）2+（1）2=华.

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确

作出辅助线是解决本题的关键.

9.（4分）（2021•资阳）一对变量满足如图的函数关系.设计以下问题情境：

①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟,在原地停留了2分钟,然后以1000

米/分的速度匀速骑回家.设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；

②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满

后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水.设所用时间为x秒，瓶内水

的体积为y升；

③在矩形ABC。中，AB=2,BC=1.5,点尸从点A出发.沿AC-CQ-D4路线运动至

点A停止.设点P的运动路程为x,Z\AB尸的面积为y.

其中，符合图中函数关系的情境个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可.

【解答】解：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，离家的距离=600X

2.5=1500（米）=1.5（千米），

原地停留=4.5-2.5=2（分），

返回需要的时间=1500+1000=1.5（分）,4.5+1.5=6（分）,

故①符合题意；

②1.5+06=2.5（秒），2.5+2=4.5（秒），1.54-1=1.5（秒），4.5+15=6（秒），

故②符合题意；

③根据勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=J22+l.52=2.5,

当点P在AC上运动时，y随x增大而增大，运动到C点时，）=3x2X1.5=15

当点P在CQ上运动时，y不变，y=1.5,

当点P在AO上运动时，y随x增大而减小，

故③符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了函数的图象，注意看清楚因变量和自变量分别表示的含义，注意单

位换算.

10.（4分）（2021•资阳）已知A、8两点的坐标分别为（3,-4）、（0,-2）,线段A8上有

一动点M（〃?，n）,过点M作x轴的平行线交抛物线y=a（x-1）?+2于P（制，yi）、Q

（X2,”）两点.若则。的取值范围为（）

A.-4W〃V—2B.2C.—D.-2<^<0

【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，。<0.求出抛物线经过点A时。的值即可.

【解答】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，。<0.

当抛物线y=a（x-1）2+2经过点A（3,-4）时,-4=4。+2,

,3

・・4=一］,

观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点A时，满足条件，

3

；♦_2S”<0.

故选：C.

【点评1本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识,

解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）（2021•资阳）中国共产党自1921年诞生以来，仅用了100年时间，党员人数从

建党之初的50余名发展到如今约92000000名，成为世界第一大政党.请将数92000000

用科学记数法表示为9.2X107.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中1＜间＜10,〃为整数.确定〃的

值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负数.

【解答】解：92000000=9.2X107.

故答案为：9.2X107.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其

中”为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

12.（4分）（2021•资阳）将2本艺术类、4本文学类、6本科技类的书籍混在一起.若小陈

从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为；.

【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可.

【解答】解：・・•一共有2+4+6=12本书籍，其中文学类有4本，

41

・・・小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为二=大

123

故答案为：

【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（4）=事件4可能出现的结果数

・事件A可能出现的结果数.

13.（4分）（2021•资阳）若/+x-l=0,则3x_：=-3.

【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据f+x-1=0,可以得到X-9的

值，然后代入化简后的式子即可解答本题.

【解答】解：3x-g=3（X-1）,

-1=0,

x+T=0,

1

当=时，原式=3X（-1）=-3,

故答案为：-3.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

14.（4分）（2021•资阳）如图，在矩形A8CQ中，AB=2cm,A£>=以点B为圆心,

A8长为半径画弧，交CD于点E,则图中阴影部分的面积为，-亨

A\----------------------------------\B

【分析】连接BE.首先证明NE8C=30°,根据5阴=5矩形ABCD-S^EBC-S扇形AE8计算

即可.

【解答】解：如图，连接8E.

•・•四边形A8CO是矩形,

:.AD=BC=Wcm,ZC=ZABC=90Q,CD//AB,

在RtZ\BC£中,

**AE=BE=2cm,BC=75c7%,

EC=\lBE2—BC2=1cm,

：.ZEBC=30°,

；・NABE=NBEC=60°,

「・S阴=S矩形ABCD-S/\BEC~S痢形AEB,

=2-ix1xV3-

ZooU

=（2-苧—gn）cM.

故答案为:（2—苧—^n）.

【点评】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角的判断等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

15.（4分）（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径对折后，按图1分成

六等份折叠得到图2,将图2沿虚线AB剪开，再将aAOB展开得到如图3的一个六角

星.若NCDE=75：则NO8A的度数为135°.

图1图2图3

【分析】根据翻折可以知道NQ4B=4/OCE,且NCDE=75°,CD=CE,求出/A08

和NOAB的度数即可求NOBA的度数.

【解答】解：由题知，N4O8=!xl80°=30°,

O

1

有翻折知NOAB=ROCE,CD=CE,

VZCDE=75°,

AZDCE=180°-75°-75°=30°,

AZOAB=^ZDCE=x30°=15°,

・・・NOBA=1800-NAOB・NO48=180°-30°-15°=135°,

故答案为：135°.

【点评】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键.

16.（4分）（2021•资阳）如图，在菱形中，/BA£）=120°,OE1.BC交8c的延长

线于点E.连结AE交8。于点F,交CZ）于点G.FHLCD于点H,连结CF.有下列结

论：®AF=CF；②AF2=EF・FG；③FG：£G=4：5；④cosNGF”=喑i.其中所有正

确结论的序号为①②③④.

【分析】由菱形ABC。的对称性可判断①正确，利用△CFGSAEFC,可得CF2=EF・GF,

从而判断②正确，设4。=。。=8。="小心。。£：中，CE=CO・cos60°=*CD=加,BE=

3,AFADm24

甲〃可得—=—=3-=一,设AF=2n则(7/=4尸=2〃,EF=3〃,可得FG=RI,EG=EF

乙EFBE-m3f3

2

r4-5

-尸6=京,从而尸6/6=([7):.")=4:5,可判断③正确，设CE=f,RtZ\C£>E中，CD=2t

=AD,DE=倔,Rt/XBOE中，BO=2OE=2倔,可求出DF=|B£)=唱,RtADFH中，FH=

-DF=等中，AE=\/AD2+DE2=J(2t)2+(V3t)2=夕f,即可得EF=^AE=

吗,FG=：EF=祟八RtAFHG中，cos/GFH=普=军=当轶即可判断④正确，

□yIDru14

【解答】解：・・•菱形ABC。,

・・・对角线8。所在直线是菱形ABC。的对称轴，沿直线8。对折，A与C重合,

・・・4P=",故①正确,

/FAD=/FCD,

YAD//BC,

：.ZFAD=ZFEC,

:・/FCD=/FEC,

又NCFG=/EFC,

:.△CFGSXEFC,

.CFGF

"'EF-'CF'

：.CF1=EF'GF,

尸=EF・GF,故②正确，

:菱形A8C£>中，ZBAD=120°,

.*.ZBCD=120°,ZDC£=60°,NCBD=NCDB=30°,AD=CD=BC,

设AO=CD=BC=〃?，

:DELBC,

:.NDEC=90°,

11

□△COE中，CE=CD・cos600=*C7)=与几

3

*：AD//BE,

tAFADm2

^EF-BE一当n-3’

2

设A尸=2〃，则C/=4八=2〃,£/=3〃，

1

又CF=FG*EFJ

A(2n)2=FG*3n,

4

FG=

：.EG=EF-FG=I”，

45

：.FG:EG=(-n):(丁)=4:5,故③正确，

设CE=t,

□△CDE中，CD=2t=AD、DE=网,

RtZ\8£)E中，BD=2DE=2限

■:AD//BE,

.DFAFAD2

"BF~EF~BE~3,

：.DF=|BD=等f,

Rt△。尸H中，FH=S）F=咨，

Rt/XAQE中，AE=>JAD2+DE2=J（2t）2+（V3t）2=41t,

：.EF=|AE=落，

"：FG:EG=4:5,

:.FG=料=詈

FHw厅r

心△F”G中，cos/GF”=^=告=故④正确，

Fu447+J.4

芯t

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查菱形性质及应用，涉及菱形的轴对称性、三角形相似的判定及性质、勾

股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形性质，从图中找出常用的相似三角形模型解

决问题.

三、解答题：（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

%2+2%+11丫2

17-（9分）（2021•资阳）先化简,再求值：（工一一三）+六’其中…=0.

【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将x的值代入求出答案.

，X2+2X+1X+1X-1

【解答】解：原式=（中工-一二五〉百

x2+x久T

X2—1X2

x(x+l))T

(x+l)(x-l)'F

1

-一

X

Vx-3=0,

，工=3,

此时,原式=/.

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键.

18.（10分）（2021•资阳）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作.某单位为了解

职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为：A（实时

关注）、B（关注较多）、C（关注较少）、D（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所

示的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求C类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

（2）若。类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图

或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率.

【分析】（1）由8类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题；

（2）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）调查的职工人数为：150+75%=200（人）,

；.C类职工所对应扇形的圆心角度数为：360°x孺=27°,

A类的人数为200-150-15-5=30（人）,

补全条形统计图如下：

牛人数

150------------例

120

90

60

30

0BCD

（2）画树状图如图:

女女男男女女男男女女男男女女女男女女女男

共有20种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有12种,

123

二恰好抽到一名女士和一名男士的概率为:

205

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.（10分）（2021•资阳）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知

识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件

乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种

奖品数量的点应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件

甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即

可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买甲种奖品机件，则购买乙种奖品（60-机）件，设购买两种奖品的总费用为

w,由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的去可得出关于〃?的一元一次不等式，解之

可得出〃，的取值范围，再由总价=单价X数量，可得出w关于〃?的函数关系式，利用一

次函数的性质即可解决最值问题.

【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，

依题意，得：露筝*。，

解喉牛

答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件.

（2）设购买甲种奖品〃?件，则购买乙种奖品（60-利）件，设购买两种奖品的总费用为

w,

•.•购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，

.,.m>.60-tri）,

依题意，得：w=20〃i+10（60-m）=10，〃+600,

V10>0,

随，"值的增大而增大，

当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最小，最小费用是800元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应

用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间

的关系，找出w关于机的一次函数关系式.

20.（10分）（2021•资阳）如图，已知直线>=依+匕（kWO）与双曲线），=?相交于A（〃?，

3)、B(3,n)两点.

(1)求直线AB的解析式;

(2)连结AO并延长交双曲线于点C,连结交x轴于点。，连结AO,求△48。的面

积.

【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直

线AB的解析式；

(2)根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析

式，从而求得。的坐标，利用三角形面积公式求得S^CD=SA4OH“COD=3,根据勾股定

理求得CD、BD的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△AB。的面积.

【解答】解：(1)♦.•直线(A/0)与双曲线)，=3相交于A(相，3)、B(3,ri')两

点.

••3/72=3/2=6,

♦・机=〃=2,

・・・4(2,3),3(3,2),

把A(2,3),B(3,2)代入y=kx+b得位：：;：

解得忆

直线AB的解析式为y=-x+5；

(2)；AC经过原点O,

；.A、C关于原点对称，

V4(2,3),

・・・C(-2,-3),

设直线CB的解析式为y=fnx+n,

..仁2<+n：-3,解得产=1

直线BC为y=x-1,

令y=0,则x=l,

•••0(1,0),

S&ACD—S^AOD+S/\COD—2XX1X3—3,

\'BC=J(3+2)2+(2+3)2=5五,BD=7(3-I)2+22=2或，

：.CD=BC-BD=3^2,

.CD3

'"BD~2'

.2

S^ABD=-^S^ACD—2.

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解

析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形的面积以及勾股

定理的应用等，求得交点坐标是解题的关键.

21.(11分)(2021•资阳)如图，在△ABC中，AB=AC,以48为直径的。0交BC于点。，

CELAC交BA的延长线于点E,交AC于点F.

(1)求证：OE是。0的切线；

(2)若AC=6,tanE彩，求AF的长.

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得N4BC=ZACB=ZOBD=ZODB,nJiiEOD//AC,

可得OOJ_OE,可得结论；

(2)由锐角三角函数可求OE=4,在直角三角形OOE中，由勾股定理可求OE=5,通

过证明△AErsaOE。，可得一=一,即可求解.

OEOD

【解答】证明：(1)如图，连接0。

9：AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

,?OB=OD,

：./OBD=/ODB,

：.ZODB=ZACB,

：.AC//OD,

:./DFC=/ODF,

DEI.AC,

:./DFC=/ODF=90°,

:.OD上DE,

・•・£>£是OO的切线；

(2)'：AC=6=ABf

：.AO=OB=3=OD,

9：ODLDE,tanE=

.OD3

DE4

：.DE=4f

：.OE=y/OD2+DE2=79+16=5,

：.AE=OE-OA=2,

U：AC//OD,

・・・

•AEAF

OEOD

.2AF

,•二=,

53

【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形

的判定和性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键.

22.（11分）（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020-2025年拟建设5G基站七

千个.如图，在坡度为i=l：2.4的斜坡C8上有一建成的基站塔AB,小芮在坡脚C测

得塔顶A的仰角为45°,然后她沿坡面C2行走13米到达。处，在。处测得塔顶A的

仰角为53°.（点A、B、C、。均在同一平面内）（参考数据：sin53°

4

tan53°《可）

（1）求。处的竖直高度;

（2）求基站塔A8的高.

【分析】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i=l：2.4,CD=13,由勾股定理可求

出答案;

（2）设出OE的长，根据坡度表示8E,进而表示出C凡由于△4CF是等腰直角三角形,

可表示BE,在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出进而求出A8.

【解答】解：(1)如图，过点C、。分别作48的垂线，交AB的延长线于点E、F,过点

。作DW_LCF,垂足为

；斜坡CB的坡度为i=l：2.4,

.DM1

"CM~2.4

DM5

即=—>

CM12

设。M=5Z,则CM=12A,

在RtZXCOM中，CO=13,由勾股定理得，

CM2+DM2^CD2,

即(5k)2+(12A)2=132,

解得k=l,

：.DM=5,CM=\2,

答：。处的竖直高度为5米；

(2)斜坡CB的坡度为i=l：2.4,

设OE=12a米，贝ijBE=5a米，

又；NAb=45°,

:.AF=CF=(12+12。)米,

：.AE=AF-EF=\2+\2a-5=(7+12a)米，

在RtZ\AZ)E中，DE=12a,AE=7+12a,

4

VtanZADE=tan53°、3,

7+12a4

•♦―»

12a3

解得m=

：.DE=12a=2\（米），AE=7+12a=28（米）,

QC

BE=5a=乎（米），

QC77

：.AB=AE-BE=28-（米），

、77

答：基站塔A3的高为-7米.

4

【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角

关系和坡度的意义进行计算是常用的方法.

23.(12分)(2021•资阳)已知，在△48C中，/B4C=90°,AB=AC.

(1)如图1,已知点。在BC边上，ND4E=90°,AD=AE,连结CE.试探究B。与

CE的关系;

(2)如图2,已知点。在BC下方，/D4E=90°,AD=AE,连结CE