高中数学复习 排列、组合、二项式定理的类型与解题策略

排列、组合、二项式定理的类型与解题策略

排列、组合、二项式定理既是近代组合数学、概率统计的基础，又是每年高考必考内容

之一，对培养学生分类讨论的数学思想方法和解决实际问题的能.力与技巧有着重要的意义.

由于研究对象的独特性，排列、组合的内容显得比较抽象——题型多变，思维抽象，条件隐

晦，解法别致，因此学习起来比较困难.实践证明，弄懂原理，掌握题型，领悟方法，识别

类型，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径.

第一部分：排列、组合的类型与解题策略

排列组合中最具典型的问题是“排数”、“排队”、“涂色”、“含”与“不含”、“至多”

与“至少”等.无论是哪类问题，其解决方法无外乎直接法与间接法.学习过程中，要在理解

的基础上掌握一些基本类型的解题方法与技巧，并能灵活运用.如能借助图形、表格帮助分

析，则可使问题更加直观、清晰.

一、相邻、不相邻（相离）、不全相邻问题：相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空

法”，不全相邻问题常采用“正难则反”的策略，即用“间接法”求解.

例1、⑴用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3

与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个.

⑵某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将

这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数有种.

⑶四名男生和三名女生排成一排，则三名女生不全相邻的排法有一种.

解：⑴先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”,

共有A2A2A2A3A4=576种.

⑵增加的两个新节目，可分为相邻与不相邻两种情况：不相邻时共有种；相邻时共

有种。故不同插法的种数为：A：+A；A：=42,故选A.（也可将新增的两个节目

中的一个插入已排好的五个节目形成的6个空中，另一个插入已排好的6个节目形成的7

个空中，故不同插法的种数为6X7=42种）.

⑶用排除法求解，共有A；-A；・A；=4320（种）.

二、定序问题：对于排列问题中限制某几个元素保持一定的顺序，可先把这几个元素与

其它元素一同进行排列，然后用总的全排列数除以这几个元素的全排列数.

例2、⑴五人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（可以不相邻）那么不同的排

法种数有^种.

⑵由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字

的六位数共有个.

解：此为定序问题，用“缩倍法”求解.⑴甲在乙的右边与甲在乙的左边排法数相同，

故共有排法;A；=60种，；⑵（先排除再缩倍）共有$人：一4）=300个.

三、分组与分配问题：

例3、6本不同的书，按以下要求各有多少种分法？⑴平均分成三组；⑵分成1本，2

本、3本三组；⑶平均分给甲、乙、丙三人；.（4）分给甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿

2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

222

解：⑴此为平均分组问题，共有06^402=15种分法;⑵此为非平均分组问题，共有

222

=60种分法；⑶先分组，再排序，共有06§402.3!=90种分法;⑷先分组，再排

序，acc4=36。种分法；⑸用“逐分法”，共有c：uc=6。种分法.

注：此例中的每一个小题都给出了一种类型，搞清类型的归属对今后解题大有裨益，其

中：⑴均匀分组问题：⑵非均匀分组问题；⑶均匀不定向分配问题；⑷非均匀不定向分配问

题；（5）非均匀定向分配问题.

四、“至多”、“至少”问题：

例4、（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每人至少一本，则有种不同的分法.

⑵从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，

则不同的取法共有种.

解：⑴此为元素多于位置的情形，用“分组法”求解，即将5本不同的书先分成四组,

再分给四个人，不同的分法有C；・A：=240种，故选B；

⑵若用“直接法”解，可分为“一甲二乙”和“二甲一乙”两类，不同取法共有

C：・C；+C：・C；=7。利”也可用“排除法”求解，即从总数中减去3台都是甲型或3台都

是乙型的抽取方法，因此符合题意的抽取方法有0；-。：-0；=70种，故选C.

例5、（D10个“三好学生”名额分配到7个班级，每班至少一个名额，共有不同分配方

案种.

⑵把10本相同的书分发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的

本数不小于其编号数，共有种不同分法.

解：此为名额分配问题，属元素多于位置的情形，常用“隔板法”求解.（1）把10个名额

看成10个相同的小球，要分成7堆，每堆至少一个，可以在中间的9个空位中插入6块隔

板，每一种插法对应着一种分配方案，故不同的分配方案为（?；=84种；

⑵可先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证

每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同的

“隔板”，共有。；=15种插法，即有15种分法.

五、借位排列问题：某些元素不能排在某些位置上，可先把某个元素按规定排入，再排

另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.通常用公式。,,=2-2+…+（-1）"2求解.

2!3!n\

例6、⑴将数字I,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则

每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种；

⑵将标号为1，2,3,……，10的10个球放入标号为1,2,3,……，10的10个盒子

中，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法一种;

⑶编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2

个对号入座的情形有种.

解：⑴由公式知，共有3X3X1=9种填法.⑵；3个球的标号与盒子的标号不一致的放

法有2种，.•.共有放法2比。=240种.⑶用排除法，共有=种.

六、“含”与“不含”问题：

例7、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济

开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有不同派遣方案种.

解1:(分类法)考虑甲乙有限制条件，按是否含有甲乙分为四类：①不含甲乙，则有

派遣方案C；・A：=1680种；②含甲不含乙，则有派遣方案C；・A；・A；=1°°8种；③

含乙不含甲，同理也有1008种；④含甲乙，则有派遣方案ciA：—2A；+A；)=392种.

所以共有不同的派遣方法总数为4088种.

解2：(集合法或排除法)设上｛10人中任取4人的排列｝,A=｛甲同学到银川的排列｝,

B=｛乙同学到西宁的排列｝,利用集合中求元素个数公式可得参赛方法共有：

card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=A：—2A；+As=4088和L

七、几何中的排列组合问题：

1、涂色与种植问题：

例8、⑴用3种不同颜色给图中的5个格子涂色，每格涂一种颜色、相邻格涂不同颜色

且必须涂三色，共有____种不同的涂法."——~~—

⑵用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每格涂一种颜色，I1I2|3|4|5

且相邻的两格不同色，则不同的涂色方法共有种.

解：⑴按颜色相同的格进行分类，可分为：1、24、35；13、24、5；13、25、4；14、25、

3；14、35、2；15、24、3；135、2、4共七类，由题意，共有7人；=42种不同的涂法.

⑵按颜色分类：涂2色，可分为135、24两.“块”，有种；涂3色，由⑴知有7A；

种；涂4色，分“块”情形有13、2、4、5；14、2、3、5；15、2、3、4；24、1、3、5；

25、1、3、4；35、1、2、4；有6人：种；涂5色，有种；故共有2952种不同涂法.

例9、在一块并排10垄的田中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种一垄.

为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有一种.

解：先考虑A种在左边的情况，有三类：A种植在最左边第一垄上时，B有三种不同的

种植方法；A种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上时，

B只有一种种植方法.又B在左边种植的情况与A在左边时相同.故共有2X(3+2+1)=12

种不同的种植方法.

2、其它问题：

例10、四面体的顶点和各棱中点共10个点，其两两连线可组成异面直线共有一对.

解：四面体的顶点和各棱中点共10个，其两两连线共有直线-6(C；-1)=33条，

可构成直线。蠢二528对.排除所有共面直线的对数，如下图：于是，可构成异面直线共有

528—144-12—36—36—45=255对.

注：排列组合与几何图形的整合题型，在历年高考试卷中皆有出现，它不仅是考察学生

相关知识的运用技巧的重要手段，也是培养和提高学生思维能力的一个重要方法.随着课程

改革的不断深化，这部分知识必将倍受青睐.

八、其它综合问题：

1、用比例法解元素成比例的排列组合问题：有些排列组合应用题，可以根据每个元素

出现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的解.

例11、由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有一个.

解：由题意知全排列为A；，而满足条件的五位数的个位上出现2或4的可能性为］,

在余下的四个数字中，万位上出现满足条件的数字的可能性为3,故满足条件的五位数共有

4

2x』A；=36个.

54f

例12、若集合A={1,2,3,4,5,6},CuA,又C中共有k个元素，所有可能的C的

各个元素的总和是210,则k=.

解：由于A中各元素之和为1+2+3+4+5+6=21,而6个元素在C中出现的次数是完全相

同的，C中k个元素各占：，...有210片=210,即C：岑，2,5,6上式不成

立，k=3,4上式成立，...k=3或k=4.

2、用转化、构造的方法解题排列组合问题：

例13、某射击7枪，击中5枪，击中和未击中的不同顺序有一种.

解：设击中用“1”表示，未击中用“0”表示，则上述问题可转化为：“数列小、a?、

a：,、a”、加、①、的中有5项是1,两项是0,不同的数列数目有多少”的问题.可分两类：第

1类，两个“0”不相邻的情况有种；第2类两个“0”相邻的情况有6种，所以击中

和未击中的不同顺序情况共有21种.

3、方程思想：

例14、⑴球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将

此十球中的4球击入袋中，且总分不低于5分，则击球方法有种.

⑵坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向左或向右跳1个单位，经过

5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有一种.

⑶A、B、C三人站成一圈相互传球，第一次球从A手中传出，经过7次传球后，球又回

到A手中，问此三人不同的传球方式有种.

解：⑴设击入黄球x个，红球y个，则有x+y=4,且2x+y25(x,ye^),解得

［x=\(x=2(x=3(x=4

,二「§或［y=2或［y=1或［y=0，对应每组解的击球方法数分别为C\d,

dd-•••不同的击球方法数为。：&+。：比+。：&+。：式=195种.

-x+y=3［x=l

(2)设质点向左跳动x次，向右跳动y次，贝叶一、，＜，解得1/，即该质点需向

X+y=51y=4

左跳动1次、向右跳动4次，于是该质点不同的运动方法共有C；=5种.

⑶在传球过程中，球的运动方向看作只有两种，即顺时针方向和逆时针方向，故可借助

±1进行两种不同运动方向次数的计算.不妨将顺时针传球一次记为1,逆时针传球一次记为

一1,设顺时针传球的次数为x,逆时针传球的次数为y,则x-y=0或

x—y=±3或r—y=±6,由题意知：x—y=0或v—y=±6不合题意，故x—y=±3,由

x-y=3x=5x-y=-3x=2

[xy=7得，故此三人不同的传球方式有2C；=42种.

J+y=7得2由’+

4、树图(框图)法、表格法:

例15、设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两

个顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D点，则跳完5

次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（）

A、6B、8C、16I）、26

解：青蛙从A点开始，往相邻两个顶点B和F跳

到D点的次数是相同的，又青蛙第一次往B方向跳的

跳法可用“树型图”表示如图.由图知有13种跳法，号袋

所以共有跳法2X13=26（种），故选（D）.

注：此种方法是解决数量较小排列问题的常用方法f

之一，优点是把抽象变为直观，应熟练掌握."

5、回归法：有些计数模型不一定是排列或组合问题，此时可回归到最原始的方法，即画

一画，数一数，算一算，这是最基本的计数方法，不可废弃.

例16、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，

得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、平、负的情况共有（）

A.3种B.4种C.5种J）.6种

分析：数一数，算一算，知最多胜11场.按胜、平、负的顺序，共有三种情形：11、

0、4；10、3、2；9、6、0；故选A.

从以上的实例可以看出，解决排列组合问题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即

先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求,

再考虑其他位置；（3）先不考虑限制条件，计算出总的种类数，再减去不合要求的种类数.

其解题思路可概括为：审明题意，排组分清；分类分步，明确加乘；元素位置，特殊先行;

直接间接，思路可循；周密思考，检验伪真.另外，在学习过程中注意解题经验与方法的归

纳总结与积累，掌握一些常见题型的解题策略和方法也是十分必要.

第二部分：二项式定理的类型与解题策略

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，在高中数学中起承上启下的作用一一既可

对多项式的知识起到很好的复习、深化作用，，又可为进一步学习概率统计作好必要的知识

储备.此内容几乎年年都考，考查的题型主要是选择和填空题，一般是中等难度的试题，但

有时综合解答题中也涉及到二项式定理的应用.其主要题型有以下几类：

一、求特殊项：此类问题一般由通项入手，根据题意，设未知数，建立方程求解.

例1、⑴已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则展

y1r-

开式中所有的有理项为—；⑵（X-1）9的展开式中系数最大的项为—;（3）（-+l+V2）5

2x

的展开式中的常数项为.

解：⑴依题意，有，即，解得n=8或n—1

（舍去），，若为有理数，当且仅当

为整数，，，

即展开式中的有理项共有三项:

r9-r

(2)T,+1=(-l)C；x,:C；=C；=126,而(-1"=1,(―I)三一1,

...R=126f是所求系数最大的项.

岸+扬5=d+2岳+2$［。+扬=(x+0尸

⑶解:=

2x2x-—(2%7—一(2x)5

对于二项式(》+0)1°,其通项为7^=C；O・P°-、2¥,要得到原展开式中的常数项,

则只须10-〃=5,即r=5,...所求常数项为=®也.

252

二、求二项式系数或展开式中某项的系数

例2、(1)(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)7展开式中，项的系数为—

⑵设(太+4)(工+。2)(工+。3)(尤+。4)=+A*，+&/+44+4,则4=一，4=—；

⑶(x+2)”f—1)的展开式中/的系数为；⑷求(x—1+^)5的展开式中含X的项；

X

(5)(x+2y—z)9展开式中》4y2z3系数为.

解：⑴Y项系数为c；+c；+…+C；=C；=70；

⑵为即x?系数，即4=q(g+4+44)+。2(43+%)+。3a4=44+%%+4%+

+4%+a2a4+。3a4，即从｛6,4,%，4｝中取两元的所有组合的和.

同理可得&=4。2a3+aia2a4+4。3a4+a2a3a4；

⑶先展开，然后按多项式乘法法则求解.：(*+2)1°=/+20^+180f+…

(*+2)”十-1)的展开式中，。的系数是-1+180=179；

⑷解：V(x-l+-)5--^[(x2-x)+l]5,...要求展开式中含x的项，只须求

尤X

[(x2-x)+l]5中含f的项.将其展开知，只有(f一x)5、5(无2-X)4和10(3一x)3中才有

可能含有的项.又(V一x)5=x5(x—])5,其展开式中炉的系数为。；=5;

5(X2-X)4=5X4(X-1)4,其展开式中f的系数为5C：=30；.10,-％)3=10%3*—1)3,

其展开式中炉的系数为10；，(x—1+工)5展开式中含x的项为(5+30+10)x=45x.

x

⑸(回归课本，用组合的意义解)由题意知有4个括号取x,余下5括号取2y,再从余

下3个括号取z,于是得£Vz3系数为c；C；22《(一T=—504().

三、求多项式展开式中的各项的系数和或某些项系数和

例3、(1)已知(3x?—2x+1)，=+♦—FUyX+UQ>求

3。+a,+44+4+“8+/0)-一("1+%+45+47+"9)-；

⑵求(x-3y+2z),0°展开式的各项系数之和.

解:⑴令X=l,得%+4+。2+…+.0=2、,

令X=-1,得(/+4+4+4+必+60)-(4+。3+%+。7+。9)=6',

(4/g+a,+/+4+。8+4o)-一("i+%+G+%+"9)-=2'X6.=12，;

⑵令x=y=z=L得(1-3+2)|00=0,即展开式系数之和为0.

四、求相关元素

例4、⑴设，的展开式中的系数为，则n=；

(2)(a+b+c)'°展开式的项数有__项；⑶(占+/+…+Mo)，展开式的项数为

⑷已知J已展开式中V系数为2,则常数a的值为

「\2)4

解：⑴由，则的系数为，即

解得n=4.

⑵展开式中的项的形式为dbT且i+j+h=10,…10},此时，项数

问题转化为方程的非负整数解个数问题，方程非负整数解个数有6；=66,故展开式有66

项.

⑶法1、展开式中的项的形式为；，且+…+%=3,且

zpz2--.z10e{0,l,2,3},类似(1),得项数为C1=G：=220.

法2、展开式中的项的形式有三种类型一〉再;七2%；乙3,其中*/,力€{1,2,…,10},

则项数为%+2a+C；°=Cf2=220.

3r

令二一9=3,

2

得r=8,故巫]得a=4.

5(2J164

例5、(1)已知(ax+1)，(a#0)的展开式中，f的系数是V的系数与x*的系数的等差

中项，求a的值；

(2)已知(2x+xW)"的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120,求x的

值.

解：(1)依题意C，/+仁/=2C}/，由于awo,解得a=l±平；

(2)依题意Ts=C；(2龙)4(a*)4=[120,整理得/'+3)=1,两边取对数，得

lg；：x+lg%=0,解得lgx=O或lgx=1l,.,"=1或不=上

第三部分：训练精编

一、选择题

1、由数字1、2、3组成的五位数中，1、2、3都至少出现一次，则这样的五位数的个

数为（）

A、150B、240C、180D、236

2、四个完全相同的红球与五个完全相同的白球放入三个不同的盒子中，要求每个盒子

中至少放一个红球和一个白球，则不同的放法种数为（）

A、12B、18C、24D、27

3、上海世博会组委会要将7名精通英语的大学生,志愿者（含甲、乙）分配到美国馆、

英国馆和印度馆去负责翻译工作，其中美国馆3人，英国馆和印度馆各2人，若甲、乙两人

要求分在同一组，则不同的分配方案有（）

A、40种B、50种C、100种D、120利।

4、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的

3个座位不能坐，并且这2人不熊左右相邻，那么不同排法的种数是（）

A、234B、346C、350I）、363

5、六张卡片上分别写有数字1,1,2,3,4,5,从中任取4张排成一排，可以组成不

同的4位奇数的个数为（）

A、180B、60C、93D、126

6、6个人并排站成一排，B站在A的右边，C站在B的右边，则不同的排法总数为（）

A.B.A：C.用引周D.A：A；

7、把八件不同的纪念品平均赠给甲、乙二人，其中“、b不赠给同一人，c、d也不赠

给同一人，则不同的赠送方法有（）种

A.20B.22C.24D.25

8、边长为连续整数的钝角三角形的最大边长为〃，则（x+及3）”的展开式中常数项为（）

X

A、36B、60C、54D、48

9、设〃力,加为整数（相＞0）,若〃和匕被〃z除得的余数相同，则称。和。对模制同

余，记为。三〃（mod/n）.已知。=1+C；o+C；（）・2+C；o・22++/?=«（modlO）,

则b的值可以是（）

A.2011B.2010C.2009D.2012

10、有.5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中，红球甲

和黑球乙相邻的排法有（,）

A、768B、765C、687D、876

11、若等差数列｛%｝的首项为公差是（r-|心/）"展开式

中的常数项，其中〃为77'7一15除以19的余数，则%=（）

A、l（M-4«B、4〃一104C、104-〃D、〃—104

[2、若（1+%）2”=4+4/+〃2工2+—，令/（〃）=4+。2-----a2n9则

/(I)+/(2)+..­+/(«)=()

1222

A、-(4"-l)B、-(2"-l)C、-(4"-1)D、-(3n-l)

13、已知%=6"+8",则他4被49除的余数为()

A、4B、3C、2D、1

14、若在(x+l)4(ax-l)2的展开式中一的系数为20,则。=()

A、4B、1C、4或1D、4或一1

15、某市从8名优秀教师中选派4名同时去4个农村学校支教(每校一人)，其中甲和

乙不能同时去，甲和丙只能同时去或同时不去，则不同的选派方案共有()种

A、20B、600C、480I)、720

二、填空题

16、某单位准备用6种不同花色的石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅地面及

楼的外墙，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有一种.

17、将标号为1,2,…，10的10个球放入标号为1,2,…，10的10个盒子内.每个盒内放

一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不下裂的放入方法共有一一种.

18、从包含甲的若干名同学中选.出4人分别参加数学、物理、化学、英语四科竞赛，

每名同学只能参加一科竞赛，且任两名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞

赛的参赛方法共有72种，则一共有名同学.

19、函数/。)=(1-sinx)w+(1+sinx)10的最大值是.

20、把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少

分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是.

21、若。；；6=。；；2(〃€"),则在,+4》+4)”的展开式中含_?项的系数为.

22、将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽

屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放

入相邻的抽屉内，则所有不同的放入方法共有种.

23、若(x+2)"=x"+•••+ax}+bx2+ex+2"(neN,n>3),且a=3:2,则

n=___.

24、某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两

种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，那么不同的实验方

案共有种.

25、某公司新招进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能

同给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种.

26、在(l+x-p/)4的展开式中，使x4项的系数取得最小值时的。的值为.

3

27、若(2%+4严°=ao+0x+a2x2+…20Hp邛,贝!］。0+匿+。4+%+~+。2()10被除

的余数是.

28、设。为sinx+J5cosx(xeR)的最大值，则二项式(a&—展开式中含X2项

■x

的系数是.

29、代数式(4/-2x-5)(/+1)，的展开式中，含父项的系数是.

30、已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项,

则(竟展开式中含a'的项的二项式系数为.

参考答案：

1、A；2、B；3、B；4^B；5、D；6、C；7、D；8、C；9、A；10、A；11、A；12、C；13、C；

14、D；15、B；16、300：17、240；18、5；19、1024；20、144；21、112；22、96；23、

11；24、15；25、36；26、1；27、2；28、-192；29、-30；30、35；

高一数学测试题

一选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中.只

有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|-3W/W0},B={x|TW/W3},则AAB=()

A.[-1,0]B.[-3,3]C.[0,3]D.[-3,-1]

2.下列图像表示函数图像的是()

3.函数/(的=r『^+怆(2*+1)的定义域为()

A/X+5

A.(-5>+°°)B.[—51+00)£.(—5.0)D.(—2,0)

4.已知4>人>0,则3",3",4<1的大小关系是()

A.3“>3">4"B.3"<4"<3"C.3，<3"<4"D.3"<4"<3,

5.函数/(幻=/+》-3的实数解落在的区间是()

A[O,1]B.[l,2]C.[2,3]D.[3,4]

6.己知A(l,2),8(3,l),则线段AB的垂直平分线的方程是()

A.4x+2y=5BAx-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

7.下列条件中，能判断两个平面平行的是()

A一个平面内的一条直线平行于另一个平面；

B一，个平面内的两条直线平行于另一个平面

C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面R,

8.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,P为aABC所在平面外一点\\

PAL平面ABC,则四面体P-ABC中共有（）个直角三角形。人\

9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4万，那么圆柱的体积等于（>V

AB27C4%D8万

10.在圆f+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（）

/6、口,86._,86、n.86.

二填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分

三、解.答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15.（本小题满分10分）

求经过两条直线2x—y—3=0和4x—3y—5=O的交点，并且与直线2x+3y+5=O垂直

的直线方程（一般式）.

16.（本小题满分14分）

如图，PA_L矩形A5CQ所在的平面，M、N分别是A3、PC的中点.

（1）求证：MN〃平面P4O；（2）求证：MNLCD；

17.（本小题满分14分）

1+Y

已知函数/（x）=log“----（a>0且a71）（14分）

1-X

（1）求.f（x）的定义域；

（2）判断了（x）的奇偶性并证明；

18.（本小题满分14分）

当xNO,函数/（x）为办②+2,经过（2,6）,当x<0时/（x）为办+人，且过（-.2,-2）,

（1）求/（x）的解析式；

（2）求〃5）；

（3）作出/（幻的图像，标出零点。

19.（本小题满分14分）

已知圆：］?+y2-4x-6y+12=0,

（1）求过点A（3,5）的圆的切线方程；（2）点P（x,y）为圆上任意一点，求上的最值。

x

20.（本小题满分14分）

某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图,

每月各种开支2000元，

（1）写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元），的函数关系。

（2）该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？

（3）当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最

大值。

答案

一选择（每题5分）1-5ACACB6-10BDABC

二填空（每题5分）11.叵^12.（80+16>/2）cm2.13.,a<-14.1或-3

22

三解答题

15.（10分）

x=2

2x-y-3=0

由已知,<解得5,

4x-3y—9=0

则两直线交点为（2,9）..........（4分）

2

直线2x+3y+5=0的斜率为一；，.....（1分）

则所求直线的斜率为-o.......（1分）

2

故所求直线为y-2=±（x-2）,........（3分）

22

即3尤-2y-l=0.............（1分）

16.（14分）（1）取的中点E,连接4E,EN,............1分

•••N为中点，

.•.EN为APOC的中位线

：.EN//-CD............（2分）

=2

又CD