小题压轴题专练23-立体几何（动点问题）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练23—立体几何（动点问题）一．单选题1．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则△面积的最小值为A． B． C． D．2．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是A． B． C．4 D．3．如图，在正方体中，点在面对角线上运动，下列四个命题中错误的是A．平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积不变 D．4．如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是A．与不可能平行 B．与是异面直线 C．点的轨迹是一条线段 D．三棱锥的体积为定值5．如图，在正方体中，点在线段上运动，，分别为，的中点，记异面直线与所成的角为，则的取值范围是A． B． C． D．6．在棱长为2的正方体中，为的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段的最小值为A．1 B． C． D．7．已知长方体中，，，是上任意一点（不是端点），是的中点，则异面直线与所成角的正切值的最小值为A． B． C． D．8．如图，四边形，，均为正方形．动点在线段上，，，分别是，，的中点，则下列选项正确的是A． B．平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面二．多选题9．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论中正确的有A．当时，与相交 B．始终与平面平行 C．异面直线与所成的角为 D．当时，的长最小，最小为10．如图所示，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，、分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当、运动时，下列结论中正确的是A．平面平面 B．在内总存在与平面平行的线段 C．三棱锥的体积是三棱柱的体积的 D．11．如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是A．若点在线段上，则不存在点满足 B．若点在线段上，则四面体的体积为定值 C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是， D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则A．直线平面 B．点到平面的距离为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三．填空题13．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是．①平面平面；②；③的取值范围是；④三棱锥的体积为定值．14．正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，下列说法正确的是（写出所有正确说法的编号）（1）；（2）平面；（3）三棱锥的体积为定值；（4）异面直线，所成的角为定值；（5）的面积与的面积之比为定值．15．如图，在正方体中，点在线段上运动，，分别为，的中点，记异面直线与所成的角为．当点与重合时，；的取值范围是．16．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是；直线与直线所成角的取值范围为．

小题压轴题专练23—立体几何（动点问题）答案1解：如图所示：当点在处时，，当点在的中点时，，所以，所以，又，所以平面，所以点的轨迹是线段，因为平面，所以△面积最小时，，此时，，故选：．2．解：如图，正方体中，在平面的射影为，在平面的射影为，分别取中点，中点，利用三垂线定理得，，，所以平面．所以，点在正方体中过、、的截面上．分别取，，的中点、、，连接，，，，平面即为截面．在正方体中求得，所以正六边形的面积为．故选：．3．解：如图所示：对于，由正方体，可知，，可得平面平面，又平面，得平面，故正确；对于，连接、，由正方体，可知，，可得平面，又平面，可得，同理，可得平面，又平面，所以可得平面平面，故正确；对于，设点到平面的距离为、正方体棱长为1，可得为定值，故正确；对于，由正方体，可知，假设，则平面，则，可知△是等边三角形，不与垂直，又，不与垂直，假设不成立，故错误；故选：．4．解：设平面与直线交于，连接，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，如图，，平面，平面，平面，同理可得平面，又、是平面内的两条相交直线，平面平面，而平面，平面，得点的轨迹为一条线段，故正确；并由此可知，当与重合时，与平行，故错误；平面平面，和平面相交，与是异面直线，故正确；，则点到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故正确．故选：．5．解：取的中点，连接，则或其补角是异面直线与所成的角．，当点与重合时，连接，，，，平面，则，此时异面直线与所成角最大，即为，；当点由向方向移动时，角不断减小，当点与点重合时，角最小，连接，，设，可得，，，，，．故选：．6．解：取的中点，的中点，连接、、，，，，，如图所示：因为、分别为、中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理，、分别为、中点，所以，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，又点在平面内运动，所以点在平面和平面的交线上，即，在中，，，，所以，所以，所以点到的最小距离，所以线段的最小值为．故选：．7．解：如图，取的中点，连接，，，是的中点，且为正方形，，则与所成角即为异面直线与所成角，设为，平面，平面，得，，为定值，要使最小，则最小，当最小时，，，△，，又，，此时，故异面直线与所成角的正切值的最小值为．故选：．8．解：对于，取的中点，连接，因为是的中点，所以，若，则，这与矛盾，故选项错误；对于，因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以，又，且，，平面，则平面，故选项正确；对于，因为直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故选项错误；对于，连接，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面平面，又平面平面，，则平面，记，则平面，且不在平面，所以不存在点，使得平面平面，故选项错误．故选：．9．解：由题意，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由正方形，的边长1，所以，0，，，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，所以，0，，，，，对于，若与相交，则、、、四点共面，故、、、四点都在平面内，故点为与的交点，此时，故错误；对于，，，，平面的法向量为，0，，所以，又平面，所以与平面平行，故正确；对于，，0，，，1，，所以，，所以，，所以异面直线与所成的角为，故错误；对于，，故所以当时，的长度最小，最小值为，故正确．故选：．10．解：对于：作，，所以，，整理得：，所以为等腰三角形，取中点为，连接，中点为，连结，，由于，所以为中点，所以可证，且，所以四边形是平行四边形，所以，又面平面且，面，所以平面，所以平面，所以平面平面，故正确．对于，由前面可知，由于平面，所以在内总存在与平面垂直的线段，故正确；对于．所以三棱锥的体积是三棱柱的体积的，故错误；对于，当、分别为，中点时，等边三角形，为最大角，当与重合，与重合时，最小，，故正确．故选：．11．解：对于，因为当在上运动时，平面，于是，所以存在点满足，所以错误；对于，因为面，又点在线段上，所以到面，的距离即为到面的距离，所以距离为定值，所以四面体的体积为定值所以对；对于，以为原点，建立以，，所在直线为，，轴的空间直角坐标系，则点，0，，，，，，，，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则，当时，，，当时，，当或是，的值最大为，此时，所以的取值范围是，，所以错误；对于，当点在平面内时，由面，所以有，所以，所以点的轨迹是以为圆心为半径的圆弧，同理点在面，时，轨迹也是为半径的圆弧，从而动点轨迹长度为，所以正确．故选：．12．解：如图，对于，，，，平面，，同理，，，平面，故正确；对于，，平面，平面，平面，点在线段上运动，到平面的距离为定值，故正确；对于，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，故异面直线与所成角的取值范围是，，故正确，对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图示：设正方体中棱长为1，，1，，则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故错误．故选：．13．解：对于①，因为几何体是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，故①正确；对于②，在正方体中，对角面，对角面，所以，故②正确；对于③，当点为线段的一个四等分点且靠近点时，计算可得，，，由余弦定理可得，此时，故③错误；对于④，因为△的面积是定值，点到平面的距离是定值，所以三棱锥的体积为定值，故④正确．故答案为：①②④．14．解：对于①，平面，平面，，故①正确；对于②，，在上，，平面，平面，平面，故②正确；对于③，到平面的距离是定值，是定值，以为顶点的四面体的体积为定值，故③正确；对于④，当点在处，为的中点时，由可知，异面直线，所成的角是；当在上底面的中心时，在的位置，异面直线，所成的角是，两个角不相等，此时异面直线，所成的角不一定为定值，故④错误；对于⑤，到的距离为，到的距离为，，故⑤正确；故选：①②③⑤．15．解：取的中点，连接，则或其补角是异面直线与所成的角当点与重合时，连接，，，，平面，则，此时异面直线与所成角最大，即为，；当点由向方向移动时，角不断减