高等数学(下)课后习题答案1

高等数学(下)

习题七

1、在空间直角坐标系中，定出下列各点得位置：

A(l,2,3);B(-2,3,4)；C(2,-3,-4);

0(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0)、

解:点A在第I卦限;点B在第II圭卜限;点C在第VW卦限；

点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、

2、xOy坐标面上得点得坐标有什么特点？yOz面上得呢？zOx面上得呢？

答：在xOy面上得点,z=0;

在yOz面上得点尸0;

在zOx面上得点,产0、

3、x轴上得点得坐标有什么特点？y轴上得点呢？z轴上得点呢？

答:x轴上得点,y=z=O;

y轴上得点A=z=0;

z轴上得点产产0、

4、求下列各对点之间得距离：

(1)(0,0,0),(2,3,4)；(2)(0,0,0),(2,-3,-4);

(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3)、

解:⑴

⑵

(3)

⑷、

5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间得距离、

解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴得垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、

故

6、在z轴上，求与两点4(-4,1,7)与8(3,5,-2)等距离得点、

解:设此点为M(0,0,z),则

解得

即所求点为M(0,0,)、

7、试证:以三点A(4,l,9),仅10,T,6),C(2,4,3)为顶点得三角形就是等腰直角三角形、

证明:因为|AB|=|AQ=7、且有

HC|2+HB|2=49+49=98=|BC|2、

故△ABC为等腰直角三角形、

8、验证:、

证明:利用三角形法则得证、见图7-1

图7-1

9、设试用a,b,c表不

解：

10、把△ABC得BC边分成五等份，设分点依次为2,。2,。3,。4,再把各分点与A连接,试以,

表示向量,，与、

解：

11、设向量得模就是4,它与投影轴得夹角就是60°,求这向量在该轴上得投影、

解:设M得投影为，则

12、一向量得终点为点仇2,-1,7),它在三坐标轴上得投影依次就是4,-4与7,求这向量得起点

A得坐标、

解:设此向量得起点A得坐标A(x,y,z),则

解得x=~2,y=3,z=0

故A得坐标为A(-2,3,0)、

13、一向量得起点就是丹(4,0,5),终点就是巳(7,1,3),试求：

(1)在各坐标轴上得投影；(2)得模；

(3)得方向余弦；(4)方向得单位向量、

解:⑴

⑵

⑶

(4)、

14、三个力尸产(1,2,3),尸2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同时作用于一点、求合力R得大小与方向

余弦、

解:R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

15、求出向量“=24；/+4"=2，-寸+5A与c=-2号+2A得模，并分别用单位向量来表达向量a”,

c、

解：

16、设”?=3i+»+8A,〃=2卜4/-7/,p=5i47-4A,求向量a=4m+3np在x轴上得投影及在y轴上

得分向量、

解:a=4(3i+y+84)+3(2上仍7#)-(5坦-4朽=13，+77+15«

在x轴上得投影热=13,在y轴上分向量为7j、

17、向量r与三坐标轴交成相等得锐角，求这向量得单位向量e,、

解:因，故,(舍去)

则、

18、已知两点％(2,5,-3)"2(3,-2,5),点用在线段上，且，求向径得坐标、

解:设向径={x,y,z}

因为，

所以,

故={}、

19、已知点P到点A(0,0,12)得距离就是7,得方向余弦就是，求点P得坐标、

解:设P得坐标为(x,y,z),

得

又

故点P得坐标为尸(2,3,6)或P()、

20、已知a,b得夹角，且,计算：

(1)a•8;(2)(3a-2Z>),(a+26)、

解:⑴a-b=

(2)

21,已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算:

(l)a,b\(2)(2a-36)•(a+b);(3)

解:⑴

(2)

(3)\a-b\2-(a—b)(a—b)-aa-2ab+bb^a\2—2a-b+\h\2

22、已知四点A(l,-2,3),B(4,-4,-3),。(2,4,3),0(8,6,6),求向量在向量上得投影、

解:={3,-2,-6},={6,2,3}

23、设重量为100kg得物体从点Mi(3,1,8)沿直线移动到点加2(1,4,2),计算重力所作得功(长

度单位为〃?)、

解:取重力方向为z轴负方向，

依题意有

片{0,0,-100X9、8}

$=={-2,3,-6}

故W=7•s={0,0,-980}•{-2,3,-6}=5880(J)

24、若向量a+3b垂直于向量7a-5瓦向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a与b得夹角、

解：(a+3Z>)•(7a-5b)=①

(a-4Z>),(7a-2b)=②

由①及②可得：

又,所以,

故、

25、一动点与连成得向量与向量”=(2,3,-4)垂直,求动点得轨迹方程、

解:设动点为M(x,y,z)

因，故、

即2(x-l)+3(y-l)-4(z-l)=0

整理得:2x+3yYz-l=O即为动点M得轨迹方程、

26、设Q=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明:以a与b为邻边得平行四边形得两条对角线互相垂直、

证明:以a力为邻边得平行四边形得两条对角线分别为a+仇a一仇且

a+b={2A,-2)

af={-6,10,14}

又(a+b)•(af)=2X(-6)+4X10+(-2)X14=0

故(@+b)(af、)

27、已知a=3i+2j-k,b=吃+24,求：

(l)aXb;(2)2aX7b;

⑶7bX2a;(4)aXa、

解:⑴

(2)

(3)

(4)、

28、已知向量a与b互相垂直，且、计算：

(l)|(a+*)X(a-*)|；

⑵|(3a+i)X(a-26)h

(1)

(2)|(3a+》)x(a-2b)\=\3axa-6axb+bxa—2bxb\=\7sxa)|

29、求垂直于向量3iYj~k与2i~i+k得单位向量，并求上述两向量夹角得正弦、

解：

与平行得单位向量

、

30、一平行四边形以向量a=(2,1,—1)与5=(1,—2,1)为邻边，求其对角线夹角得正弦、

解:两对角线向量为

9

因为，

所以、

即为所求对角线间夹角得正弦、

31、已知三点4(2-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,l),点M,N,P分别就是AB,BC,CA得中点，证明:、

证明:中点M,N,P得坐标分别为

4-4.-44-44

ACxBC^k^\2i+20j+Sk

0-2-20

故、

32、求同时垂直于向量0=(2,3,4)与横轴得单位向量、

解:设横轴向量为b=(x,O,O)

则同时垂直于得向量为

=4对一3xk

故同时垂直于a,b得单位向量为

33、四面体得顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)与(3,7,2)求四面体得表面积、

解:设四顶点依次取为A,8,C,。、

则由A,BQ三点所确定三角形得面积为

、

同理可求其她三个三角形得面积依次为、

故四面体得表面积、

34、已知三点3(2,4,1),8(3,7,5),C(4,10,9),证毗三点共线、

证明:，

显然

则

故A,B,C三点共线、

35、求过点(4,1,-2)且与平面3x-2v+6z=ll平行得平面方程、

解:所求平面与平面3x-2)，+6z=ll平行

故“={3,-2,6},又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x-4)-2(yT)+6(z+2)=0

即3k2y+6z+2=0、

36、求过点M)(l,7,-3),且与连接坐标原点到点Mo得线段0Mo垂直得平面方程、

解:所求平面得法向量可取为

故平面方程为：x-l+7(y-7)-3(z+3)=0

即x+7y-3z-59=0

37、设平面过点(1,2,7),而在x轴与z轴上得截距都等于在y轴上得截距得两倍，求此平面方

程、

解:设平面在y轴上得截距为

则平面方程可定为

又(1,2,-1)在平面上，则有

得h=2、

故所求平面方程为

38、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)与(1,-1,2)三点得平面方程、

解:由平面得三点式方程知

代入三已知点，有

化简得厂3)，-2z=0即为所求平面方程、

39、指出下列各平面得特殊位置，并画出其图形:

⑴y=0;⑵3k1=0;

(3)2x-3y-6=0;(4)x-y=0;

(5)2x-3y+4z=0、

解:(l)y=0表示xOz坐标面(如图7-2)

(2)3尸1=0表示垂直于x轴得平面、(如图7-3)

图7-2图7-3

(3)2尸3厂6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上得截距分别为广3与y=-2得平面、(如图

7-4)

(4)x-y=0表示过z轴得平面(如图7-5)

(5)2x~3y+4z=0表示过原点得平面(如图7-6)、

图7-4图7-5图7-6

40、通过两点(1,1,1,)与(2,2,2)作垂直于平面x+y~z=0得平面、

解:设平面方程为Ax+B)>+Cz+D=0

则其法向量为〃={A,aC}

已知平面法向量为m={l,l,-l}

过已知两点得向量上{1,1,1}

由题知n,/ii=0,n•1=0

即

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点(1,1,1)在平面上,所以有£>=0

故平面方程为广)=0、

41、决定参数k得值,使平面x+6-2z=9适合下列条件：

⑴经过点(5,-4,6);(2)与平面2x-3y+z=0成得角、

解:⑴因平面过点(5,-4,6)

故有5-4k-2X6=9

得仁-4、

(2)两平面得法向量分别为

m={l,V2}〃2={2,-3,1}

且

解得

42、确定下列方程中得/与

(1)平面2x+/y+3z-5=0与平面〃?x-6.y-z+2=0平行；

(2)平面3x-5y+/z-3=0与平面x+3y+2z+5=0垂直、

解:⑴"i={2,/,3},”2={巩-6,-1}

⑵“尸{3,-5,/},如={1,3,2}

43、通过点作垂直于两平面方y+z-l=0与2x+y+z+l=0得平面、

解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=O

其法向量折{A,8,C}

/n={l,-l,l},n2={2,l,l)

又(1,一1,1)在所求平面上，故A—B+C+£>=0,得。=0

故所求平面方程为

即2x-y-3z=0

44、求平行于平面3尸y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k得单位向量、

解:〃尸［3,T,7},“2={1,T,2}、

故

则

45、求通过下列两已知点得直线方程：

(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；⑵(3,-1,0),(1,0,-3)、

解：(1)两点所确立得一个向量为

s={3T,l+2,TT}={2,3,-2}

故直线得标准方程为：

或

(2)直线方向向量可取为

s=}1-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3}

故直线得标准方程为：

或

46、求直线得标准式方程与参数方程、

解:所给直线得方向向量为

另取尤o=O代入直线一般方程可解得>'o=7,zo=17

于就是直线过点(0,7,17),因此直线得标准方程为：

且直线得参数方程为：

47、求下列直线与平面得交点:

(1),2x+3y+z-1=0;

(2),冗+2y-2z+6=0、

解:(1)直线参数方程为

代入平面方程得片1

故交点为(2,-3,6)、

(2)直线参数方程为

代入平面方程解得U0、

故交点为(-2,1,3)、

48、求下列直线得夹角：

⑴与；

⑵与

解:(1)两直线得方向向量分别为:

si={5,-3,3}X{3,-2,1}=={3,4,-1}

S2={2,2,7}X{3,8,l}=={10,-5,10}

由si•S2=3X10+4X(-5)+(-1)xl0=0知Si±S2

从而两直线垂直，夹角为、

(2)直线得方向向量为sk{4,T2,3},直线得方程可变为，可求得其方向向量S2={0,2,

-1}X{1,0,0}={0,T,-2},于就是

49、求满足下列各组条件得直线方程：

⑴经过点(2,-3,4),且与平面3JC7+2Z-4=0垂直；

⑵过点(0,2,4),且与两平面x+2z=l与厂3z=2平行；

⑶过点(T,2,l),且与直线平行、

解:(1)可取直线得方向向量为

s={3,T,2}

故过点(2,-3,4)得直线方程为

(2)所求直线平行两已知平面，且两平面得法向量小与"2不平行，故所求直线平行于两平面得

交线,于就是直线方向向量

故过点(0,2,4)得直线方程为

(3)所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为

s={2,T,3}

故过点(T,2,1)得直线方程为

、

50、试定出下列各题中直线与平面间得位置关系：

(1)与4『2y-2z=3;

⑵与3x-2y+7z=8;

⑶与x+y+z=3、

解:平行而不包含、因为直线得方向向量为$={-2,-7,3}

平面得法向量”={4,-2,-2},所以

于就是直线与平面平行、

又因为直线上得点-4,0)代入平面方程有、故直线不在平面上、

(2)因直线方向向量s等于平面得法向量,故直线垂直于平面、

(3)直线在平面上，因为，而直线上得点(2,-2,3)在平面上、

51、求过点(1,-2,1),且垂直于直线

得平面方程、

解:直线得方向向量为，

取平面法向量为{1,2,3},

故所求平面方程为

即x+2y+3z=0、

52、求过点(1,-2,3)与两平面2尸3)，+2=3,x+3y+2z+l=0得交线得平面方程、

解:设过两平面得交线得平面束方程为

其中X为待定常数,又因为所求平面过点(1,-2,3)

故

解得X=-4、

故所求平面方程为

2x+15y+7z+7=0

53、求点(7,2,0)在平面x+2y-z+l=0上得投影、

解:过点(T20)作垂直于已知平面得直线，则该直线得方向向量即为已知平面得法向量，即

s=n={l,2,-l}

所以垂线得参数方程为

将其代入平面方程可得(T+f)+2(2+2f)-(-r)+l=0

得

于就是所求点(T20)到平面得投影就就是此平面与垂线得交点

54、求点(1,2,1)到平面x+2y+2zT0=0距离、

解:过点(1,2,1)作垂直于已知平面得直线，直线得方向向量为s=〃={1,2,2}

所以垂线得参数方程为

将其代入平面方程得、

故垂足为,且与点(1,2,1)得距离为

即为点到平面得距离、

55、求点(3,7,2)到直线得距离、

解:过点(3,7,2)作垂直于已知直线得平面，平面得法向量可取为直线得方向向量

即

故过已知点得平面方程为y+z=l、

联立方程组

解得

即为平面与直线得垂足

于就是点到直线得距离为

56、建立以点(1,3,-2)为中心，且通过坐标原点得球面方程、

解:球得半径为

设(x,y,z)为球面上任一点，则(xT>+(y-3>+(z+2)2=14

即A2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程、

57、一动点离点(2,0,-3)得距离与离点(4,-6,6)得距离之比为3,求此动点得轨迹方程、

解:设该动点为M(xj,z),由题意知

化简得:8x2+8y2+8z2-68x+108广114z+779=0

即为动点得轨迹方程、

58、指出下列方程所表示得就是什么曲面，并画出其图形：

(1)；(2)；

(3)；(4);

(5)；(6)、

解：(1)母线平行于z轴得抛物柱面，如图7-7、

⑵母线平行于z轴得双曲柱面，如图7-8、

图7-7图7-8

(3)母线平行于y轴得椭圆柱面，如图7-9、

(4)母线平行于x轴得抛物柱面，如图7-10、

图7-9图7-10

(5)母线平行于z轴得两平面，如图7-11、

(6)z轴，如图7-12、

图7-11图7-12

59、指出下列方程表示怎样得曲面,并作出图形：

(1)；(2);

(3)；(4);

(5)；(6)、

解:(1)半轴分别为1,2,3得椭球面，如图7-13、

(2)顶点在(0,0,-9)得椭圆抛物面，如图7-14,

图7-13图7-14

(3)以x轴为中心轴得双叶双曲面，如图7-15、

(4)单叶双曲面，如图7-16、

图7-15图7-16

(5)顶点在坐标原点得椭圆锥面，其中心轴就是y轴，如图7-17、

(6)顶点在坐标原点得圆锥面,其中心轴就是z轴，如图7-18、

图7-17图7-18

60、作出下列曲面所围成得立体得图形：

⑴W+V+iu/与z=0,z=(a>0);(2)x+y+z=4,x=021,产0,产2及z=0;

(3)z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;(4)Z=6-(X2+J?2),X=0,y=0,z=0及x+y=l,

解:⑴⑵⑶(4)分别如图7-19,7-20,7-21,7-22所示、

图7-20

图7-22

61、求下列曲面与直线得交点:

(1)与；

⑵与、

解：(1)直线得参数方程为

代入曲面方程解得仁0尸1、

得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2)、

(2)直线得参数方程为

代入曲面方程可解得/=1,

得交点坐标为(4,-3,2)、

62、设有一圆，它得中心在z轴上,半径为3,且位于距离xOy平面5个单位得平面上,试建立

这个圆得方程、

解:设(x,y,z)为圆上任一点，依题意有

即为所求圆得方程、

63、建立曲线W+y2=z,z=x+l在xOy平面上得投影方程、

解:以曲线为准线，母线平行于z轴得柱面方程为

r-+y2=x+1即、

故曲线在xOy平面上得投影方程为

222

64、求曲线x+/+z=a,片+产瞪在xOy面上得投影曲线、

解:以曲线为准线，母线平行于z轴得柱面方程为

故曲线在xOy面上得投影曲线方程为

65、试考察曲面在下列各平面上得截痕得形状，并写出其方程、

(1)平面x=2;(2)平面y=0;

⑶平面产5;(4)平面z=2、

解:(1)截线方程为

其形状为42平面上得双曲线、

(2)截线方程为

为xOz面上得一个桶圆、

(3)截线方程为

为平面产5上得一个椭圆、

(4)截线方程为

为平面z=2上得两条直线、

66、求单叶双曲面与平面尸2z+3=0得交线在xOy平面,)，0z平面及xOz平面上得投影曲线、

解:以代入曲面方程得

X2+20J2-24JT116=0、

故交线在xOy平面上得投影为

以x=2z-3代入曲面方程，得

20>,2+4Z2-60Z-35=0A

故交线在yOz平面上得投影为

交线在xOz平面上得投影为

习题八

1、判断下列平面点集哪些就是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们得聚

点集与边界：

⑴{(x,y)|x关0};

⑵{(W+V<4};

⑶g)"};

(4){(x,y)|(x-l)2+r^l}U{(x,)，)|(x+l)2+y2《l}、

解:⑴开集、无界集，聚点集:可,边界:{(x,y)|x=0}、

(2)既非开集又非闭集，有界集，

聚点集:{(x,y)|1W/+)Y4},

边界:{(x,y)*+)2=1}U{(x,y)|『+)理=4}、

(3)开集、区域、无界集，

聚点集:{(x,y)|y02},

边界:{(x,y)|尸/}、

(4)闭集、有界集，聚点集即就是其本身，

边界:{(毛阳(片1)2+9=1}U{(x,y)|(x+l)2+)?=l}、

2、已知TUjOf?+V-xytan,试求、

解：

3、已知，试求

解；/(x+y,x-y,孙)=(x+y产'+(肛)*t¥+*>'=(x+y尸+(外产、

4、求下列各函数得定义域：

解:

5、求下列各极限:

解:(1)原式=

⑵原式=+8、

(3)原式=

(4)原式=

(5)原式=

(6)原式=

6、判断下列函数在原点。(0,0)处就是否连续:

⑶

3333

Tsin(x+y)x+ysinQ?+y3)

解：(1)由于04—~尹=,，-(kl+|y|)

厂+/x+y—x3+)尸x3+y3

又，且，

故、

故函数在0(0,0)处连续、

(2)

故0(0,0)就是z得间断点、

⑶若P(x,y)沿直线y=x趋于(0,0)点，则

若点尸(x,y)沿直线尸-x趋于(0,0)点，则

故不存在、故函数z在。(0,0)处不连续、

7、指出下列函数在向外间断：

⑴於,y)=;⑵於,y)=;

(3)7(x,y)=ln(l—f—y12);(4求x,y)=

解:(1)因为当产-x时，函数无定义，所以函数在直线尸x上得所有点处间断，而在其余点处均

连续、

(2)因为当/=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上得所有点处间断、而在其余各点

处均连续、

(3)因为当f+)，2=l时，函数无定义，所以函数在圆周f+V=l上所有点处间断、而在其余各点处

均连续、

(4)因为点尸(x,y)沿直线y=x趋于0(0,0)时、

故(0,0)就是函数得间断点，而在其余各点处均连续、

8、求下列函数得偏导数：

(l)z=/y+;⑵s=;

(3)z=xln;(4)z=lntan;

⑸z=(l+x)平；(6)〃S;

(7)w=arctan(x-y)2;⑻、

解:⑴

⑵

-&,r11c11/2\X

⑶丁=lnjx+y+x-/-^―=7•一/,,-2x=-ln(x-+y-)+—~~-,

力J/+y22yjx2+y22V+y-

(4)

(5)两边取对数得

||=(1+到)九［)，111(1+孙爪=(1+")九士三=丁2(1+孙严.

>，v

^=(l+xy)'-［jln(l+xy)］v=(l+xy)ln(l+xy)+yj-^-

=(1+xy)yln(l+xy)+

(6)

⑺

(8)

9、己知，求证:、

证明：、

由对称性知

于就是

10、设，求证:、

证明：，

由z关于x,y得对称性得

故/包+2.包=/一■叶+/二/沔=2/沔=2z.

dxdyx2y2

11>设fix,y)=x+(y-1)arcsin,求1)、

解：

则、

12、求曲线在点(2,4,5)处得切线与正向x轴所成得倾角、

解：

设切线与正向x轴得倾角为a,

则tana=l、故a=、

13、求下列函数得二阶偏导数：

(l)z=x4+./-底/(2)z=arctan;

(3)z=/；(4)z=、

解:⑴

由x,y得对称性知

(2),

d2z_(x2+y2)0-y-2x_2xy

定=(7T7P—=(，+：产

dz_11_x

3广l+pjx-炉+产

d2z_2xy

讲lx')，2V

d2z_(x2+y2)-y-2y_y2-x2

dxdy(x2+y2)2(x2+y2)2'

d2z_JC+y2-x-lx_y2-x2

dydx(x2+y2)2(x2+y2)2-

14、设fix,y,z)=xy2+yr+*,求

解：

15、设z=xlnQy),求及、

解：

16、求下列函数得全微分：

(1)；(2)；

(3)；(4)、

解:⑴；

⑵：

(3)7

(4)V

17、求下列函数在给定点与自变量增量得条件下得全增量与全微分：

(1)

(2)

解:⑴Az=(x+Arp-(x+Ar)(y+Ay)+2(y+△»-z=9.68-8=1.68

(2)

18、利用全微分代替全增量，近似计算：

(1)(1、02>•(0、97月(2)；

(3)(1、97)卜°5、

解:⑴设%,)=/•优则

故(V(x,y)=3A2y<k+2x!ydy=A)<3xy,dx+2x2dy)

取x=l,y=l,ck=0、02,dy=-0,03,则

(1、02j.(0、97)29、02,0、97)W4/(1,1)

=13X12+1X1[3X1X1X0>02+2Xl2X(-0>03)]=k

(2)设加,>)=,则

故

取，则

7(4.05)2+(2.93)2=/(4.05,2.93)«/(4,3)+d/(4,3)|XX

=A/42+32+,1[4x0.05+3x(-0.07)]

V42+32

=5H—x(—0.01)

=4.998

(3)设Z(x,y)=F',则df(x,y)=yxy-'dx+xy\nxdy,

取x=2,y=l,dr=-0、03,d)=0、05,则

19、矩型一边长a=10cm,另一边长/>=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长

得变化、

解:设矩形对角线长为/,则

当%=](),尸24,dx=0、4,d,y=-0、1时,

(cm)

故矩形得对角线长约增加0、062cm、

20、Imol理想气体在温度与1个大气压得标准状态下，体积就是22、4L,从这标准状态

下将温度升高3℃,压强升高0、015个大气压，问体积大约改变多少？

解:由PV=RT得仁，且在标准状态下,/?=8、20568X10-2,

AV«=dv=-=

故体积改变量大约为0、09、

21、测得一物体得体积V=4、45cm3,其绝对误差限就是0、OlcnP,质量m=30、80g,其绝对

误差限就是0、01g,求由公式算出密度得绝对误差与相对误差、

解:当V=4、45,m=30、80,dv=0、01,d〃?=0、01时，

当v=4、45,〃?=30、80时

22、求下列复合函数得偏导数或全导数:

⑴求,；

(2)z=,x=u+v,y=u—v,^.,;

(3),y=/,求；

(4)“nf+V+z2,x=,y=,z=，求、

解:⑴

包=空包+生@=_(2孙_y2).“siny+(x2_2xy).acosv

dvdxdvdydv

-2u3sinvcosv(sinv+cosv)+w3(sin3v+cos3v).

dzdxdzdy11-v

cSz-------------1----------己一=--------y-x

⑵演,----F22~22

dxdudydu(yx+yU+V

1+

dz_dzdxdzdy

dvdxdvdydv

y+x_u

―22~—25

x+yu+v

，,dududxdiudy1e'+3%2eve"+3x?e

(3)—=-------1-----eA+--―ev-3x2

dxdxdxdydxev+eje'+evev+e-v

⑷

23、设了具有一阶连续偏导数，试求下列函数得一阶偏导数:

⑴⑵

(3)

解:⑴

⑵

⑶

24、设为可导函数，证明:

证明:

故

25、设，其中共")为可导函数,验证:

证明:：，

26、，其中f具有二阶导数，求

解：

由对称性知，

27、设了就是c2类函数，求下列函数得二阶偏导数：

(1)(2)

(3)

解:⑴

d2z£”.”11rn.rn1|z.ffn21n

L+67+7Al+J22=J11+力£212^2£2,

y)yy

d2z1zL〃(X、1,“I

一一Th+-J22,一+~f22

dxdyyyIy;

2x,，x~'n

~h+-J22・

yy

(2)

t=V(11"./+九"-2xy)+2yf；+2M/]〃-y2+%"-2xy)

=2yf；+y"：+4孙儿"+"/人",

22

施=2靖+丁(/(；,2孙+[；-x)+2*'+2孙(储.2孙+/2；.X)

322

=2yf：+2xf；+2xyf1"+2/泡〃+5xyfJ,

^=f^-2xy+f2-x2=2xyf^+x2f^,

Sy

22

.=2,+2M工:-2xy+ft2-x)+x(f2".2xy+f2"-.)

=2必'+4x'"i"+4d班2"+x"2〃.

(3)

+v+x+v

言=—sin助'+cosx(工;<osx+/3〃•e')+e'''fy+e(/cosx+f3"-e^')

x+y2x+y2(v+y)/r

=ef^-sinxfy+cosxfj+2ecos劝3”+e^3,

■=cosx[九"Gsiny)+£；.e叼+e**+*.[以.(—siny)+储・e中]

x+yx+yx+y)

=e""；-cosxsinyf^'+ecosxf^-esinyf3"+^,

a7

?=4(—si”)+承中=—sin比'+落£,

办

=-cosyf[-siny[^(-siny)+f2；.e->]+e^^+e^[^；(-siny)+f3；.e中

2x+y2(x+y)

=e*1'-cosyf[+sinyf2"-2esinyf2"+ef^.

28、试证:利用变量替换，可将方程

化简为

证明:设

du_dududr]_dudu

dxdxdr/dx"dr/

d2ud2u3&d2udr/d2u线d2udrjd2ud2ud2u

---7=---7-------1--------------1--------------1-----7------=----7+2--------1......-

dx1"dxd^dridxdr)d^dxdr/~dx33rldr]~

d2u_d2u(1)d2ud2u(1)d2u1d2u4d2ud2u

丽=限「射+贷/—+加1[一射+标"=-3初一在初一方

1dudu

I延一而

d2u1d2u(1A1d2u.d2u(1、d2u.1d2u2d2ud2u

dy23”213)35^7劭d&[3)dif9d$3a勒?dry

d2u“d2u.d2u

dx2dxdydy2

d2u_d2ud2u.(1d2u4d2ud2u\J1d2u2d2ud2u

为26劭]助213”23障n的2)(9殆23d则df]2)

4d2u

3。剑

故

29、求下列隐函数得导数或偏导数：

⑴，求；

⑵求

⑶，求；

(4),求、

解:⑴［解法1］用隐函数求导公式，设尸(x,y)=sinyH-孙1

则

故、

［解法2］方程两边对x求导，得

故

(2)设F(x,y)=Indx2+y2-arctan—=—ln(x2+y2)-arctan—,

x2-x

(3)方程两边求全微分，得

则

故

(4)设,

则

(z?-xy)~(xy-z*)3

30、设尸(x,y,z)=0可以确定函数广x&,z),产y(x,z),z=z(x,y),证明:、

证明:：

31、设确定了函数z=z(x,y),其中F可微，求、

解：

£=耳'0+玛'♦=鸟’

工=6、1+工'(--T

\yJ

Sz.工-…一F：

2

&F:F；XF'

也=F,="'一+6’。，一

由£F；y2F^

32、求由下列方程组所确定得函数得导数或偏导数:

⑴求：

⑵求：

(3)其中工g就是类函数，求

(4)求

解：(1)原方程组变为

方程两边对x求导，得

当

⑵设

故

F〃Fx\xu\

dv_GuGx_\y-v|_-vx-uy

dxJJx2+y2

F,F,|vy|

du_GyG、,_-x\_-vx-uy

dyJJx2+y2

%F,\xv|

dv_G“Gy_|yu\_xu—vy

dyJJx2+y2,

（3）设

则J=f'h=（＜-1）（2^；-1）-/；^,

GuGyg：2%-1

FxFvuf：f；

+“duG*Gv-g'2yvg^-I-"'Q/g；T）”、；

改——=--------------=--------------------------=-------------------------------------

次JJ（劝'-i）（2＞喈2,-1）-力

xu

F“Fxf\f\

生=_G,/Gx=_g；g；=g；（＞'+%'T）

杀JJ（M'-1）（2〉嗥'-1）-人&'

(4)就是已知函数得反函数,方程组两边对x求导，得

整理得

解得

方程组两边对y求导得

整理得

解得

33、设，试求

解:由方程组

可确定反函数，方程组两边对x求导，得

解得

所以

方程组两边对y求导，得

解得

所以、

34、求函数在(2,7)点得泰勒公式、

解：

故

/(x,y)=/(2,-l)+(x-2)X(2,-l)+(y+l)/v(2,-l)

+l[(x-2)2/„(2,-l)+2U-2)(y+l)4，(2,-l)+(y+l)24(2,-l)]

+^[U-2)X(2,-D]

=2+3(x-2)+(j+l)+(x-2)2-(x-2)(y+l)+(y+l)2+(x-2)3

35、将函数在(1,1)点展到泰勒公式得二次项、

解：

习题九

1、求函数u=xy2^~xyz在点(1,1,2)处沿方向角为得方向导数。

解：

2

=(y一同。J⑵cosg+(2*-xz)|(1.1.2)cos:+(3z-砂)|(u2)cos1=5.

2、求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,l,2)到8(9,4,14)得方向导数。

解：

得方向余弦为

故

3、求函数在点处沿曲线在这点得内法线方向得方向导数。

解:设x轴正向到椭圆内法线方向/得转角为内它就是第三象限得角，因为

所以在点处切线斜率为

法线斜率为、

于就是

2'a

.dz2a(bb22

2—--J2(a+b)

"a/(*%)=-/•&.[y[a+b,2222

b夜(y/a+b7ab

4、研究下列函数得极值:

(2)z=e2r(x+)?+2y);

(3)z=(6x-/)(4y-)2)；(4)z=(f+y2)；

(5)z=xy(〃-x—y),〃H0、

解:(1)解方程组

得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)、

z.r.v=6x—6,z.n=0,z»=6y-6

在点(0,0)处4=-6,B=0,C=-6,B2—AC=-36<0^A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0、

在点(0,2)处川=-6,8=0,。=6,82—*=36>0,所以(0,2)点不就是极值点、

在点(2,0)处4=6,B=0,C=-6,B2-AC=36>0,所以(2,0)点不就是极值点、

在点(2,2)处4=6,8=0,。=6,4一/^=一36<0,且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8、

(2)解方程组

得驻点为、

在点处4=2孰8=0右=2382-/^=-462<0,又空0,所以函数有极小值、

(3)解方程组

得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4)、

2口=一2(4厂网，

ZQ.=4(3—x)(2—y)

Z»=-2(6x-JC2)

在点(3,2)处工=一8,B=O,C=-18,B2—AC=-8X18<O,且A<O,所以函数有极大值z(3,2)=36、

在点(0,0)处/=0,8=24,6=0,82—400,所以(0,0)点不就是极值点、

在点(0,4)处力=0,B=-24,C=0,"一AC0,所以(0,4)不就是极值点、

在点(6,0)处4=O,B=-24,C=O,B2—ACO,所以(6,0)不就是极值点、

在点(6,4)处川=0,8=24,。=0,炉一400,所以(6,4)不就是极值点、

(4)解方程组

得驻点尸。(0,0),及P(xo,yo),其中演尸+州2=1,

在点Po处有z=0,而当(x,y)W(0,0)时，恒有z>0,

故函数z在点尸。处取得极小值z=0、

再讨论函数z=〃e"

由，令得"=1,

当U>\时,;当H<1时；

由此可知，在满足的2+y(?=i得点(xo,yo)得邻域内，不论就是W+yM或/+六1,均有

、

故函数Z在点(%0,泗)取得极大值z=e1

(5)解方程组

得驻点为

Zxx=-2y,z^-a-lx-ly,z»=-2x、

故z得黑塞矩阵为

于就是

易知H(P)不定，故Px不就是z得极值点，

”(P2)当«<0时正定，故此时尸2就是Z得极小值点，且，

”(P2)当«>0时负定，故此时P2就是z得极大值点，且、

5,设Z?+2V+z2+8xz-z+8=0,确定函数z=z(x,y),研究其极值。

解:由己知方程分别对求导，解得

令解得,

将它们代入原方程,解得、

从而得驻点、

啊(2z+81)(T.83+(4x+8z)(2导8)

dxi~(2z+8x-l)2

dxdy(2Z+8X+1)2

Q-)—4(2z+8x—1)—8

歹一(2z+8x-1)2-

在点(-2,0)处F-AC<0,因此函数有极小值z=l、

在点处,B2-AC<0,函数有极大值、

6、在平面xOy上求一点,使它到x=0,)=0及x+2y-16=0三直线距离得平方之与为最小。

解:设所求点为尸(x,y),P点到x=0得距离为|x|，到产0得距离为M到直线x+2)T6=0得距离为

距离得平方与为

由

得唯一驻点，因实际问题存在最小值，故点即为所求。

7、求旋转抛物面Z=d+y2与平面x+y-z=l之间得最短距离。

解:设P(x,y,z)为抛物面上任一点、则点P到平面得距离得平方为,即求其在条件z=f+y2下得

最值。设F(x,y,z)=

解方程组

得

故所求最短距离为

8、抛物面z=f+y2被平面x+y+z=l截成一椭圆，求原点到这椭圆得最长与最短距离。

解:设椭圆上得点为P(x,y,z),则

|OP|2=d+)2+z2、

因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为

zuf+y2,x+y+z-\

设F(x,y,z)=X2+J2+Z2+AI(Z-A2-)^)+22(X+),+Z-1)

解方程组

得

由题意知，距离|OP|有最大值与最小值，且

、

所以原点到椭圆得最长距离就是，最短距离就是、

9、在第/卦限内作椭球面

得切平面，使切平面与三坐标面所围成得四面体体积最小，求切点坐标。

解:令

•••椭球面上任一点得切平面方程为

即

切平面在三个坐标轴上得截距分别为,因此切平面与三个坐标面所围得四面体得体积为

即求在约束条件下得最小值，也即求X”得最大值问题。

设，

解方程组

得、

故切点为，此时最小体积为

*10、设空间有〃个点,坐标为，试在X。y面上找一点，使此点与这n个点得距离得平方与最小。

解:设所求点为P(x,y,0),则此点与〃个点得距离得平方与为

222222

S=(x-x1)+(y-y1)+z1+(x-x2)+(y-y2)+z2+

+(x-x„)2+(y-y„)2+z„2

=〃1一2%(玉+%2++天)+犯2-2y(y+%++”)

222

+(占2+毛2++当2)+(凹2+必2++y„)+(Z1+Z2++Z：)

解方程组

得驻点

又在点处

Sxx=2n=A,Sxk0=8,Syy=2n=C

B2-AC=-4/?2<0,且A>0取得最小值、

故在点处,S取得最小值、

即所求点为、

11、已知平面上分别带有质量加即2,他得三个质点，问点得位置如何才能使该质点系对于P

点得转动惯量为最小。

解:该质点系对于P点得转动惯量为

2222

/=[(x—内)2+(/一%)2]叫+[(x-%2)+(y-y2)]zM2+[(x-x3)+(y-y3)]/w3

解上式得驻点

因驻点唯一，故转动惯量在点处取得最小值、

*12、已知过去几年产量与利润得数据如下:

产量x(千件)4047557090100

利润y(千元)323443547285

试求产量与利润得函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂得利润。

解:在直角坐标系下描点,从图可以瞧出，这些点大致接近一条直线，因此可设<x)=ar+6,求得最

小值,即求解方程组

把3,M)代入方程组，得

解得。=0、884,b=-5、894

即尸0、884尸5、894,

当户120时，产100、186（千元）、

「y

85■

72■

54■

43■•

34：.•

32*

O4047557090100

13、求下曲线在给定点得切线与法平面方程：

(1)x=«sin2r,y=Z?sinrcosr,z=ccos2r,^;

(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,M)(1,-2,1);

(3*=2〃a,z2=机-尤，点M)(x()jo,