高中数学选修第一册：选择性必修第一册第一章 1

第2课时空间向量基本定理的初步应用

【学习目标】1.会用基底法表示空间向量.2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问

题的思想.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一证明平行、共线、共面问题

（1）对于空间任意两个向量”，伏8/0）,a〃占的充要条件是存在实数九使“=劝.

（2）如果两个向量a,6不共线，那么向量p与向量a,匕共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对（%,y）,使p=xa+yZ>.

思考怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？

答案平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.

知识点二求夹角、证明垂直问题

d-h

（1）6为a,8的夹角，贝"cos面.

（2）若a,%是非零向量，则a,BOa0=0.

思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？

答案几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.

知识点三求距离（长度）问题

同=^^（|蕊|=4还・赢）•

思考怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离（长度）问题？

答案几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.

-思考辨析判断正误

1.四点A,B,C,。构成平行四边形ABC。的充要条件是赢=虎.（X）

2.若赢=亦，则A,B,C,。四点共线.（X）

3.已知两个向量NM,MP的夹角为60°,则/NMP=60o.（X）

4.如果。>=血+苏，则四点0,P,M,N一定共面.（V）

题型探究探究重点素养提升

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一、证明平行、共面问题

例1如图，已知正方体ABCD-A'B'CD',E,尸分别为A4'和CC'的中点.

c

求证：BF//ED'.

证明BF=BC+CF=BC+1CC7*=AD+^DD'',

ED''=EA't+AZD'=^AA'r+AD=^DD^+AD,

:.BF=ED',

：.BF//ED'',

；直线BF与ED'没有公共点，：.BF//ED'.

反思感悟证明平行、共面问题的思路

(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.

(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.

跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABC。一AiaCiDi中，E,尸分别在修3和。。上,

„12

JLBE=-jBBi，DF=2DDi.

求证：A,E,Ci，尸四点共面.

证明因为ACi=AB+A£)+A4i

=AB+AD+1-A4I+1A4I

=AB+^E+AD+DF=^E+AF,

所以石，AE,赢共面，

所以A,E,Ci,尸四点共面.

二、求夹角、证明垂直问题

例2如图所示，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,OC两两垂直，且。B=OC=/M=2,E

为BC的中点.

A

C

(1)证明：AELBC；

(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值.

.—►—►—►1—►—►—►—►—►—►

(1)证明因为AE=Z)E—ZM=2(OB+OC)-£M,CB=DB—DC,

所以赢.无=6加+;比一面)(加一比)

=^DB2-^DC2-DADB+DADC,

又DA,DB,0c两两垂直，且。8=DC=D4=2,

所以靠・无=0,

故AE±BC.

(2)解AEDC^[^DB+^DC-DAj-DC

=/协庆+城;2-亦庆=昴?=2,

由AE2=(^DB+；£>(7-DA〉=^Z5B2+^5C2+5^=6,得|靠|=就.

_AEDC_2_y[6

所以cos(AE,DC}

~\AE\\DC\^X2~6

故直线AE与。C的夹角的余弦值为平.

反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法

fi.h

利用数量积定义可得cos(a,b>=言不求〈出b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直

可作为求夹角的特殊情况.

跟踪训练2在长方体ABC。一AiBiGA中，AB=2,BC=BiB=l,M,N分别是AD,DC

的中点.求异面直线MN与BG所成角的余弦值.

解MN=DN-DM=^(DC-DA),

BCi^BC+CC^-DA+DDi,

2

所以疝氤1=&（c—（—应+5z）|）=^DA=1,

又闲=3应|=芈，|阖=啦,

1_

疝前i/yi5

所以cos(MN,BCi)

~\MN\\BC]~^X^2~10

故异面直线MN与BCi所成角的余弦值为曙.

三、求距离（长度）问题

例3已知平面a_L平面£,且aC£=/,在/上有两点A,B,线段ACUa,线段BOUS,

并且AC_U,BDll,AB=6,BD=24,AC=8,则CD=.

答案26

解析•.•平面aJ_平面£,且aC£=/,在/上有两点A,B,线段ACU明线段BDU.,

AC1I,BD±I,AB=6,20=24,AC=8,

：.CD=CA+AB+Bb,

J.CD1=（CA+AB+BD）2

^C^+AB'+BD2=64+36+576=676,

：.CD=26.

反思感悟求距离（长度）问题的思路

选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离（长度）问题转化为

向量的模的问题.

跟踪训练3正方体ABC。-的棱长为0,病=领3，点N为的中点，则

I血等于（）

A陪

>•$au.3i

答案A

解析,?MN=AN-AM=AN~^\Ci

—►—►I―►—►►

=AB+BN-^(AB+AD+AAi)

=^AB+^AAi-5。，

一/4fC1—_1fc

・,・|%V|='g\AB\2+^\AAi|2+g|AD|2

随堂演练基础巩固学以致用

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1.（多选）已知A,B,C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，贝「'点M与点A,B,C

共面”的充分条件是（）

\.dM=2OA-OB-OC

B.OM^OA+OB-OC

C.OM=6A+^OB+^OC

D.OM=^OA+^OB+^OC

236

答案BD

解析根据“血=x3^+y加+z诙,若x+y+z=l,则点M与点A,B,C共面”，

因为2+（—1）+（—1）=0^1,1+1+（—1）=1,l+|+|=y^l,^+|+|=1,

由上可知，BD满足要求.

2.设A,B,C,。是空间不共面的四点，且满足通•/1=（）,AC-AD=O,AB-AD=O,则△BCD

是（）

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.不确定

答案B

解析在△BCD中，正・应）=（公一赢）•（曲一赢）=赢2＞（）,，台为锐角，

同理，C,。均为锐角.

3.如图，三棱锥5—ABC中，SA_L底面ABC,ABLBC,AB=BC=2,SA=2也贝！ISC与

AB所成角的大小为（）

s,

C

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案B

解析因为SA_L底面ABC,所以SA_LAC,SA±AB,所以五•赢=0,

XABXBC,AB=BC=2,

所以ZBAC=45°,AC=2巾.

因此而启=|AB||AC|COS45。=2X2取吟~=4,

所以文.油=病.西一而.赢=4,

又SA=2巾，所以SC^y/SA2+AC2^4,

EU/六汽、交施41

因此cos（SC,AB）'——.——5,

周同4Xv2o2

所以SC与42所成角的大小为60°.

4.如图，已知=A8CZ）中，AD=4,CD=3,ZD=60°,B4_L平面A8CD且B4=6,则尸C

的长为.

答案7

解析,：PC=i^+AD+DC,

.,.|PC|2=PC-PC=(^+AD+5c)2=|^4|2+|Ab|2+|5c|2+2fi4-Ab+2^4DC+2Ab-Z5c

=62+42+32+2|AD||Z5C|COS120°=61-12=49.

:.PC=I.

5.已知a,b是空间两个向量，若|a|=2,\b\=2,\a-b\=^,则cos〈a,b)=.

答案!

o

解析将1〃一万|=由化为(ai)2=7,求得a仍=3，

再由a0=|a||Z>|cos(a,b)求得cos(a,b)=g.

■课堂小结—

1.知识清单：

(1)空间向量基本定理.

(2)空间向量共线、共面的充要条件.

(3)向量的数量积及应用.

2.方法归纳：转化化归.

3.常见误区：

(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.

⑵转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.已知。,4,8是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2元+为=0,则元等于()

A.2OA-OBB.-OA+2OB

C.|oA—D.—

答案A

解析由已知得2(又一宓)+(励一无)=0,

.•.沆=2近一赤

2.如图，已知空间四边形ABC。中，AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,所得图形

是()

C

A.长方形

B.正方形

C.梯形

D,菱形

答案D

~►—►—►1­►1—►1―►

解析因为尸Q=BQ—3P=18C—1E4=]AC

—►I—►—►—►

同理SR=]AC,所以PQ=SR,

所以四边形PQRS为平行四边形.

-A-A-►1—►1―►1―►

又尸S=AS—AP=1AO—洲3=滑£),

-1-1

所以IPS尸引5。|,即尸S=15D

-*•1-►

又1尸。1=440，

故PQ—^AC,而AC—BD,

所以PS=P0,故四边形ABC。为菱形.

3.如图，长方体ABC。一AiBiGA中，AAi=AB=2,AD=l,E,F,G分别是Z）C,AB,

CG的中点，则异面直线4E与G尸所成角的余弦值是（）

A.0

D弯

c坐

答案A

解析根据题意可得,

A?E-GF=(AA+Ab+Z5£)-(GC+CB+BF)

—(—AAi+AZ)+g£)C)一(一2AAi—AD—~^DC)

=3诵2-AZ)2-15C2=|X4-1-|X4=0,

从而得到随和后垂直，故其所成角的余弦值为0.

4.在正三棱柱ABC—4SG中，若AB=y^BBi，则CAX与GB所成的角的大小是（）

A.60°B.75°

C.90°D.105°

答案C

解析设|丽i|=〃z,CA=a,CB=b,CCi=c,

则CAI=Q+C,CiB=b—c,

CAvC^B

=(〃+c)0—c)

=ab-\-b'C—ac—c2

=y[2m'y[2mcos^+0—0—m2=0,

：.CAi±QB,

・・・CAi与CiB所成的角的大小是90°.

27r-

5.如图，二面角a一/一万等于行，A,2是棱/上两点，BD,AC分别在平面a,/内，AC，/,

BDM,且2AB=AC=BO=2,则CO的长等于()

A.2小B.V13

C.4D.5

答案B

.27T->—>2冗jr

解析，・,二面角a—/一£等于于，AC±l,BD±l,所以(CA,BD)=兀一5=Q，

"：CD^CA+AB+BD,

：.cb2=CA-+^-+BD2+2O{AB+2ABBb+2^Bb

=22+12+22+0+0+2X2X2XCOS生=13.即CD=y[l3.

6.已知向量a,&满足条件⑷=3/，|臼=4,m=a+b,n=a+^.b,〈a,b>=135°,m±n,

则实数4=.

答案*3

解析因为帆・〃=0,所以(“+方>(。+劝)=0,

所以a2+(l+A)a-6+Xb2=0,

所以+162=0,

3

解得力=一］.

7.如图，在空间四边形42cD中，/ABD=/CBD巧,ZABC^,BC=BD=1,AB=正,

则异面直线AB与CD所成角的大小是.

4

D

答案I

解析依题意可知CD=y[^西访，赢.而=赢,向）—的）

=^3BD-ABBC=0+^BC=\^\\^c\cos45°=1.

ABCD11

设直线AB与CD所成角为a,则cosa,故a=?

|AB||cb|^2X^22

8.如图,平行六面体ABCD-AiBiCi。中，\AB\=\AD\=\AAi\=l,ZBAD=ZBAAi=120°,

ZDA4i=60°,则线段AG的长度是

答案小

解析,?ACi=^+AD+AAi,

：.然2=而+助2+而2+2而病+2病况+2病涵

=1+1+1+2X1X1X^-£)+2X1X1X^-^+2X1X1X1=2,

；.ACi=p.

9.在平行六面体ABCD-AiSGP中，设疝=a,AD^b,AAi=c,E,E分别是AA，BD

的中点.

⑴用向量a,b,c表示万山,EF-,

(2)若£)/=xa+M+2C,求实数x,y,z的值.

解(1)如图，连接AC,EF,DiF,BDi,

D^B=Dd)+DB

=—AAi+AB—M)=a—b—c,

EF=EA+AF=^D[A+^AC

2121

---►1---►---►

(2)DIF=2(DI£)+£)IB)

=2（一

=T(—c+Q——

=%_1—c,

•_1__1

•»x-2，y—2，z—i.

10.如图，在正方体ABC。一A/1GD1中，E,尸分别是GA，小。的中点，正方体的棱长为

1.

⑴求＜CE,AT）的余弦值;

(2)求证：BDiLEF.

>>>>1>>>一A>1>>1>

(1)解AF=A£>+。歹=4。+/1,CE=CG+GE=AAi+1O)=A4i—]AA

因为ABAD=0,ABAAi=0,AD-AAi=0,

所以也能=(A4]—；A8).®9+5AI)=3.

又I石1=|々|=乎，所以cos(CE,嘉〉=|.

⑵证明BDi=BD+DDi=Ab-AB+AAi,

―►►-►1­►►

EF=EDi+。声=一2(A2+A4i),

所以丽.肆=0,所以丽_L而.

X综合运用

11.在四面体O—ABC中，G是底面△ABC的重心，且灰?=x5^+y而+z5b,则log3|孙z|

等于（）

A.13B.-1

C.1D.3

答案A

解析连接AG（图略）,

―►―►―►―►1—>―►—►1―►—>―>—►

OG=OA+AG=OA+-j（AC+AB）=OA+^OC-OA+OB-OA）

=^OA+^OB+^OC=xOA+yOB+zOC,

・・・x=y=z=g,贝ijlogBlxyzlulogs，^—3.

12.在三棱柱ABC—A/iG中，AAilJfeffiABC,AB=BC=AAi,ZABC=90°,点E,尸分

别是棱AB,的中点，则直线跖和5G所成的角是（）

A.30°B.45°

C.90°D.60°

答案D

解析因为点区尸分别是棱A5,3囱的中点，

所以EF=BF~RE=^（BBx-BA）,BCi=BC+BRi,

所以E—AFBGA=11（BBA1-3—AA）（B—AC+B81►）=]B1B1►2_,

设所求异面直线的夹角为6,则

年前I1

cos3=：2,所以6=60。.

\EF]\BCi\

13.如图，已知正三棱柱ABC—4B1G的各条棱长都相等，M是侧棱CG的中点，则异面直

线AR和BM所成的角的大小是

答案90°

AAAAA1A

解析不妨设棱长为2,则ABi=88i一胡，BM=BC+^BBi,

一一（丽一的.帆+T函）o-2+2-O

cos〈ABi,BM}=乖/=2丁义布=仇

则〈涵，BM）=90。.

14.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCO-AiSGA,其中，以顶点A为端点的

三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是.（填序号）

①函+赢+Ab)2=2(历2.

@ACi-(AB-AD)=O；

③向量氤与涵的夹角是60。；

④BDi与AC所成角的余弦值为坐.

答案①②

解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60。，

可设棱长为1,则京西=京病=万)•矗=lXlXcos6(T=；,

(AAl+赢+Ab)2=涵2+施2+寿2_|_2AA[-AB+2.^-Ab+2AAiAD

=1+1+1+3X2X<=6,

而2(AQ2=2(AB+AZ))2=2(AB2+AD2+2AB-AD)

=2(1+1+2X§=2X3=6,所以①正确.

AG-(AB-Ab)=(A^+AB+Ab).(AB-AZ))

2

^AAiAB-AAl-Ab+AB--AB-Ab+Ab-AB-AD^O,所以②正确.

向量瓦运=彳而，

显然4m为等边三角形，则/44田=60。.

所以向量瓦B与用t的夹角是120。，向量灰与然的夹角是120°,则③不正确.

又曲=刀)+祸—检，AC=AB+AZ),

则|丽|=4(屐(+然一通)2=也，

।/i=q(赢+冠))2=小，

BDiAC^(AD+AA1-词•(施+病)=1，

所以cos〈丽，AC)=#^=7^=乎，

\BDi\\AC\72X73

所以④不正确，故①②正确.

g拓广探究

15.（多选）在四面体产一A