山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-对数与对数函数含答案解析

第6讲对数与对数函数

［考纲解读］1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化

成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊

点.（重点、难点）

3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一

类重要的函数模型.

x

4.了解指数函数y=a（a>0且aWl）与对数函数y=logox（a>0且aWl）互为反

函数.

［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点.预测2021

年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方

向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复

合函数的单调性、恒成立问题呈现.

基础知识过关-

对应学生用书P027

1.对数的概念

如果且aWl）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作现x=log&M

其中区a叫做对数的底数,皿叫做真数.

2.对数的性质与运算法则

⑴对数的性质

①aloga/V=箕Ma>0,且aWl）；②|0即。”=辿/\/（。>0,且aWl）;③零和负数

没有对数.

(2)对数的运算法则(a>0,且aWl,M>0,N>0)

①loga(M-N)=jElogqAf+logqN；

M

②lo酝=jglo&M-lo&此

③logaM"=^/21pggM(/ieR).

⑶对数的换底公式

l0gb

C>

logob=|Ogo(a0,且a#l;c>0,且cWl；b>0).

3.对数函数的图象与性质

函数y=logaM〃>。，且aW1)

a>l0<。<1

1X=1y=logaXJX=1

，

图象*1,。)__________,

1A(i,o)x1

图象在y轴BL右侧,过定点(1,0)

特征当X逐渐增大时，图当X逐渐增大时，图

象是皿上升的象是但下降的

续表

函数y=logaX(Q>0,且QW1)

定义

困(0,+8)

域

性值域R

质单调在(0,+8)上是Q3增函在(0,+8)上是因减函

性数数

函数当x=l时，y=0

值

当x>l时，02y>0；当时，02y<0；

变化

当0<%<1时，叫<0当0<x<l时，囚y>0

规律

4.反函数

指数函数y=ax(a>0,且。71)与对数函数dy=logax(a>0,且。71)互为反函

数，它们的图象关于直线以y=x对称.

口诊断自测

1.概念辨析

⑴若MN>0,则loga(“V)=logJW+log°N.()

(2)若a,〃均大于零且不等于1,则)

(3)函数y=logaf与函数y=21ogaX是相等函数.()

(4)若M>N>0,则log.航>log“N.()

⑸对数函数y=logax(a>0且aWl)的图象过定点(1,0),且过点(a,l),

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)V

2.小题热身

(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数，其中a>0,。Z1)的图象如图，则下

列结论成立的是()

A.a>l,c>1

B.a>l,0<c<l

C.0<a<l,c>l

D.0<a<l,0<c<l

答案D

解析由选项可知，只需研究c>0的情况.y=logaX的图象向左平移。个单

位可得函数y=loga(x+c)的图象，结合图象可知0<a<l,0<c<l.

(2)若t?=logo,20.3,Z?=logo.20-4>c=2°,，则()

A.a〈b〈cB.b〈a<c

C.b<.c<.aD.a<c〈b

答案B

解析因为y=logo,2X是减函数，所以logo.20.2>logo.20.3>logo.20.4,即l>a

>&.XC=202>2°—1,所以bVaVc.

(3)有下列结论:®lg(Ig10)=0；(2)|g(Ine)=0；③若lgx=l,则x=10；④若

log22=x,则x=l；⑤若logmn-log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是

答案①②③④⑤

解析Ig(Ig10)=lg1=0,故①正确；Ig(Ine)=lg1=0,故②正确；③④正确;

l

logmn-log3/n=|°^)-log3m=log3n=2,故n=9,故⑤正确.

(4)若函数y=/(x)是函数y=2工的反函数，则五2)=.

答案1

解析由已知得y(X)=log2X,所以火2)=log22=1.

经典题型冲关

对应学生用书P028

题型一对数式的化简与求值

【举例说明】

1.计算log29Xlog34+21og510+log50.25等于()

A.OB.2

C.4D.6

答案D

2

解析log29Xlog34+21og510+log50.25=21og23Xp^+log5(10X0.25)=4

2D

+2=6.

2.设2。=5匕=机，且!+[=2,则机等于()

A.VTOB.10

C.20D.100

答案A

解析由2°=5'=m，得a=log2机,0=log5"z,所以1+\=log〃2+logm5=log〃J0

=2,所以机

3.已知logi89=a,18A=5,则用a,6表示log3645=.

a+b

答案

2~a

解析因为logi89=a,180=5,所以logi85=b.

工曰ilogi845logi8（9X5）

于正35=1咱836=7^二不二言.

4.(2019•全国卷II)已知人乃是奇函数，且当x<0时，1Ax)=-e"，若_/(ln2)=8,

则a=.

答案一3

解析设x>0,则一x<0.

*/当x<0时，»=-eax,：式一x)=一「小

••7(x)是奇函数，.\Ax)=一五一x)=e””，

/.^ln2)=e-aln2=(eln2)~a=2~a.

又_/(ln2)=8,：.2~a=8,：.a=~3.

【据例说法】

对数运算的一般思路

(1)转化：①利用/=押36=108”(《>0,且aWl)对题目条件进行转化.如举

例说明2.

②利用换底公式化为同底数的对数运算.如举例说明3.

N

(2)恒等式：关注log.1=0,logaa=N,alogaN=N的应用.如举例说明4.

(3)拆分:将真数化为积、商或底数的指数嘉形式，正用对数的运算法则化简.如

举例说明3.

(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运

算法则，转化为同底对数真数的积、商、嘉的运算.如举例说明1.

【巩固迁移】

1.(2019•山东省实验中学模拟)已知正实数a,b,c满足log2a=log30=log6C，

则()

2

C.c=〃Z?D.c=ub

答案c

解析设log2a=log3"=log6C=左，则a=a,b=3*,c=6",所以ab=2*-3*=

(2X3)fe=6A=c.

2.计算(Ig2)2+lg2X|g50+lg25的结果为.

答案2

解析原式=lg2(lg2+lg50)+lg52

=lg2Xlg100+21g5=2(lg2+lg5)=21g10=2.

3.设35^=49,若用含x的式子表示log535,则log535=

2

答案二

解析因为35*=49,

3f

有、/.1阳49210g57210g5行

所以x-log3549-10&35-1Qg535

_2(log535-l),2

解得log535=^7Z^.

一log535

题型二对数函数的图象及应用多维探究

【举例说明】

1.（2019•浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y=A,y=loga（x+^（a>0,且

aWl）的图象可能是（）

答案D

解析当0<a<l时，函数y=，的图象过定点(0,1),在R上单调递减，于是

函数尸十的图象过定点(0,1),在R上单调递增，函数尸的图象过

定点g，0)，在(―3，+8)上单调递减.因此，D中的两个图象符合.当

时，函数y="的图象过定点(0,1),在R上单调递增，于是函数的图象

过定点(0,1),在R上单调递减，函数y=logjj+g的图象过定点(；，0),在

[-1,+8)上单调递增.显然A,B,C都不符合.故选D.

2.当0"；时，4yog°x,则。的取值范围是()

A.[o,由B俘,1)

C.(1,&)D.诋2)

答案B

解析构造函数/(x)=4*和g(X)=logaX,要使0<xWT时，4“<logaX,只需1X)

在(0,3上的图象在g(x)的图象下方即可.当a>l时不满足条件；当0<。<

1时，画出两个函数在(o,j上的图象，可知只需回<gg),即2<log4，

则a>乎，所以a的取值范围为1).

条件探究1将本例变为：若方程4、=logax在［o,1上有解，则实数a的取

值范围是.

答案［o,乎］

x

解析若方程4=log^在(0,1上有解，则函数y=4"和函数y=logax在

0<a<l,i~

(0,3上有交点，由图象知1解得0<aW半.

'2」［log„2^2,2

条件探究2将本例变为：若不等式x2一|ogaX<0对XG］O,胃恒成立，则实数

a的取值范围是.

答案1)

2

解析由％一|08%0得*2<|08£^,设/13=*2,/2,)=1。8£^,要使*©［0,胃时，

22

不等式x<logox恒成立，只需/i(x)=x在［o,胃上的图象在/2(x)=logox图象的

下方即可.

当a>\时，显然不成立；

当0<<7<1时，如图所示，

要使f<10gaX在X©(0,T)上恒成立,

所以有映WlogJ,解得心七所以+Wa<l.

即实数。的取值范围是［点，1).

【据例说法】

L对数函数图象的特征

(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a>l时，图象上升；0<a<l时,

图象下降.如举例说明L

(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大

小有关，图中0<c<d<l<a<b.

在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；

在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大.

(无论在X轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)

2.利用对数函数的图象可求解的三类问题

⑴对数型函数图象的识别.解此类问题应从对数函数y=logaX的图象入手，

抓住图象上的三个关键点(a,1),(1,0)，&-1J,特别地要注意a>l和0<a<l

的两种不同情况.

⑵对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性

(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.

⑶一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结

合法求解.如举例说明2.

【巩固迁移】

1.已知lga+lg6=0(a>0且aW1,b>0且6W1),则函数«x)=，与g(x)=一log/>x

的图象可能是()

BCD

答案B

解析因为lgo+lgb=0,所以lg(")=O,所以a"=l,即6=5，故g(x)=

-logfrX=—log^x=\ogaX,则五x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y=x对

称，结合图象知，B正确.

2.设实数a,b是关于x的方程|lgx|=c的两个不同实数根，且a<b<10,则

abc的取值范围是.

答案(0,1)

解析由图象可知0<4<1<。<10,

1246810

又|lga|=|lg例=c,所以Iga=-c,lgb=c,

即lga=—lgb,lga+lgb=0,

所以a0=l,于是abc=c,而0<c<L

故"c的取值范围是(0,1).

多角探究

【举例说明】

角度1比较对数值的大小

2

1.(2019•天津高考)已知a=log52,^=log0.50.2,c=0.50-,则a,b,c的大小

关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析因为y=log5X是增函数，所以a=log52<log5小=0.5.因为y=logo.5X是

减函数，所以b=logo,50.2>logo.50.5=l.因为y=0.5”是减函数，所以0.5=0.5

=0.5°2<0.5°=1,即0.5<c<l.所以a<c<b.故选A.

9角度2解对数不等式

10g2%,X>0,

2.设函数段)=<1若火0次一a),则实数a的取值范围是

log^(—%),x<0,

A.(-1,O)U(O,1)

B.(—8,—1)U(1,+°o)

C.(-1,O)U(1,+8)

D.(—8,-l)u(o,l)

答案C

解析若a>0,则log2a>10破。，即21og2a>0,所以a>L

若a<0,则log1(—a)>log2(—a),即210g2(—。)<0,

所以0<一a<l,所以一l<a<0.

综上知，实数。的取值范围是(一1,0)U(l,+8).

角度3与对数函数有关的函数性质问题

3.函数y=loga(2—ax)在区间［0,1］上是减函数，则a的取值范围是()

A.(0,l)B.(0,2)

C.(1,2)D.(2,+8)

答案C

解析题中隐含a>0,,2—ax在区间［0,1］上是减函数.，y=logaM应为增函

［a>\,

数，且M=2—ax在区间［0,1］上应恒大于零，.，/.l<a<2.

［2—a>0,

-x+6,xW2,

4.若函数/(x)=L一(a>0,且aWl)的值域是［4,+°°),则实数

［3十logaX,x>2

a的取值范围是.

答案(1,2］

解析当xW2时，f(x)=—x+6N4.

因为於)的值域为［4,+°°),

所以当。>1时，3+logflx>3+logfl2>4,

所以log.2>l,所以l<aW2；

当0<a<1时，3+logax<3+logo2,不符合题意.

故aG(l,2］.

【据例说法】

L比较对数值大小的方法

若底数为同一常数，可由对数函数的单调性

若底数相同，真数不同直接进行判断；若底数为同一字母，则需对

底数进行分类讨论

若底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明1

2.求解对数不等式的两种学售型及方法

类型方法

形如借助y=log/的单调性求解，如果。的取值不确定，需

分a>\与〃两种情况讨论

logax>logflZ?0<<1

形如需先将。化为以。为底的对数式的形式，再借助y=log.x

lOgaX>b的单调性求解

3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点

(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.如举例说明3.

⑵底数与1的大小关系.

⑶复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.

【巩固迁移】

1.（2019•遵义模拟）已知tz=log26,^=log515,c=log721,则a,b,c的大小

关系为（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.CVQVZ?D.

答案B

解析因为〃=log26>log24=2,b=log515=1+log53,c=log721=1+logv3,

又Iog37>log35>l,所以号7Vm^<1,gplog73<log53<l,所以c<6<2

<a.

2.函数尸'/log^Qx—1）的定义域是（）

A.[l,2]B.[1,2）

C.1D.（j,1

答案D

解析要使函数解析式有意义，须有1靖（2x—1）20,所以0<2x—1W1,所

以1,

所以函数尸11。雄2》一1）的定义域是g1.

3.函数/(x)=log2V^-log啦(2x)的最小值为

1

答案-

4

解析f(x)=2logsx-21og2(2x)

=log2x(log22+log2x)

2

=log2x+(log2x)

1

--

45

,兀0取得最小值一/

所以当log2x=—即X

课时作业

对应学生用书P227

@组基础关

4*—1,xWO,

1.（2019・沈阳模拟）设函数危）=<则)

Jog2%,X>0,

A.-1B.1

D坐

C.-y

答案A

解析］1)=10g2；=—1.

2.(2019全国卷I)已知a=log20.2,b=202,c=0.2°>则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

答案B

解析因为。=log20.2<0,Z，=2°-2>1,0<C=0.2°-3<1,所以。>c>a故选B.

3.函数人x)=loga(x+。)的大致图象如图，则函数g(x)=ax-b的图象可能是

()

答案D

[0<<7<1,①

解析由图象可知0<。<1且0勺(0)<1，即入，一c

由②得logalvlogaZKlogM：0<a<l,...由对数函数的单调性可知质6<1,结

合①可得。，6满足的关系为0<a<0<l,由指数函数的图象和性质可知，g(x)

="—6的图象是单调递减的，当工一十8时，g(x)一—1,且一定在直线y=

—1上方.故选D.

,21

4.若实数a满足loga]>l>logia,则a的取值范围是()

-2$

2'

2_

log^h①

21

解析由log亏>l>lo卬，得

222

由①得，当时，a<w，此时a@0；当0<。<1时，a>y则g<a<l.由②得，

12

a>7因此）<a<L

5.（2019•北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两

颗星的星等与亮度满足牝一四=脑智，其中星等为颂的星的亮度为EKk

=1,2）.已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星

的亮度的比值为（）

A.1O101B.10.1

C.1g10.1D.1O-101

答案A

解析由题意知，mi=-26.7,m2=—L45,代入所给公式得一1.45一（—26.7）

=1lg3，所以1g台=10.1,所以葛故选A.

6.（2019•曲靖模拟）设a=logo_30.4,^=log30.4,则（）

A.ab<a-\-b<0B.a-\-b<ab<0

C.ab<Q<a+bD.a+b<Q<ab

答案A

解析因为a=logo.sO.4>logo.31=0,b=logsO.4<logs1=0,所以ab<09又

%^=5+[=logo.40.3+logo_43=logo.40.9e（0,l）,所以所以ab

<£z+Z?<0.

7.已知函数五x)=lnx+ln(2—x),则()

A<x)在(0,2)上单调递增

B/x)在(0,2)上单调递减

C.y=/(x)的图象关于直线x=l对称

D.y=»的图象关于点(1,0)对称

答案C

解析兀t)的定义域为(0,2)./(x)=Inx+ln(2—%)=In[x(2—尤)]=ln(—x2+

2x).设M=—d+2x,x©(0,2),则u=~^+2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)

上单调递减.又y=lnM在其定义域上单调递增，...兀v)=ln(—f+2x)在(0,1)

上单调递增，在(1,2)上单调递减.：.A,B错误.•.7(x)=lnx+ln(2—用=汽2

—x),的图象关于直线x=l对称，，C正确.二7(2—x)+五x)=[ln(2—

x)+lnx]+[lnx+ln(2—%)]=2[lnx+ln(2—x)],不恒为0,，兀劝的图象不关

于点(1,0)对称，，D错误.故选C.

8.计算：log23-log38+(小)log34=.

答案5

解析原式=詈宗芈7+3*og34=3+31og32=3+2=5.

lg，lgJ，J

9.已知函数y=loga(x—l)(a>0,且aWl)的图象过定点A,若点A也在函数人x)

=2工+6的图象上，则人log23)=.

答案T

解析函数y=loga(x—l)(a>0,且aWl)的图象过定点A(2,0),

因为点A在函数五%)=2工+6的图象上，

所以22+方=0,所以》=一4.

»=2"-4.

所以/Clog23)=210g23-4=3-4=-l.

10.已知函数y=logaX(2WxW4)的最大值比最小值大1,则a的值为.

答案2或3

解析①当a>l时，y=logaX在[2,4]上为增函数.

由已知得log„4—logfl2=l,所以logfl2=l,所以a=2.

②当0<a<l时，，=1。8(^在[2,4]上为减函数.

由已知得logfl2—loga4=1,

所以loga|=1,所以a=1.

综上可知，a的值为2或去

纥组能力关

1.设工,»z为正数，且2*=3>=52,则（）

A.2%V3y〈5zB.5z〈2%V3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

答案D

xyzxyZ

解析\'2=3=59/.In2=ln3=ln5,「.xln2=yln3=zln5,

2

二共=需=臀=翟>1，•.•2x>3y，同理可得2x<5z.'3y<2x<5z.故选

jyJin乙xii乙xiio

D.

2.（2020•北京海淀模拟）如图，点A,3在函数y=log2%+2的图象上，点C在

函数y=log2X的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC〃y轴，设点A

的坐标为（机，n）,则m=（）

A.2B.3

C.巾D.^3

答案D

解析因为直线BC〃y轴，所以3,。的横坐标相同；又3在函数y=log2X

+2的图象上，点C在函数y=log2X的图象上，所以|BC|=2.即正三角形A3C

的边长为2.由点A的坐标为（加，n）,得B（m+小，〃+1）,所以

几=log2机+2,

<

n+1=log2（m+V3）+2,

所以log2m+2+