高中数学- 函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思

人教B版高一数学必修第一册

3.1.2函数的单调性（1）

教学设计

一、教学目标确立依据

1.课程标准

（1）函数

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的

重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体

会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一

些简单函数的定义域和值域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、

列表法、解析法）表示函数。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大

（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质

2、课程标准解读：

课程标准对函数单调性的要求可以分为三个层次.一是要求学

生能通过基本函数的图像直观感受函数的单调性并能归纳出单调性

的定义.二是能够运用定义证明函数的的单调性.第三参次是会利用

单调性求最值。从第一个层次来看，是通过图像语言到自然语言再到

数学语言，由感性认识上升到理性认识的过程，即形成概念；第二个

层次是概念深化层面，即通过解函数不等式、证明函数的单调性来进

一步加深概念的理解.由于学生以后还要学习导数，所以只选取基本

函数研究，能体会到概念的实质即可.

3、学情分析与教材分析

在初中学生已经能通过一次、二次函数和反比例函数的图像说

出当自变量X在定义域中由小变大时，因变量的变化趋势，对单调

性有了直观的认识，但缺少严格的定义。在第一章集合与常用逻辑用

语中的学习中，学生学会了用集合区间表示数集。理解含有存在、任

意量词的命题，会对有关命题判断对错。在第二章的学习中，学习了

做差比较大小，解不等式的方法。在第三章函数的学习中，已经对X

与y的对应关系有了初步的认识。

函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函

数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函

数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用.本节课是单调

性的新授课，理解好单调性的概念，对于进一步探索、研究函数的其

他性质有很强的启发与示范作用.

二、教学目标：

①通过观察分析已学函数的图像，初步感知图像特点，会用文字语

言描述，能用符号语言准确说出单调性的定义

②通过讲解提高，学会用定义法证明单调性

③通过合作探究，学会利用函数的单调性求最值

三、评价设计

目标1评价:通过提问图像在哪个区间上升、下降，怎样用语言刻画，

让三个中偏下的学生起来回答.引导学生集体用符号语言给出定义并

记忆。通过对判断题的探究，老师补充评价，加深对概念的理解。期

望全部学生达成目标一.

目标2评价：.通过引导提问，老师板演证明步骤，学生做变式训练，

两个学生板书，集体评价.期望百分之八十的学生达到目标二。

目标3评价：通过老师引导

四、教法与学法：

本节课是典型的概念教学模式，设计流程为“观察图像一

自然语言定义一严格定义一证明单调性一运用单调性求最值”。本

节课的难点是理解好“任意”关键词.我通过让学生观察图像、探

究函数y的单调区间来突破.重点是证明单调性.我先引导学生

X

探究证明思路，然后大屏幕显示做题步骤，学生整理、练习变式训

练，两个学生板演，集体评价，最后通过单调性求最值加强运用。

五、教学重点：

掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性，理解

单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。

教学难点：学生对抽象的定义很难理解，通过判断对错及＞

X

单调区间的加深理解

六、课前准备：

在函数的单调性的教学中，准备使用PPT、GeoGebra因为使用

GeoGebra有利于规范作图。

的_____两个值XI、X2),【设计意图】

当*时，有_____,就称函数y=f(x)在区间M让学生直接回答，

上是_________师生总结提高，提

当西气时，有_____,就称函数y=f(x)在区间M高学生的数学表

上是_________________.达和交流能力.

如果一个函数在某个区间I上是增函数或是

减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性。(区

间I称为单调区间)

四、判断对错，深化概念【设计意图】

例1、判断下列命题的真假引导学生对“核心

1.定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(l),则f(x)在R概念”再思考，鼓

上是增函数.励学生主动参与，

若函数f(x)在R上是增函数，则f⑵>f(l)引导学生用精练

2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数的语言进行表达，

a,b,都有逐渐提高语言表

份<。成达能力.

立，则f(x)在R上是减函数1

教师要回扣学习

3.广：的单调减区间是(r,0)u(0,+oo)-■X目标一.

自我小结：

五、讲解提高运用概念【设计意图】

例2、证明函数/(x)=2x+3在(-8,+8)上是增函数.概念给出后教师

以板演例题的形

式给出证明的步

骤。学生可以通过

步骤总结：练习加深对定义

法证明的理解

做完题目教师引

六、小试牛刀，巩固练习导学生总结在这

1.证明函数y=g在区间(9,0)上是减函数两个小题下的收

获.培养学生概括

能力和语言表达

2.证明函物(x)=-x2+2x,xw(-co,1］是增函数。能力.

教师要回扣学习

自我小结：目标二

七、综合运用提高素养【设计意图】

最大(小)值的定义：课堂中要让学生

动起来，教师就要

几何意义：___________________搭建合适的平台

最大(小)值点：___________________让学生展示自我.

教师设计的

例题3：求函数f(x)=______________在区间你问我答，既让学

______________上的最值生掌握新知，又可

以提高学生的积

极主动性。

教师要回扣学习

目标三

自我小结：

九、课堂小结自我提高【设计意图】

画出本节课的思维导图通过让学生画思

维导图，让学生自

己缕清单调性的

定义、证明、运用

的知识脉络。同时

有助于培养学生

的总结归纳能力.

十、课后练习：【设计意佟1】

1.证明函数=在(0,1)上是减函数第一道题是利用

X

定义证明，注意变

形方向。第二题是

2.f(x)=-xT的定义域是D,值域是求D利用y的范围求x

3.(思考题)已知函数/(X)在(-8,0)上是增函数，若的范围，体现了转

/(3%+1)</(%-2),求x的取值范围？化的思想。第三题

是思考题，目的是

提高学生的综合

运用的能力。教师

十一、拓展资源通过这样的形式

物理中的变化率检查学生的灵活

我们在物理中已经学习过：变化率是描述变化快慢变形能力.

的量

例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于

位移的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即

v=

加速度是用来衡量速度交化快慢的，加速度等于速

度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即

Av

a=——

At

而且，从物理中我们还知道，由物体的速度一时间图像，

可看出加速度的有关信息.如图所示，如果甲、乙两物

体的速度一时间图像都是直线，则由图中的信息可以看

出，At相等时，AvQAv乙，从而甲的速度变化更快，

即变化率更大，因此甲的加速度更大.

你注意到了吗？物理中的这

个变化率

与我们所说的函数的平均变

化率其实是一回事.

（二）平均变化率的应用

1、登山问题

如图，是一座山的剖面示意图：A是登山者的出发

问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表

示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示?

分析：1、选取平直山路AB放大研究

则这段山路越陡峭；

2、选取弯曲山路CD放大研究

方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD的陡峭程

度可用平均变化率西二比=包来表示。（图

%一%Ar

略）

结论：函数值变化量（Ay）与自变量变化量（Ax）的

比值包反映了山坡的陡峭程度。各段的”不同反映了

AxAx

山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的

平均变化量不同。当竺越大，说明山坡高度的平均变化

Ax

量越大，所以山坡就越陡；当包越小，说明山坡高度的

平均变化量小，所以山坡就越缓。所以，

包=/（G7K）一高度的平均变化成为度量山的陡峭

程度的量。

2、温度问题

某市2012年4月20日最高气温为33.4℃,而此

前的两天,4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃

和18.6C,短短两天时间，气温“陡增”14.8℃,闷热

中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我

们将该市2012年3月18日最高气温3.5℃与4月18日

最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为

15.1℃,甚至超过了14.8℃.而人们却不会发出上述感

叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后

表示气温，记函数T=g⑺表示温度随时间变化的函数,

那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？

分析：如图：1、选择该市2012年3月18日最高气温

3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行

比较，AZ=3O,AT=18.6-3.5=15.1°C,由

此可知里二0.5033；

△t

2、选择该市2012年4月18日最高气温

18.6°C与4月20日33.4°C进行比较，

Ar=2,AT=33.4-18.6=14.8℃,由此可知

ATr,

—«7.4

△t

结论：函数值的平均变化率竺反映了温度变化的剧烈

Ar

程度。

各段的竺不同反映了温度变化的剧烈程度不同，

Ar

也就是气温在这段时间内的平均变化量不同。当

竺越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温

△t

就越快；当竺越小，说明气温的平均变化量小，

Ar

所以升温就越缓。

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3.1.2函数的单调性(1)

学情分析

知识方面：在初中学生已经能通过一次、二次函数和反比例函数

的图像说出当自变量X在定义域中由小变大时，因变

量)，的变化趋势，对单调性有了直观的认识，但缺少

严格的定义.

能力方面：在第一章集合与常用逻辑用语中的学习中，学生学会

了用集合区间表示数集。理解含有存在、任意量词的命

题，会对有关命题判断对错。在第二章的学习中，学习

了做差比较大小，解不等式的方法。在第三章函数的学

例1.(1)求)，=厂在/到项)+心之间的平均变化率。

习中，已经对x与y的对应关系有了初步的认识。

解：当自变量从与变到/+©时，函数的平均变化率为

数学思想方面：通过前面的学习，学生已经会利用数形结合的，思

/(%+Ar)-f(x°)_(/+—芍=2%+Ar

想解题，对于特殊到一般，具体到抽象可:能认识不到位：°°

这节课需要加强。当Ac取定值，X。取不同数值时，该函数的平均变化

率也不一样。可以由图看出变化。

教学措施：在教学中引导学生从图像语言转化到自然语言再转化

到数学语言是关键.通过问题让学生理解关键词“任

意”，再通过例题进一步加深理解概念，为以后学习平

均变化率、导数打下基础.

总之，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研

究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各

种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用.本节

课是单调性的新授课，理解好单调性的概念，对于进一步探索、研究

函数的其他性质有很强的启发与示范作用.

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3.1.2函数的单调性（1）

效果分析

-：概念引入环节

通过复习函数定义，清楚x与y的对应关系，为以下的变化对应

关系打下基础。通过观察遗忘曲线，再到基础函数曲线特点，得到自

然语言描述进而得到符号语言定义，温故知新，由形到数，学生接

受水到渠成，效果不错。

二：深化概念环节

通过判断题的探究，理解“任意”的含义，加深概念的理解，清

楚函数/"(X)=L在整个定义域上是减函数的错因。通过反复强调，学

X

生大部分掌握。

三、定义证明环节

首先通过我板演例题，总结出步骤，然后学生动笔做题，强调步

骤，明确变形方向。对于简单形式，学生基本掌握。

四、单调性求最值环节

首先我从数、形两个角度说明最值的意义，然后让学生出题，答

题。学生积极参与，兴趣很高。

五、自我总结环节

通过每个环节我的小结引导，最后让学生画出每个人的思维导图,

梳理知识，清楚知识体系。有五个同学易错点没有写出来。

通过效果分析，我们不难发现，耐心研究学情，从学生的实际出

发，由浅入深，精心设计问题，引导学生发现、理解、运用概念，效

果是不错的。

附学生思维导图

:我♦与•我快乐

八、课堂小结自我提高

、旃*62

画出本节课的思维导图

名律颂如2间阳希翦？

vx,,y>,v>

步游闲同与嗓

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由节既

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依与拥傲.翻旗氯

直义机爨招滩词，敬好嗓

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我学习，我

八、课堂小结自我提高

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课后练习：

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3.1.2函数的单调性（1）

教材分析

一、本节内容在教材中地位

函数的单调性与最值指的是在初中的基础上对函数的单调性的

再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对抽

象函数单调性的定义理解，根据定义证明函数的单调性，理解单调区

间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。由于它还是初等

数学和高等数学衔接的枢纽，所以在本学科有不可替代的重要位置的

地位，是本学科的核心内容。本小节是函数性质之一单调性，揭示了

函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数

学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究

函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推

导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。

二、数学核心素养

1.数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述

2.逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递

减的现象；通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能

力和数形语言转化的能力。

3.数学运算：判断函数的单调性及证明

4.直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学

思想方法，培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

5.数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严

谨论证的良好习惯；通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣,

学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志,

建立学习数学的自信心。

三、教学重点

掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性，理解

单调区间以及理解函数最大(小)值的定义并掌握其求法。

四、教学难点

学生对抽象的定义很难理解，通过判断对错及>=,单调区间的加

X

深理解

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3.1.2函数的单调性(1)

作业设计(限时45分钟，满分100分)

设计者：

一、选择题(每题5分，共50分)L考查单调性的

1、下列说法正确的是()定义，体会单调性

A、函数f(x)=X?在(-8,+8)上为单调函是函数的局部性

数。质，理解定义中的

B、若f(x)在R上为增函数，则f(10)>f(1)o关键词。

C、定义在R上的函数f(x)满足f(10)>f(1),2体会单调区间

则f(x)在R上为增函数。不能简单合并的

D、f(x)='在它的定义域上是减函数原因，了解简单函

X

2、.下列命题正确的是()数的单调性，并且

A.函数y=f(x)在区间(1,2］和⑵3)上均为增函体会简单的分类

数,则该函数在区间(1,3)上是增函数。讨论思想。

B.函数丫=仪外在区间(1,2］和［2,3)上均为增函

数,则该函数在区间(1,3)上是增函数

C.函数y=x2和y=|x|的单调性相同

D.y=ax+l(a#0)是单调递增函数3.4、5考查了一

3.在(-8,0)上是减函数的是()些简单函数的单

A.y=l-x2B.y=--C.y=x-lD.y=—调性

XX

4.在区间(0,+8)上是增函数的是()

A.y=-2x+lB.y=-3x2+lC.y=—D.

X

y=2x2+l

5、设函数/(x)=(2a-l)x+Z?在R上是减函数，则有

(

A.a>—B.a<—C.a.>——6、考查了一次，

222

D.a<—二次，反比例函数

2

6、已知函数/(x)=ax和g(x)=2在(O,+8)上都是减的单调性

X

函数，贝!J/z(x)=必2+0x+c在(一oo,0)上()7、单调性的定义

(A)是增函数(B)是减函数简单应用

(C)既不是增函数也不是减函数

(£))〃(x)的单调性不能确定

7.已知函数/⑶在R上是递减函数，a,beR且

a+b«O,则有()

A.f(a)+f(b)<0

B.f(a)+f(b)>0

C.f(a)+f(h)<f(-a)+f(-b)

D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)8、考查了利用单

8、函数/(x)在定义域［-3,4］内是增函数，且有调性解函数不等

f(2m-1)-/(I-m)>0,则m的取值范围是式

()

7„7

A.m>—B.m<-

33

c25「，2

C.—<m<—D.—1<m—

323

9、f(x)在区间上是单调递增，在区间9、考查了利用单

［2,5］上是单调递减，判断下列说法正确的是调性求最值

(1)f(0)<f(2)(2)f(3)>f(2)

(3)f(x)在区间［-1,5］上有最大值，而且f(2)

是最大值

(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定

(5)f(x)在区间上有最小值而且f(5)是最

小值

10,会根据y的范

10、f(x)=-x-l的定义域是D,值域是［-6,2］,求围求X的范围

D==_11、考查用定义求

二、解答题(共50分)单调性，注意步

骤的严谨

112、对于含有参数

11、判断函数》一》-1的单调性。(12分)

的函数的单调性

12、讨论函数/Xx)=x+q(a>0)的单调性.(12的判断，是在例题

X

分)的基础上的深入

13、知道单调性求

参数的范围，是在

13(-2,+8)

、函数/•(》)=丝聚在区间上是增函数，12题的基础上进

%+2

求4的取值范围。(13分)行的

14、已知函数y=/(x)是定义在(0,.)上的增函数，

满足"2)=1,且对任意正实数x,y都有14、考查了抽象函

/⑶)=/(%)+/(y)•数的函数不等式

求不等式/(%)-/0-3)>2的解集.(13分)问题，初步涉入了

赋值的思想。

附：答案详解

12345678910

(1)(3)

BBDDDADC【-3,5】

(4)(5)

11、/(X)的定义域为(-0O,l)U(l,+8)，在(1,+8)上任取演<，

11

f(x)_f(x\=_J______!_=(M-D---1)=.一二

x2-lx,-l(x2-l)(x,-l)(x2-l)(x,-1)

因为(X|—1)(^2—1)>0,尤1—%2<°，

所为'(尤)在(1,+8)递减，

同理可证，在(-00,1)上递减。

所以f(X)在(-8,1)和(1,+00)上递减。

12.先讨论了(X)在(0,长0)上的单调性，设项>工2>。，则/(X)-/a2)=(玉+乌)

—(x2+—)=(%一々)(1———)・•・・当X]>%>&时，0<<1'

x2XxX2~XxX2

且当一》2>0，/(X,)-/(x2)>0>故/(X)在(6,+00)

上是增函数；

同理：f(x)在［-G,+oo)上也是增函数，在［-疝0),(0,词上是减函数.

13、

在(-2,+功上，任取<%,/(尤2)-/(%)=-竺与

x2+2%+2

_(ax24-l)(x+2)—+l)(x2+2)

(x2+2)(%+2)

2a(x2_%)

(x2+2)(X]+2)

因为y(x)是增函数，所以/(工2)-/&)>o,

因为，上面各式都大于o,所以。>0

14.令X=y=2,贝！J/(4)=/(2x2)=2/(2)=2xl=2;

由/(x)-f(x-3)>2,y(4)=2得f(x)>f(x-3)+/(4)，所以/(x)>

x>0x>0

/(4U-3)).又/(x)在(0,同上是增函数，所以—3>0即卜>3所以

x>4(%-3)x<4

3<X<4即不等式解集为{x［3<x<4}

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3.L2函数的单调性（1）

课后反思

从课堂回答问题和自习检测的情况来看，学生基本掌握了本节

课的内容，达到了预期的教学效