2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=3−2i，则z的实部与虚部的和为(

)A.−1 B.1 C.5 D.−52.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“cos2A>cos2B”是“a<b”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a，b满足a⋅b=10，且b=(4,−3)，则a在bA.(8,−6) B.(−8,6) C.(−85,4.在复平面内，复数z=|3+4i|7−i对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进24.4米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么碧津塔高约为(3≈1.7,

A.37.54 B.38.23 C.39.53 D.40.526.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba+c+ca+b≥1，则角A.(0,π6] B.[π6,7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：eix=cosx+isinx，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是(

)A.eπi=1

B.|eπ2i−eθi|(θ∈R)的最大值为2

C.复数eπ4i在复平面内对应的点位于第二象限

8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosBb+cosCc=23A.(32,3] B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有(

)A.z1+z2−=z1−+z210.对任意两个非零向量a，b，定义新运算：a⋅b=|a|sin〈a,b〉|b|.已知非零向量m，n满足|A.2 B.114 C.3 D.11.在△ABC中，D，E为线段BC上的两点，且BD=DE=EC=1，下列结论正确的是(

)A.AB⋅AC≥AD⋅AE

B.若AB2+AD2=AE2+AC2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=8，b=6，c=4，则中线AD的长为______．13.已知z是虚数z+4z是实数，z−是虚数z的共轭复数，则(14.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosA+b+2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

计算：

(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+16.(本小题15分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=π2，AC=3，BC=2，P是△ABC内的一点．

(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；

(2)若∠BPC=2π3，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S(θ)17.(本小题15分)

如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得AD=22BC，测得∠BAD=30°，∠BCD=45°，∠ADC=120°．

(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD=102km，CD=20km，求A，C两点间距离；

18.(本小题17分)

在平面四边形ABCD中，点B，D在直线AC的两侧，AB=3，BC=5，四个内角分别用A，B，C，D表示，cosB=−cosD=35．

(1)求∠BAC；

(2)求△ABD与△ACD19.(本小题17分)

在Rt△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosAa=cosB+cosCb+c．

(1)求角A；

(2)已知c≠2b,a=23,P,Q是边AC上的两个动点(P,Q不重合)，记∠PBQ=θ．

①当θ=π6时，设△PBQ的面积为S，求S的最小值；

②记∠BPQ=α，∠BQP=β.问：是否存在实常数θ和k，对于所有满足题意的α，β参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.AC

10.BC

11.BCD

12.1013.−6514.(0,3−215.解：(1)(4−i5)(6+2i7)+(7+i11)(4−3i)

16.解(1)∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，

∴∠PCB=π4，PC=2，

又∵∠ACB=π2，

∴∠ACP=π4，

∵在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2−2AC⋅PCcosπ4=5，

∴PA=5．

(2)在△PBC中，∠BPC=2π3，∠PCB=θ，

∴∠PBC=π3−θ，由正弦定理得2sin2π3=PBsin17.解：(1)在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠CBD=BDsin∠BCD，

即20sin∠CBD=102sin45°，

解得sin∠CBD=1，

所以∠CBD=90°，

则△BCD为等腰直角三角形，

所以BC=102，

则AD=22BC=40，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD×CDcos∠ADC=1600+400−2×40×20×(−12)=2800，

故AC=207，

故A，C两点间距离为207km；

(2)设∠BDC=θ，则由题意可知，∠ADB=120°−θ，18.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos∠ABC，

∵AB=3，BC=5，cosB=35，

∴AC2=32+52−2×3×5×35=16，即AC=4，

∴BC2=AC2+AB2，

∴∠BAC=π2；

(2)设∠ABD=θ，θ∈(0,B)，

∵cosB=−cosD=35，∴B+D=π，

∴A，B，C，D四点共圆，且BC为该圆的直径，

∴∠BDC=∠BAC=π2，∠ACD=∠ABD=θ，

∴S△ABD=12BA⋅BD⋅sinθ=32BD⋅sinθ，S19.解：(1)因为cosAa=cosB+cosCb+c，由正弦定理可得：cosAsinA=cosB+cosCsinB+sinC，

即sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，

整理可得：sinAcosB−cosAsinB=cosAsinC−sinAcosC，即sin(A−B)=sin(C−A)，

因为0<A,B≤π2，则A−B∈[−π2,π2],C−A∈[−π2,π2]，

故A−B=C−A，即2A=B+C，又A+B+C=π，

所以A=π3；

(2)①因为c≠2b，所以B=π2，又A=π3,a=23，所以c