浙江省杭州市滨江区2023-2024学年下学期期末考试七年级数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区七年级（下）期末数学试卷一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查的是（）A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解某市初中学生是否知道父母的生日 C．企业招聘，对应聘人员进行面试 D．考察人们保护海洋的意识2．（3分）下列各式中，属于二元一次方程的是（）A．x2+y＝0 B．x＝+1 C． D．y+3．（3分）图中∠1与∠2为内错角的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）4＝a6 B．a•a3＝a4 C．2a﹣a＝2 D．a6÷a2＝a35．（3分）若是二元一次方程ax+by＝2的一个解，则2a﹣b﹣1的值是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠27．（3分）若x﹣y＝4，x+y＝6，则xy＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．68．（3分）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多10%，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（）A． B． C． D．9．（3分）将长方形EHGF纸片按图所示方式进行折叠，且满足DF∥CG．若∠ABC增大10°，则∠BAD（）A．增大10° B．减少10° C．不变 D．增大5°10．（3分）对于实数a，b，定义一种运算：a&b＝a+b+ab．①a&b＝b&a；②当a&a2＝1&a时，则a＝1．上述结论正确的是（）A．①②都正确 B．①错误②正确 C．①正确②错误 D．①②都错误二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）计算：＝．12．（3分）一个容量为50的样本，该样本的数据分别落在4个组内，若第1，2，3组数据的频率分别是0.1，0.3，0.4，则第4组的频数为．13．（3分）1纳米＝10﹣9米，1微米＝0.001毫米，则1纳米＝微米（用科学记数法表述）．14．（3分）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝时，有最小值是．15．（3分）如图，点C在线段AB上，分别以AB和AC为边，在线段AB同侧作正方形ABDE、正方形ACFG，连结BG．若两正方形面积和为40，三角形ABG面积为6，则BC＝．16．（3分）已知，．（1）若t＝2k＝2，则c与a的等量关系是．（2）若c﹣2a＝3t，则＝.（用含k，t的代数式表示）三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）计算：（1）（18m3﹣6m2）÷（﹣6m）；（2）（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）；（3）（x﹣）÷．18．（10分）分解因式：（1）5﹣20x2；（2）﹣x2+4xy﹣4y2；（3）16x4﹣8x2y2+y4．19．（10分）解下列方程（组）：（1）；（2）；（3）．20．（6分）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：根据该图所给的信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中80～90分所对应的圆心角的度数．（2）若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．21．（8分）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用14.4万元购进这两款跑步机共20台．（1）该商店购进A款和B款跑步机各多少台？（2）若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？22．（8分）如图，AB∥CD，点E，P，F分别在AB，AC，CD上，连结EP，PF，且满足EP⊥PF．（1）若∠A＝126°，求∠ACF的度数．（2）若∠AEP＝m度，∠PFD＝n度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）【综合与实践】制作靠垫面子．材料准备：两块完全相同的长方形布料（a＞2b），其它若干布料．【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．24．（10分）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn，等．（1）代数式①m﹣n，②m2+n2，③，④（m﹣n）2中，是对称式的有．（2）若关于m，n的代数式（k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值．（3）在（2）的条件下，若，当mn＝﹣1时，求（m﹣n）2的值．

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查的是（）A．了解一批圆珠笔的使用寿命 B．了解某市初中学生是否知道父母的生日 C．企业招聘，对应聘人员进行面试 D．考察人们保护海洋的意识【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、了解一批圆珠笔的使用寿命，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；B、了解某市初中学生是否知道父母的生日，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；C、企业招聘，对应聘人员进行面试，适宜采用全面调查，故C符合题意；D、考察人们保护海洋的意识，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；故选：C．2．（3分）下列各式中，属于二元一次方程的是（）A．x2+y＝0 B．x＝+1 C． D．y+【分析】二元一次方程满足的条件是：只含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程．【解答】解：A、该方程不是二元一次方程，因为其未知数的项的最高次数为2，故本选项错误；B、该方程不是整式方程，故本选项错误；C、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；D、它不是方程，故本选项错误．故选：C．3．（3分）图中∠1与∠2为内错角的是（）A． B． C． D．【分析】根据内错角的定义，解析解答．【解答】解：根据内错角的定义，C中的∠1和∠2是内错角，故选：C．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．（a2）4＝a6 B．a•a3＝a4 C．2a﹣a＝2 D．a6÷a2＝a3【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，合并同类项，即可解答．【解答】解：A、（a2）4＝a8，故错误，不符合题意；B、a•a3＝a4，故正确，符合题意；C、2a﹣a＝a，故错误，不符合题意；D、a6÷a2＝a4，故错误，不符合题意．故选：B．5．（3分）若是二元一次方程ax+by＝2的一个解，则2a﹣b﹣1的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】将x与y的值代入原方程，得到4a﹣2b＝4，再代入2a﹣b﹣1计算即可求出答案．【解答】解：由题意得：4a﹣2b＝2，即2a﹣b＝1，∴2a﹣b﹣1＝1﹣1＝0，故选：A．6．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2【分析】根据分式有意义的条件可得（x+1）（x﹣2）≠0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣2）≠0，解得：x≠﹣1且x≠2，故选：D．7．（3分）若x﹣y＝4，x+y＝6，则xy＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【分析】利用完全平方公式计算即可．【解答】解：∵x﹣y＝4，x+y＝6，∴xy＝[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝×（62﹣42）＝×20＝5，故选：C．8．（3分）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多10%，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（）A． B． C． D．【分析】根据“提前2天完成任务”即可列出方程．【解答】解：设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树（1+10%）x万棵，根据题意得：＝2．故选：A．9．（3分）将长方形EHGF纸片按图所示方式进行折叠，且满足DF∥CG．若∠ABC增大10°，则∠BAD（）A．增大10° B．减少10° C．不变 D．增大5°【分析】根据折叠的性质得，∠MDA＝∠FDA，∠NCB＝∠GCB，进而根据平行线的性质求出∠MDA＝∠BAD＝∠FDA，∠NCB＝∠ABC＝∠GCB，根据邻补角定义求出∠CDF＝180°﹣2∠BAD，再根据平行线的性质求出∠ABC+∠BAD＝90°，据此求解即可．【解答】解：如图，M、N是直线CD上的两点，根据折叠的性质得，∠MDA＝∠FDA，∠NCB＝∠GCB，∵MN∥AB，∴∠MDA＝∠BAD＝∠FDA，∠NCB＝∠ABC＝∠GCB，∴∠MDF＝2∠BAD，∠NCG＝2∠ABC，∴∠CDF＝180°﹣∠MDF＝180°﹣2∠BAD，∵DF∥CG，∴∠CDF＝∠NCG，∴180°﹣2∠BAD＝2∠ABC，∴∠ABC+∠BAD＝90°，∴若∠ABC增大10°，则∠BAD减少10°，故选：B．10．（3分）对于实数a，b，定义一种运算：a&b＝a+b+ab．①a&b＝b&a；②当a&a2＝1&a时，则a＝1．上述结论正确的是（）A．①②都正确 B．①错误②正确 C．①正确②错误 D．①②都错误【分析】根据定义的新运算列式并判断即可．【解答】解：a&b＝a+b+ab，b&a＝a+b+ab，则a&b＝b&a，那么①正确；a&a2＝1&a时，即a+a2+a3＝1+a+a，整理得：a2+a3＝1+a，a2（1+a）＝1+a，则a＝±1，那么②错误；故选：C．二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分。11．（3分）计算：＝﹣．【分析】根据分式的除法法则计算即可．【解答】解：ab÷（﹣）＝ab•（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．12．（3分）一个容量为50的样本，该样本的数据分别落在4个组内，若第1，2，3组数据的频率分别是0.1，0.3，0.4，则第4组的频数为10．【分析】先求出第四组数据的频率，然后根据频数＝总次数×频率，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：第4组数据的频率＝1﹣0.1﹣0.3﹣0.4＝0.2，∴第4组的频数＝50×0.2＝10，故答案为：10．13．（3分）1纳米＝10﹣9米，1微米＝0.001毫米，则1纳米＝1×10﹣3微米（用科学记数法表述）．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：1纳米＝10﹣9米＝10﹣9×103毫米＝10﹣6毫米＝1×10﹣6×103微米＝1×10﹣3微米．故答案为：1×10﹣3．14．（3分）利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝﹣时，有最小值是﹣．【分析】将多项式配成完全平方的形式，然后令平方项为0，求最值即可．【解答】解：x2+3x+2＝（x2+x）+2＝[x2+3x+（）2﹣（）2）+2＝（x+）2﹣．∴当x＝﹣时，x2+3x+2有最小值﹣．故答案为：﹣，﹣．15．（3分）如图，点C在线段AB上，分别以AB和AC为边，在线段AB同侧作正方形ABDE、正方形ACFG，连结BG．若两正方形面积和为40，三角形ABG面积为6，则BC＝5．【分析】根据角形ABG面积为6求出（AG+AB）2＝8，再根据题意解答即可．【解答】解：∵正方形ABDE、正方形ACFG面积和为40，∴AG2+AB2＝40＝BG2，∵三角形ABG面积为6，∴，∴2AB•AG＝24，∴AG2+AB2+2AG•AB＝64，∴（AG+AB）2＝8，设AG＝x，则AB＝8﹣x，在Rt△ABG中，AG2+AB2＝BG2，∴x2+（8﹣x）2＝40，解得x＝，∴AB＝8，∵BC＝AB﹣AC＝AB﹣AG＝＝5，故答案为：5．16．（3分）已知，．（1）若t＝2k＝2，则c与a的等量关系是c＝4a．（2）若c﹣2a＝3t，则＝4k+t.（用含k，t的代数式表示）【分析】（1）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案；（2）根据题意列得等式，然后利用等式的性质即可求得答案．【解答】解：（1）已知a+b＝k，b+c＝t，∵t＝2k＝2，∴k＝1，∴a+b＝1，b+c＝2，∴b＝2﹣2a，b＝2﹣c，则2a＝c，那么c＝4a，故答案为：c＝4a；（2）已知a+b＝k，b+c＝t，则2a＝2k﹣b，c＝2t﹣2b，∵c﹣2a＝3t，∴2t﹣2b﹣2k+b＝3t，∴b＝﹣2k﹣t，则a+c＝（2a+c）＝（2k﹣b+2t﹣2b）＝（2k+2t﹣3b）＝[2k+2t﹣3（﹣2k﹣t）]＝（2k+2t+6k+3t）＝（8k+5t）＝4k+t，故答案为：4k+t．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）计算：（1）（18m3﹣6m2）÷（﹣6m）；（2）（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）；（3）（x﹣）÷．【分析】（1）根据多项式除以单项式的方法计算即可；（2）根据完全平方公式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（3）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后分解因式，再约分即可．【解答】解：（1）（18m3﹣6m2）÷（﹣6m）＝18m3÷（﹣6m）﹣6m2÷（﹣6m）＝﹣3m2+m；（2）（x﹣1）2﹣（x+3）（x﹣3）＝x2﹣2x+1﹣x2+9＝﹣2x+10；（3）（x﹣）÷＝•＝•＝．18．（10分）分解因式：（1）5﹣20x2；（2）﹣x2+4xy﹣4y2；（3）16x4﹣8x2y2+y4．【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；（3）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式＝5（1﹣4x2）＝5（1+2x）（1﹣2x）；（2）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2；（3）原式＝（4x2﹣y2）2＝[（2x+y）（2x﹣y）]2＝（2x+y）2（2x﹣y）2．19．（10分）解下列方程（组）：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）用代入消元法进行计算即可；（2）将2x＝3y﹣1整体代入方程②求出y的值，再代入求出x的值即可；（3）去分母将分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．【解答】解：（1），②代入①得，2y﹣3（y﹣1）＝1，解得y＝2，把y＝2代入②得，2×2﹣3x＝1，解得x＝1，所以方程组的解为；（2），①代入②得，4y＝3y﹣1+1，解得y＝0，把y＝0代入①得，2x＝﹣1，解得x＝﹣，所以方程组的解为；（3）两边都乘以（x﹣2）得，1﹣2（x﹣2）＝1﹣x，解得x＝4，经检验x＝2是原方程的增根，所以原方程无解．20．（6分）某校为了解学生对人工智能相关知识的掌握情况，从全校600名学生中随机抽取部分学生进行“人工智能知识”竞赛，并对此竞赛成绩进行统计，绘制成如下不完整的直方图和扇形统计图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：根据该图所给的信息，解答下列问题：（1）求扇形统计图中80～90分所对应的圆心角的度数．（2）若80分及以上为优秀，试估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数．【分析】（1）用条形统计图中成绩为70～80分的人数除以扇形统计图中70～80的百分比可得抽取的学生人数，进而可得成绩为80～90分的人数，用360°乘以成绩为80～90分的人数所占的百分比即可得出答案．（2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中成绩为80～90分以及90～100分的学生人数所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）抽取的学生人数为60÷30%＝200（人），∴成绩为80～90分的人数为200﹣20﹣60﹣40＝80（人），∴扇形统计图中80～90分所对应的圆心角的度数为360°×＝144°．（2）600×＝360（人）．∴估计该校“人工智能知识”竞赛成绩优秀学生的人数约360人．21．（8分）某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A款，B款跑步机，该商店用14.4万元购进这两款跑步机共20台．（1）该商店购进A款和B款跑步机各多少台？（2）若A款和B款跑步机的售价分别为10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问打折前售出A，B两款跑步机各多少台？【分析】（1）根据该商店用14.4万元购进这两款跑步机共20台，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的二元一次方程，再根据所设未知数均为整数，即可求得打折前售出A，B两款跑步机各多少台．【解答】解：（1）设该商店购进A款跑步机x台，则购进B款跑步机（20﹣x）台，由题意可得：8000x+6000（20﹣x）＝144000，解得x＝12，∴20﹣x＝8，答：该商店购进A款跑步机12台，则购进B款跑步机8台；（2）打折前A款跑步机售出a台，B款跑步机售出b台，由题意可得：（10000﹣8000）a+（10000×0.8﹣8000）（12﹣a）+（8500﹣6000）b+（8500×0.8﹣6000）（8﹣b）＝28900，化简，得：20a+17b＝225，∵a、b均为正整数，解得a＝7，b＝5，答：打折前A款跑步机售出7台，B款跑步机售出5台．22．（8分）如图，AB∥CD，点E，P，F分别在AB，AC，CD上，连结EP，PF，且满足EP⊥PF．（1）若∠A＝126°，求∠ACF的度数．（2）若∠AEP＝m度，∠PFD＝n度，探索m，n之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线当性质推出∠A+∠ACF＝180°，即可求出∠ACF＝54°．（2）延长EP交CD反向延长线于K，由平行线的性质推出∠PKC＝∠AEP＝m°，由垂直的定义得到∠FPK＝90°，由三角形外角的性质得到n﹣m＝90．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACF＝180°，∵∠A＝126°，∴∠ACF＝54°．（2）n﹣m＝90，理由如下：延长EP交CD反向延长线于K，∵AB∥CD，∴∠PKC＝∠AEP＝m°，∵EP⊥PF，∴∠FPK＝90°，∵∠PFD﹣∠PKC＝∠FPK，∴n﹣m＝90．23．（8分）【综合与实践】制作靠垫面子．材料准备：两块完全相同的长方形布料（a＞2b），其它若干布料．【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方