2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件新人教A届选择性必修第一册

1．1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算素养目标•定方向

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点)2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点)4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)

1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养．2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养．3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养.必备知识•探新知

空间向量的夹角知识点1∠AOB2．夹角的范围同向共线π垂直a⊥b思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎样的关系？提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，π空间向量的数量积知识点2定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝_____________________规定：零向量与任何向量的数量积都为0性质①a⊥b⇔______________②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R②a·b＝b·a(交换律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)?提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．4向量a的投影知识点31.向量a向向量b的投影如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝_______________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．向量a向平面β投影做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．(

)(2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．(

)(3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成的角为〈a，c〉．(

)×√√关键能力•攻重难1．(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(

)题型探究题型一求空间向量的数量积DA[规律方法]

求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入公式a·b＝|a||b|cos

a，b

求解．(1)已知a和b是相互垂直的单位向量，m＝4a－3b，n＝2a＋5b，则m·n＝(

)A．－7

B．7C．－21

D．9对点训练❶A－10题型二利用数量积证明空间中的垂直关系2．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．证明：EF⊥BC.[规律方法]

用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．

如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.对点训练❷题型三利用空间向量的数量积的性质求模长3．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．[规律方法]

求两点间距离的方法(1)取以两点为起点和终点的向量；(2)用已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．

如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．对点训练❸易错警示课堂检测•固双基1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(

)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[解析]

当a⊥b时，a·b＝0，A错误；B正确；由a2＝b2得a2－b2＝0，即a＋b＝0或a－b＝0或(