2024届高考数学学业水平测试复习专题三第13讲函数与方程课件

专题三函数的概念与基本初等函数Ⅰ第13讲函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系分类Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210(2)函数f(x)＝|x|－1的零点的个数，就是y＝|x|与直线y＝1交点的个数，结合图形可得函数f(x)＝|x|－1的零点的个数是2.故选C.答案：(1)C

(2)C剖析：(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．2．函数零点的应用(1)若函数f(x)＝2x＋x3＋a的零点所在的区间为(0，1)，则实数a的取值范围是(

)A．[－3，－1] B．[－2，－1]C．(－3，－1) D．(－2，－1)(2)(2023·广东模拟)函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间为(

)A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)(2)由题意得：f(x)定义域为(0，＋∞)，且在定义域上为增函数，故至多一个零点，f(1)＝－1<0；f(2)＝ln2>0；所以f(1)·f(2)<0，f(x)零点所在区间为(1，2)．故选C.答案：(1)C

(2)C剖析：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．3．二次函数的零点问题(1)已知函数f(x)在区间[－2，2]上有定义，则“f(x)在区间[－2，2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2023·广东模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则实数a的取值范围是________．答案：(1)D

(2)(－2，0)剖析：解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式．(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以是(

)A．1.25 B．1.39C．1.41 D．1.5C

由表中数据可得f(1.40625)·f(1.4375)＜0，根据零点的存在性定理可知，零点在区间(1.40625，1.4375)内，观察四个选项，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.41.故选C.3．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

)A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)

B因为f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，所以f(1)·f(2)<0，因为函数f(x)＝lnx＋x－2的图象在(0，＋∞)上是连续的，且为增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)．故选B.C

因为函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，所以g(x)＝f(x)－m＝0有三个实根，即直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个交点．作出函数y＝f(x)图象，由图可知，实数m的取值范围是(0，1)．故选C.6．设k为实数，函数f(x)＝2x＋x2－k在[0，1]上有零点，则实数k的取值范围为________．答案：[1，3]8