河南省郑州市惠济区2021-2022学年八下期末考试数学试题（解析版）

2021—2022学年下学期期末考试八年级数学一、选择题1.习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道，下列有关环保的四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.2.若，则下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，可得答案．【详解】解：A、当c=0时，不正确，故此选项符合题意；B、不等式两边同时加-c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；C、因为-c2-1＜0，所以原变形正确，故此选项不符合题意；D、不等式两边同时加c，不等号方向不变，正确，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3.下列命题的逆命题是真命题的是（）A.如果，则 B.对顶角相等 C.平行四边形一组对边相等 D.等边三角形的三个内角都相等【答案】D【解析】【分析】先写出逆命题，再根据对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识逐项判定即可．【详解】解：A、逆命题为：如果a＞b，则＞1，为假命题，例如当a=1，b=0时就不成立，不符合题意；

B、逆命题为：相等的角为对顶角，为假命题，不符合题意；

C、逆命题为：一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，为假命题，不符合题意；

D、逆命题为：三个角相等的三角形为等边三角形，为真命题，符合题意；

故选：D．【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，不等式的基本性质等知识是解答此题的关键．4.阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得不等式，解之即可．【详解】解：根据题意可得：，解得：x＜-12，故选：C．【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是理解题意，得出不等式．5.如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（）A.18 B.30 C.54 D.27【答案】D【解析】【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得ID=IE=IF，再根据三角形面积计算即可得解．【详解】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，∴ID=IE，ID=IF，∴ID=IE=IF=3，∵△ABC的周长为18，∴△ABC的面积=（AB+BC+AC）×3=×18×3=27．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．6.若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形从一个顶点可以作（）条对角线．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n-2）×180=360，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．【详解】解：设这个多边形有n条边，由题意得：（n-2）×180=360，解得：n=5，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是5-3=2，故选：A．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的内角和公式．7.如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、，周长为20，面积为16，请计算的值为（）A.96 B.480 C.320 D.160【答案】A【解析】【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a-b的值，对多项式进行因式分解，整体代入求值即可．【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，∴2（a+b）=20，ab=16，∴a+b=10，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，∵a＞b，∴a-b=6，∴原式=ab（a-b）=16×6=96．故选：A．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，掌握（a-b）2=（a+b）2-4ab是解题的关键．8.一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°角的直角三角板长直角边重合于AC，，，点N在边CD上运动，点在边BC上运动，连接，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是2cm，则最长的斜边CD的长为（）cmA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接AM，根据三角形中位线定理求出AM，根据题意求出AB，解直角三角形得到答案．【详解】解：连接AM，∵点E和F分别为MN和AN边的中点，∴AM=2EF，∵EF的最小值是2cm，∴AM的最小值是4cm，由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，∴AB=4cm，∴AC=AB=cm，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，则CD==，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．9.如图所示，一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数，y随x的增大而减小；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是．其中正确的是（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小问中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，a＞0，则-a＜0，对于函数y=-ax来说，y随x的增大而减小，故①正确；d＞0，则-d＜0，则函数y=ax-d经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故②错误；由ax-d≥cx-b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax-d≥cx-b的解集是x≥4，故③正确；故选：B．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．【详解】解：过点D作DE⊥BC，∵平行四边形ABCD中，AD=DC，∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，∴AD=a，即菱形的边长是a，∴a•DE＝2a，即DE=4．当点PDB上运动时，y逐渐减小，∴DB=5，∴BE=，在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，∴a2=42+（a-3）2，解得a=，故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．二、填空题11.写出一个含有字母x的分式（要求：不论x取任何实数，该分式都有意义）_______．【答案】．【解析】【分析】写出的分式使分母不等于0恒成立即可得出答案．【详解】解：按照题意：可以写分式，因为x2≥0，∴x2+1＞0恒成立，故不论x取任何实数，该分式都有意义故答案：．【点睛】本题主要考查了分式以及有意义，熟练分母不等于0是解决本题的关键．12.请写出一个多项式，并把它进行因式分解．（要求第一步先提公因式，第二步能运用公式分解因式）请写出该多项式及分解结果_______________________．【答案】2x2-8=2（x+2）（x-2）（答案不唯一）【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）即可得出答案．【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式可以是x2-4=（x+2）（x-2），能提取公因式可以是2x2-8=2（x+2）（x-2），故答案为：2x2-8=2（x+2）（x-2）（答案不唯一）．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法和运用公式法，掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．13.已知：中，，求证：.下面给出运用反证法证明的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立.∴③假设在中，④由，得，即这四个步骤正确顺序应是______.【答案】③④①②.【解析】【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【详解】由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中,AB=AC,求证：∠B<90°”.用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B⩾90°；(2)那么,由AB=AC,得∠B=∠C⩾90°,即∠B+∠C⩾180°(3)所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；(4)所以∠B<90°；原题正确顺序为：③④①②.【点睛】此题考查反证法与放缩法，解题关键在于掌握证明步骤.14.如图是y关于x的完整函数图像，请你根据所学函数知识，观察函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围是_______．【答案】-1＜x＜1或x＞2【解析】【分析】根据函数图象位于x轴下方部分可确定此题结果．【详解】解：由题意得，此函数图象位于x轴下方部分时-1＜x＜1或x＞2，故答案为：-1＜x＜1或x＞2．【点睛】此题考查了从函数图象中获取相关信息的能力，关键是能理解相关知识，并能准确读图．15.如图，，点C，D在射线OA上，且，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ长的最小值为________．【答案】【解析】【分析】取OD的中点E，连接EQ，依据三角形中位线定理即可得到EQ∥OP，进而得出∠CEQ=∠AOB=60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动；再根据当∠CQE=90°时，CQ⊥EQ，可得CQ最短；最后根据CE的长即可得到CQ的长．【详解】解：如图所示，取OD的中点E，连接EQ，又∵Q是DP的中点，∴EQ是△DOP的中位线，∴EQ∥OP，∴∠CEQ=∠AOB=60°，即点Q在过点E且平行于OB的直线上运动，如图，当∠CQE=90°时，CQ⊥EQ，依据垂线段最短可知，此时CQ最短，∵OC=6，CD=2，E是OD的中点，∴CE=OC-OE=6-OD=6-4=2，∴EQ=CE=1，∴CQ=，故答案为：．

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及垂线段最短的运用，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边．取OD的中点E，构造中位线EQ，得到点Q在过点E且平行于OB的直线上运动是解题的关键．三、解答题16.（1）请用简便方法计算：；（2）先化简，再求值：其中．【答案】（1）1；（2），【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算，进而得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则化简，进而代入已知数据求出答案．【详解】解：（1）20222-4044×2021+20212=（2022-2021）2=1；（2）原式===，当时，原式==．【点睛】此题主要考查了实数的运算以及分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．（1）直接写出点B关于原点对称的点的坐标：_______；（2）直接写出的面积：________；（3）平移，使平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后的；（4）画出绕原点О逆时针旋转90°后得到的．【答案】（1）（4，-1）（2）（3）见解析（4）见解析【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；（2）用△ABC所在的长方形的面积减去周围其他三角形面积即可；（3）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；（4）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．【小问1详解】解：点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，-1），故答案为：（4，-1）；【小问2详解】△ABC的面积==；【小问3详解】如图所示，△A1B1C1即为所求．【小问4详解】如图所示，△A2B2C2即为所求．【点睛】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．18.如图，在中，，请根据要求完成以下任务：（1）利用直尺与圆规，作线段BC的垂直平分线DE交于点D、E，连接CD；（2）利用直尺与圆规，作的角平分线BF交CD于点F；（3）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）40.5°【解析】【分析】（1）（2）根据要求作出图形即可；（3）证明CA=CD，推出∠ADC=54°，由DB=DC，推出∠DBC=∠DCB=27°，再求出∠FBC，利用三角形外角的性质，可得结论．【小问1详解】解：如图，直线CD，线段CD即为所求；【小问2详解】如图，射线BF即为所求；【小问3详解】∵DE垂直平分线段BC，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵AC=DB，∴CA=CD，∴∠A=∠CDA=54°，∵∠ADC=∠DBC+∠DCB，∴∠DBC=∠DCB=27°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=∠DBC=13.5°，∴∠DFB=∠FBC+∠DCB=13.5°+27°=40.5°．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．19.如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求线段的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．【小问1详解】解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AF=EC，又∵AF∥EC，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AE=AF，∴四边形AFCE为菱形．【小问2详解】如图，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，∴AG=GB=6．∵四边形AFCE为平行四边形，∴AE∥FC．∴∠AEB=∠FCE=60°．∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，∴GE==，∴BE=BG+GE=，∴D′F=．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．20.为做好新冠肺炎的防控工作，某中学决定购买A，B两种防疫物资．已知防疫物资A比防疫物资B每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买物资A，其余资金全部用于购买物资B，且购买物资B的数量是物资A数量的3倍．（1）求A，B两种防疫物资的单价是多少元；（2）学校去购买防疫物资时，为协助学校更好地做好防疫工作，防疫部门决定对A，B两种防疫物资均按原价八折销售给学校，若学校决定购买A，B两种防疫物资共100件，在不超过预算资金的情况下，求最多可以购买A种防疫物资的数量是多少．【答案】（1）A奖品的单价为40元，B奖品的单价为15元（2）25件【解析】【分析】（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x-25）元，根据预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．列出方程，解之即可；（2）设购买A种奖品的数量为m件，根据不超过预算资金列出一元一次不等式，解不等式即可．【小问1详解】解：设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x-25）元，由题意得：，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，则x-25=15，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；【小问2详解】设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100-m）件，由题意得：40×0.8m+15×0.8（100-m）≤1700，解得：m≤25，∵m为正整数，∴m的最大值为25，∴最多可以购买A种防疫物资的数量是25件．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．21.已知．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了?请按照以下要求尝试做探究．（1）举例：比较大小：______；（2）当所加的这个数为1时，请通过计算说明你的结论；（3）当所加的这个数为时，你能得到什么结论？请说明理由．【答案】（1）＜（2）增大了，理由见解析（3）增大了，理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用作差法求解；（2）利用作差法计算，即可判断；（3）利用作差法计算，即可判断．【小问1详解】解：∵，∴，故答案为：＜．【小问2详解】增大了，理由：∵，∴；【小问3详解】当所加的这个数为a＞0时，分式增大了．理由：∵，∴．【点睛】本题考查了分式的运算，利用作差法，得出分式的减法是解题的关键．22.平移，旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移，旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．（1）对称变换：如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且，求阴影部分的面积；小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中的面积，所以图1中阴影部分的面积为_______；平移变换：如图3，已知长方形中，，点E、F、G、H分别在上，且与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到平移到FB…，快速地求出了阴影部分的周长为______；（2）如图4，四边形中，，求四边形的面积；（3）如图5，，且B、C、D在一条直线上，，设，直线BC上方有一点E满足且，连接AE，当______°时，AE