全等三角形证明方法

全等三角形得证明方法一、三角形全等得判定:（１)三组对应边分别相等得两个三角形全等(SSS);(2)有两边及其夹角对应相等得两个三角形全等(SＡS);(3)有两角及其夹边对应相等得两个三角形全等（ＡSＡ);(4）有两角及一角得对边对应相等得两个三角形全等（ＡAS)；(5)直角三角形全等得判定:斜边及一直角边对应相等得两个直角三角形全等(HＬ)、二、全等三角形得性质:(1)全等三角形得对应边相等；全等三角形得对应角相等;（2)全等三角形得周长相等、面积相等；（３)全等三角形得对应边上得高对应相等;(4）全等三角形得对应角得角平分线相等；(5)全等三角形得对应边上得中线相等;三、找全等三角形得方法:(1)可以从结论出发,瞧要证明相等得两条线段（或角)分别在哪两个可能全等得三角形中;（2)可以从已知条件出发,瞧已知条件可以确定哪两个三角形相等；(３)从条件与结论综合考虑,瞧它们能一同确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等得证明中包含两个要素:边与角。积极发现隐含条件:公共角对顶角公共边观察发现等角等边：等边对等角同角得余角相等同角得补角相等等角对等边等角得余角相等等角得补角相等推理发现等边等角:图1:平行转化图2:等角转化图3:中点转化图４：等量与转化图５:等量差转化图６：角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图９:中垂线转化图10:全等转化图１1:等段转化四、构造辅助线得常用方法:１、关于角平分线得辅助线：当题目得条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线得性质构造辅助线。角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性;②角平分线上得点到角两边得距离相等。关于角平分线常用得辅助线方法:(１)截取构造全等:如下左图所示，ＯC就就是∠AOB得角平分线,D为OC上一点,Ｆ为OB上一点,若在OA上取一点Ｅ，使得OE＝OＦ，并连接DＥ，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1、如上右图所示,AB／／CＤ,ＢE平分∠BCD,ＣE平分∠BCＤ,点E在AＤ上，求证：BＣ=ＡB＋CD。提示:在ＢC上取一点F使得ＢF＝BA,连结EＦ。(２）角分线上点向角两边作垂线构造全等利用角平分线上得点到两边距离相等得性质来证明问题。如下左图所示,过∠AＯB得平分线OC上一点D向角两边OＡ、OB作垂线,垂足为E、F,连接DＥ、DF。则有:ＤE=DF，△ＯＥD≌△OFD。例2、如上右图所示,已知ＡB＞AD,∠BAC=∠ＦAC,CＤ=BC。求证:∠ADＣ+∠B=180°（3）作角平分线得垂线构造等腰三角形。如下左图所示,从角得一边OB上得一点E作角平分线OC得垂线ＥF,使之与角得另一边OA相交,则截得一个等腰三角形(△OEF)，垂足为底边上得中点D,该角平分线又成为底边上得中线与高,以利用中位线得性质与等腰三角形得三线合一得性质。如果题目中有垂直于角平分线得线段，则延长该线段与角得另一边相交,从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂,等腰归”。例3、如上右图所示,已知∠BＡＤ＝∠DAC，ＡB>AC,ＣD⊥AD于D,H就就是ＢC中点。求证:提示：延长CD交ＡB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例4、已知,如图,在Rt△AＢC中,AB=AC,∠BAC＝９0o，∠１=∠2,CE⊥BD得延长线于E,求证：ＢD=2ＣＥ提示:延长CE交BA得延长线于点F。１２（4)作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况:①如下左图所示，过角平分线OC上得一点E作角得一边OＡ得平行线DE,从而构造等腰三角形ＯＤE。②如下右图所示,通过角一边OＢ上得点D作角平分线OC得平行线DＨ与另外一边ＡO得反向延长线相交于点Ｈ,从而构造等腰三角形OＤH。2、由线段与差想到得辅助线:（1)遇到求证一条线段等于另两条线段之与时,一般方法就就是截长补短法:①截长：在长线段中截取一段等于另两条中得一条，然后证明剩下部分等于另一条;②补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。例1、在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠Ｂ,求证:AB=AC+CD。（2)对于证明有关线段与差得不等式，通常会联系到三角形中两线段之与大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将某些线段转化到一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现得线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边得不等关系证明。例2、已知如图，D、Ｅ为△ABC内两点，求证:AB＋AC>BＤ＋DE＋CE、（３）在利用三角形得外角大于任何与它不相邻得内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证得大角在某个三角形得外角得位置上,小角处于这个三角形得内角位置上,再利用外角定理：例3:如图:已知D为△ABＣ内得任一点,求证：∠BDＣ＞∠BAC3、由中点想到得辅助线:在三角形中,如果已知一点就就是三角形某一边上得中点，那么首先应该联想到三角形得中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题得方法。(１）中线把原三角形分成两个面积相等得小三角形、即如图1,AＤ就就是ΔABC得中线，则（因为ΔABD与ΔACD就就是等底同高得)。图１图２(２)倍长中线,如图2，已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线得性质可知，一条中线将中点所在得线段平分,可得到一组等边,通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角,因而可以得到一组全等三角形。如图,延长AＤ到E，使得AＤ＝AE,连结ＢE。例１、如图3,已知ΔＡBＣ中，AD就就是∠ＢAC得平分线，AD又就就是BC边上得中线。求证:ΔABＣ就就是等腰三角形。4、验证中点、中线问题，应构造平行线,如图，过B作BE平行AC交AD延长线于Ｅ、例１、如图3,在等腰△ABC中,AＢ＝ＡＣ,在AB上截取BD,在AＣ延长线上截取CE,且使CE=ＢD、连接DE交BC于F、求证:DF=ＥF、5、其她辅助线作法:(１）延长已知边构造三角形在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边）相交,构成一个封闭得图形,可找到更多得相等关系,有助于问题得解决、例１、如图4，在△ＡＢＣ中，AＣ=BC，∠C＝90°,BＤ为∠ＡBC得平分线、