备战2024年高考数学一轮复习9.3双曲线(精讲)(原卷版+解析)

9.3双曲线（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2022内江期末）“”是“为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A． B． C． D．【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（）A． B． C． D．【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为.【一隅三反】1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．3．（202郫都期中）双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或214(2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（）A．8 B． C．16 D．考点二双曲线的离心率及渐近线【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（）A． B． C． D．【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．2．（2022·保定模拟）已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）A． B． C． D．23．（2022·石嘴山模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双由线C上的一点，若线段与y轴的交点M恰好是线段的中点，，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（）A． B． C． D．考点三双曲线的标准方程【例3-1】（2022梧州期末）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（）A． B． C． D．【例3-2】．（202合肥期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【一隅三反】2．（2022·和平模拟）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．2．（2022宁波期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且它们的离心率不相同，则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（）A． B． C． D．3．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为.4．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程．①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10考点四直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【例4-2】（2022·山东）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·上海）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习（理））若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（

）A． B． C． D．2．（2022·安徽）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．考点五弦长与中点弦【例5】（2022云南）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·山西）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．2（2022·湖南岳阳·三模）已知F1，F2分别为双曲线C:的上、下焦点，过点F2作y轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则△PF1Q的面积为________．3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．4．（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．9.3双曲线（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2022内江期末）“”是“为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故答案为：C【例1-2】（2022·成都模拟）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故答案为：B.【例1-3】（2022·邯郸模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则.由双曲线定义知，，又，故，由于在以为直径的圆上，所以，故有从而故答案为：A【例1-3】（2022·岳普湖模拟）已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为.【答案】1；【解析】双曲线的方程为，则.设圆分别与相切于，

根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知①，而②.由①②得：，所以，所以直线的方程为，即M的横坐标为1设M的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，即，解得.设直线的方程为，即.到直线的距离为，解得.所以线的方程为.由且在第一象限，解得.所以.所以△F1PF2的面积为.故答案为：1；【一隅三反】1．（2022·潮州二模）若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可知，，，，若，则，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要条件．故答案为：A．2．（2021常州期中）已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到，故l=2|AF|+2a=故答案为：B3．（202郫都期中）双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或21【答案】B【解析】不妨设，分别为双曲线的左右焦点，当P在双曲线的左支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，当P在双曲线的右支时，由双曲线的定义可知，，又=11，所以，又，所以右支上不存在满足条件的点P.故答案为：B.4(2022广东）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且.则的面积为（）A．8 B． C．16 D．【答案】C【解析】因为P是双曲线左支上的点，所以，两边平方得，所以.在中，由余弦定理得，所以，所以。故答案为：C考点二双曲线的离心率及渐近线【例2-1】（2022高三下·安徽期中）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故答案为：C.【例2-2】（2022·河南模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即为，即为，可得．所以．根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．又，所以．设，则，所以，所以切点D为双曲线的右顶点，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因为，所以C的离心率为，故答案为：C．【例2-3】（2022·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的半焦距为，则，将，代入双曲线，得，不妨取，，又，，∴的斜率分别为：，，因为，故，即，即，所以，故渐近线方程是.故答案为：C【一隅三反】1．（2022·重庆市模拟）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如图所示，设，，设线段的中点为，则在双曲线C的右支上，又为等边三角形，所以，所以，所以连接，则在等边三角形中，且，所以，所以，即双曲线的离心率为.故答案为：C.2．（2022·保定模拟）已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由题意得，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设均为第一象限点，当时，得，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，得，所以，所以双曲线的离心率为，故答案为：B3．（2022·石嘴山模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双由线C上的一点，若线段与y轴的交点M恰好是线段的中点，，其中，O为坐标原点，则双曲线C的渐近线的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为，则点，由题意知轴，所以点的横坐标为，由双曲线的对称性特点不妨设点P(c，y0所以，解得，所以点，所以点的坐标为(0，b22a)所以MF1=(−c，−所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：B.考点三双曲线的标准方程【例3-1】（2022梧州期末）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，所以，解得，设右焦点为N，连接，，.由，故三角形为直角三角形，即，又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.又，则，，由双曲线定义，则，所以，所以所以双曲线C的方程为.故答案为：D.【例3-2】．（202合肥期末）已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，是的中点，所以，，则，，解得，所以双曲线方程为．故答案为：D．【一隅三反】2．（2022·和平模拟）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为在双曲线的一条渐近线上，故可得；因为抛物线的准线为，故，又；解得，故双曲线方程为：.故答案为：D.2．（2022宁波期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且它们的离心率不相同，则下列方程中有可能为双曲线的标准方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线中，，则渐近线方程为，离心率为。对于A，，则离心率，故A错误；对于B，，则渐近线方程为，故B错误；对于C，，则离心率，故C错误；对于D，，则渐近线方程为，离心率，故D正确。故选：D3．（2022·湖北模拟）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【答案】【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：4．（2022·广州模拟）写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程．①中心在原点，焦点在y轴上；②一条渐近线方程为﹔③焦距大于10【答案】（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由①中心在原点，焦点在y轴上知，可设双曲线方程为：由②一条渐近线方程为知，，即由③知，，即，则可取（此处也可取大于的其他数）又，，则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：故答案为：（答案不唯一，写出一个即可）.考点四直线与双曲线的位置关系【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【解析】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为，联立，得①.当，即时，①式只有一个解；当时，则，解得；综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.【例4-2】（2022·山东）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.【一隅三反】1．（2022·上海）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，设交点，联立可得，由题意可得解得：，故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习（理））若在区间内随机取一个实数，则直线与双曲线的左、右两支各有一个交点的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线斜率为，则，即，故所求概率为，故选：B.2．（2022·安徽）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】联立直线和双曲线：，消去得，当，即时，此时方程为，解得