2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组)

第1页（共1页）2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．192．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了分钟．A．6 B．8 C．10 D．123．（10分）将长方形对角线平均分成12段，连接成如图，长方形内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．204．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是A．2986 B．2858 C．2672 D．27545．（10分）在序列中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是A．8615 B．2016 C．4023 D．20176．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有种填法使得方框中话是正确的．这句话里有个数大于1，有个数大于2，有个数大于3，有个数大于4．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）若，那么的值是．8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9．（10分）如图中，是平行四边形，为的中点，和的交点为，和的交点为，和的交点为，四边形的面积是15平方厘米，则的面积是平方厘米．10．（10分）若2017，1029与725除以的余数均为，那么的最大值是．

2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1．（10分）两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有种可能的取值．A．16 B．17 C．18 D．19【分析】两个小数的整数部分分别是7和10，那么这两个小数的积的整数部分最小是；这两个小数的积的整数部分最大不超过，所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，单不包括88，共有18种可能，据此解答．【解答】解：根据题意与分析：这两个小数的积的整数部分最小是；这两个小数的积的整数部分最大不超过；所以，这两个小数的积的整数部分在70与88之间，包括70，但不包括88，共有：种可能；答：这两个有限小数的积的整数部分有18种可能的取值．故选：．【点评】本题关键是求出这两个小数的积的整数部分的取值范围，然后再进一步解答．2．（10分）小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了分钟．A．6 B．8 C．10 D．12【分析】总共用时是40，去掉换乘6分钟．分钟．地铁是30分钟，客车是50分钟，实际是34分钟，根据时间差，比例份数法即可．【解答】解：乘车时间是分，假设全是地铁是30分钟，时间差是分钟，需要调整到公交推迟4分钟，地铁和公交的时间比是，设地铁时间是3份，公交是5份时间，，公交时间为分钟．故选：．【点评】工程问题结合比例关系是常见的典型问题，份数法是奥数中常见的思想，很多题型都可以用．求出单位份数量即可解决问题．3．（10分）将长方形对角线平均分成12段，连接成如图，长方形内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是平方厘米．A．14 B．16 C．18 D．20【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位，那么与它相邻的阴影部分的面积就是，同理，相邻的空白部分的面积就是，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是（平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：，然后进一步解答即可．【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位，那么与它相邻的阴影部分的面积就是，同理，相邻的空白部分的面积就是，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是（平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：，则实际面积是：（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是14平方厘米．故选：．【点评】本题考查了矩形的性质，关键是通过方程思想，确定一个标准，然后把要求的量统一到这个标准下再解答．4．（10分）请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是A．2986 B．2858 C．2672 D．2754【分析】根据特殊情况入手，结果中的数字2如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾，那么就是没有进位．根据已知数字进行分析没有矛盾的就是符合题意的．【解答】解：首先根据结果中的首位数字是2，如果有进位那么0上边只能是9，根据910多除以7得130多，7前面只能是1，与数字0矛盾那么乘数中的三位数的首位只能是1或者2，因为乘数中有7而且结果是三位数，那么乘数中三位数首位只能是1．那么已知数字7前面只能是2，根据已知数字0再推出乘数三位数中的十位数字是0．再根据乘数中的数字7与三位数相乘有1的进位，尾数只能是2．所以是．故选：．【点评】根据特殊情况来分析，竖式的问题多用于排除法，有多种情况的枚举出来根据已知数字进行推理，同时不要忘记有进位的情况，问题解决．5．（10分）在序列中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是A．8615 B．2016 C．4023 D．2017【分析】分析结果中的奇数偶数的性质，如果四个数字中出现一个奇数，那么下一个数字的结果一定是奇数，则2个奇数加两个偶数结果就是偶数．分析枚举找到规律即可．【解答】解：枚举法0170的数字和是8下一个数字就是8．1708的数字和是16下一个数字就是6．7086的数字和是21下一个数字就是1．0861的数字和是15下一个数字是5．8615的数字和是20下一个数字是0．6150的数字和为12下一个数字就是2．规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个．故选：．【点评】本题的考点也是数字问题中的奇数偶数连接的问题，数字中有一个奇数那么数字和一定是奇数，所以数字和一定是两个奇数连在一起的，选项中只有1个奇数两边都是偶数不符合题意．选项中奇数在后可以再接一个奇数．问题解决．6．（10分）从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有种填法使得方框中话是正确的．这句话里有个数大于1，有个数大于2，有个数大于3，有个数大于4．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先考虑共4个空的数字不相同而且还有1，2，3，4一共是8个数字，如果有0和1，那么至少大于1的数字还有5个，大于4的数字最多是4个，最少是1个，根据这些条件进行枚举筛选．【解答】解：依题意可知：设有个数是大于1的，有个数是大于2的，有个数是大于3的，有个数是大于4的．因为1，2，3，4各有一个，还有4个空，那么有．且，①若，那么在这8个数字中需要有4个数字大于4，目前只有，，是大于4的不满足条件．②若时，那么在这8个数中需要有3个数是大于4的，，，都是大于4的满足条件．则大于3的数字共个4．与矛盾③若时，则，大于4，不大于4，则是取3或者4，分析，，，依次是7，5，3，2或者7，5，4，2④若时，则是大于4的，，是不大于4的，由3，4，都是大于2的，所以，则大于2的数共4个，所以，此时大于3的数有，，4此时，那么大于2的数字共5个，矛盾故选：．【点评】本题的突破口首先是，的范围，缩小了枚举的范围，根据题意枚举出来进行筛选，找出矛盾的即可排除，问题解决．二、填空题（每小题10分，共40分）7．（10分）若，那么的值是4．【分析】先把繁分数化简，求出关于未知数的方程，然后根据等式的性质解方程即可．【解答】解：故答案为：4．【点评】本题考查了繁分数的化简和解方程的综合应用，注意计算要准确，否则容易出错．8．（10分）如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：，原来5个自然数的和是：，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：，平均每个多，则新的5个连续自然数为：、、、、，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：，原来5个自然数的和是：，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：，平均每个多，则新的5个连续自然数为：、、、、，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是，最大的自然数8只能是，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合：因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有种；答：共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．故答案为：10．【点评】此题重点考查学生的数字分析与组合能力，关键是确定一个顶点有几种选值．9．（10分）如图中，是平行四边形，为的中点，和的交点为，和的交点为，和的交点为，四边形的面积是15平方厘米，则的面积是180平方厘米．【分析】如图，连接，，根据三角形的面积和底的正比关系，判断出、、与的关系，推出与的关系，再根据四边形的面积是15平方厘米，求出的面积是多少即可．【解答】解：如图，连接，，因为为的中点，所以，所以；因为和的交点为，所以为的中点，因为为的中点，所以，且，所以，所以；因为，且，所以，，所以，所以；所以，所以（平方厘米）答：的面积是180平方厘米．故答案为：180．【点评】此题主要考查了三角形的面积和底的正比关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、、与的关系．10．（10分）若2017，1029与725除以的余数均为，那么的最大值是35．【分析】根据题意可得，，，，均能被整除，则，，，这三个数也能被整除，即988，1292，304均能被整除，不难得出，三个数的最大公因数是76，即的值可能是：76，38，19，4，2，1（被1除余数可看成；然后分别用725