2024届四川省成都市郫都区高三上学期第一次阶段考试数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市郫都区2024届高三上学期第一次阶段考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题1已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，又，由交集的运算可知：.故选:B.2.复数为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数的虚部是－1．故选：B．3.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，因为，，所以在零点在区间，故选：A．4.以模型去拟合一组数据，设将其变换后得到线性回归方程，则原模型中的值分别是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗两边取对数，可得，令可得∵线性回归方程∴，解得.故选：B.5.参数方程（为参数）化为普通方程是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，且，解得，所以普通方程为.故选：D.6.执行如下图所示的程序，输出的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗执行程序框图：；；；；；,输出S，循环结束，故输出S的值为.故选：A.7.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗二次函数的对称轴为，且开口向下，因为是上的增函数，所以有，故选：B8.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以.故选：A9.已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，当时，，则函数在上为增函数，当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.B选项中的图象满足题意.故选：B.10.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.11.现有9个小球，甲､乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢.如果甲先抓，那么下列说法正确的是（）A.甲有必赢的策略 B.乙有必赢的策略C.双方都没有必赢的策略 D.若甲先抓1个，则乙有必赢的策略〖答案〗A〖解析〗甲有必赢的策略､必赢的策略为：①甲先抓1球，②当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；③这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；④甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜.故选：A.12.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A. B.（0，）C.（，+∞） D.〖答案〗B〖解析〗设，则，，，，在R上单调递增，，，令，则，由，得，即，即，，即，，不等式的解集为．故选：B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题13.“”为真命题，则实数最大值为__________.〖答案〗〖解析〗因为“”为真命题，所以，即.所以实数的最大值为.故〖答案〗为：14.已知函数，则不等式的解集是______．〖答案〗〖解析〗为奇函数，单调递增，，故不等式的解集为.故〖答案〗为：15.已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为______．〖答案〗.〖解析〗由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数取值范围是.故〖答案〗为：.16.函数的定义域为，且，，，则__________.〖答案〗2〖解析〗函数的定义域为，由，得，因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，由，得，又，，从而，所以.故〖答案〗为：2.三、解答题17.某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：本专业非本专业合计女生7080男生40合计（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）解：由题意知，学生共200人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人，故列联表如下：本专业非本专业合计女生701080男生8040120合计15050200所以.因为，所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关.（2）解：样本中为“非本专业”的学生有50人，男、女人数之比为.用分层抽样方法从中抽出5人，男生有4人，记为，，，，女生有1人，记为，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男生的结果有4个，所以3人都是男生的概率为.18.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.解：（1），由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.19.如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若与底面所成角为，求多面体的体积．（1）证明：证法一：连接，如图：在中，、分别为、的中点，所以，因平面，平面，所以平面，矩形中，，平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.证法二：取中点，连接和，如图：在中，、分别为和的中点，所以，，又在矩形中，，，又是在中点，所以，则，，所以四边形是平行四边形，即，又平面，平面，所以平面.（2）解：过点做交于点，且连接，如图：由题意知：平面，平面，所以，则与底面所成角为，即，又是圆上的点，所以，因为，，所以，，即，又平面，所以平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即为四棱锥的高，且，又四边形的面积，所以多面体的体积为.20.配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每千米所需要的时间.相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.已知图①是某次马拉松比赛中一位跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/千米）的散点图，图②是本次马拉松比赛（全程约42千米）前5000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；（2）在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间及他能获得的名次.参考公式：中，，，其中，为样本平均值．解：（1）由散点图中数据和参考公式得，，∴，，所以y与x的线性回归方程为.（2）将代入回归方程得，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为分钟，从马拉松比赛前5000名跑者成绩的频率分布直方图可知：成绩好于210分钟的累计频率为.有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是名.21.已知函数.（1）当时，试讨论函数的单调性；（2）设函数有两个极值点，证明：.（2）解：当时，定义域为，，令解得或，且当或时，，当时，，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，综上在区间，上单调递增，在区间单调递减.（2）证明：由已知，可得，函数有两个极值点，即在上有两个不等实根，令，只需，故，又，，所以，要证，即证，只需证，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又，，由零点存在性定理得，使得，即，所以时，，单调递增，时，，单调递减，则，又由对勾函数知在上单调递增，所以,所以，即得证.22.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径；（2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的、两点，求线段的长度．解：（1）在平面直角坐标系中，由题意可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆，曲线的直角坐标方程为，即，将，代入并化简得的极坐标方程为，，由消去，并整理得，即，解得（舍）或，所以所求异于极点的交点的极径为.（2）因为曲线的参数方程为（为参数），所以，曲线是过原点，且倾斜角为的直线，所以，曲线的极坐标方程为和，由得，由得，则曲线与曲线两交点的极坐标为、，所以（为极点）.四川省成都市郫都区2024届高三上学期第一次阶段考试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题1已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，又，由交集的运算可知：.故选:B.2.复数为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数的虚部是－1．故选：B．3.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，因为，，所以在零点在区间，故选：A．4.以模型去拟合一组数据，设将其变换后得到线性回归方程，则原模型中的值分别是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗两边取对数，可得，令可得∵线性回归方程∴，解得.故选：B.5.参数方程（为参数）化为普通方程是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，且，解得，所以普通方程为.故选：D.6.执行如下图所示的程序，输出的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗执行程序框图：；；；；；,输出S，循环结束，故输出S的值为.故选：A.7.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗二次函数的对称轴为，且开口向下，因为是上的增函数，所以有，故选：B8.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以.故选：A9.已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，当时，，则函数在上为增函数，当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.B选项中的图象满足题意.故选：B.10.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.11.现有9个小球，甲､乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢.如果甲先抓，那么下列说法正确的是（）A.甲有必赢的策略 B.乙有必赢的策略C.双方都没有必赢的策略 D.若甲先抓1个，则乙有必赢的策略〖答案〗A〖解析〗甲有必赢的策略､必赢的策略为：①甲先抓1球，②当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；③这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；④甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜.故选：A.12.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（）A. B.（0，）C.（，+∞） D.〖答案〗B〖解析〗设，则，，，，在R上单调递增，，，令，则，由，得，即，即，，即，，不等式的解集为．故选：B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题13.“”为真命题，则实数最大值为__________.〖答案〗〖解析〗因为“”为真命题，所以，即.所以实数的最大值为.故〖答案〗为：14.已知函数，则不等式的解集是______．〖答案〗〖解析〗为奇函数，单调递增，，故不等式的解集为.故〖答案〗为：15.已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为______．〖答案〗.〖解析〗由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数取值范围是.故〖答案〗为：.16.函数的定义域为，且，，，则__________.〖答案〗2〖解析〗函数的定义域为，由，得，因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，由，得，又，，从而，所以.故〖答案〗为：2.三、解答题17.某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：本专业非本专业合计女生7080男生40合计（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）解：由题意知，学生共200人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人，故列联表如下：本专业非本专业合计女生701080男生8040120合计15050200所以.因为，所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关.（2）解：样本中为“非本专业”的学生有50人，男、女人数之比为.用分层抽样方法从中抽出5人，男生有4人，记为，，，，女生有1人，记为，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男生的结果有4个，所以3人都是男生的概率为.18.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.解：（1），由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.19.如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若与底面所成角为，求多面体的体积．（1）证明：证法一：连接，如图：在中，、分别为、的中点，所以，因平面，平面，所以平面，矩形中，，平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.证法二：取中点，连接和，如图：在中，、分别为和的中点，所以，，又在矩形中，，，又是在中点，所以，则，，所以四边形是平行四边形，即，又平面，平面，所以平面.（2）解：过点做交于点，且连接，如图：由题意知：平面，平面，所以，则与底面所成角为，即，又是圆上的点，所以，因为，，所以，，即，又平面，所以平面平面，平面平面，，平面，所以平面，即为四棱锥的高，且，又四边形的面积，所以多面体的体积为.20.配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每千米所需要的时间.相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.已知图①是某次马拉松比赛中一位跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/千米）的散点图，图②是本次马拉松比赛（全程约42千米）前5000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；（2）在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花