高中数学正弦余弦函数性质试题

正余弦函数

3.下列区间中，使函数y=cosx为增函数的是()

R,\TC3TT1「TTTT]R

A.[0,7r]B.[了彳]C.[—,，另]D.阮,2TT]

八3.Tt

13.函数y=cosx|tanx|(0x<-7r,且xr,)的图象是()

已知函数f(x)

14.=sin(x-y)(xeR),下面结论错误的是()

A.函数/(x)的最小正周期为2兀

B.函数/(x)在区间上是增函数

C.函数/(x)的图象关于直线x=0对称

D.函数/(x)是奇函数

15.已知函数y=cos(sinx),则下列结论中，正确的是()

A.是奇函数B,不是周期函数

C.定义域是［fl］D.值域是［cos1,1］

16.若函数/(x)=sinox(3>0)在区间［O,y］上单调递增，在区间

上单调递减，则。=()

32

A.3B.2C.2D.§

17.M,N是曲线y=Trsinx与曲线y=TTCOSX的两个不同的交点，则|〃N|

的最小值为()

r-JI

A.nB.v3TTC.-D.27r

19.已知函数f(x)=sinnx和函数g(x)=cosTIX在区间［-1.2］上的图象交

于4,8,C三点，则4ABC的面积是()

V23^/25^/2

A.B.—^―C.

二、填空题(共12小题；共60分)

21.y="cosx+l的最大值为5,则a=

23.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图.正弦函数y=sinx,xe［0.2TT］的图象

中，五个关键点是：(0,0),(1.1),(况0),(学T),(2兀,0).余弦函数

y=cosx,xe［0,2TT］的图象中，五个关键点是：(0,1),

(y-0),,(当,°)，(2兀，1).

24.用五点法画y=Xsin(3x+s)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如表所

75:

7137r

0—(P71—(p-2JT-(p

X

m〃)3

71in

a)x+(p

—~T—

y=Asin(a)x+(p)0A0-A0

26.已知函数f(x)=ax+bsin3x+l(a,b为常数)，且"5)=7,则

/(-5)=.

29.设0《x《2兀,且|cosx-sinx|=sinx-cosx,则x的取值范围

是•

30.函数y=sin3x+sinxcos2x的最小正周期是.

31.如果函数/(x)是定义在［-4,4］上的偶函数，其在［0.4］上的图象如图所示，那

f

么不等式去(x)<0的解集为.

三、解答题(共20小题；共260分)

33.已知函数/(x)=12cos(4x一看)

(1)求/(x)的最小正周期;

(2)求/(%)的单调减区间.

「兀5兀

35.用五点作图法作出函数J=CO/S(X+Tt§\),Xe[-y,y]的图象.

36.用“五点法”作出函数y=sin2x+1在X€[0.TT]内的简图.

37.已知函数/(x)的定义域为[0,1],求/(1-V3tanx)的定义域.

,,7T

38.作正切函数y=tanx,xkit+—,%eZ的图象.

40.在同一坐标系中，用五点法画出下列函数的草图.

(1)y=sinx,y=sin(x+g)；

(2)>'=sin2x,y=sin(2x+.

41.画出函数y-\cosx\的图象，并观察其周期.

43.作出函数夕=—sinx,xe[—兀，用的简图，并回答下列问题：

(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：

①y>0；®y<0.

1

(2)直线y与夕=—sinx的图象有几个交点？

44.已知函数/(x)=/sin(2x-.

(1)利用“五点法”，画出函数一个周期的图象；

「7T7T1

(2)当xe一不，《时，/(x)_”=0有解，求实数”的取值范围.

LZO-I

1

46.作函数y=;---sinx的图象.

uanx

47.己知函数/(x)=/asin(x-+a+/?.

(1)当"=1时，求函数/(%)的单调递减区间；

(2)当“<0时，/(x)在[0,用上的值域为[2,3],求“，人的值.

48.画出函数y=|tanx|的图象，根据图象判断其奇偶性，并求出函数的单调区间.

答案

第一部分

1.D

2.B

3.D【解析】因为cosx的递增区间是［一万+2%万,2左兀］,eZ,

当k=1时，递增区间为：阮,2乃］.

X+（D/X（D\

4.C【解析】因为函数/（X）=sin二一=sin（j+弥）是偶函数,

U）Jt

所以-=-+kjt（k&Z）,

所以W=与+3左兀%eZ）,

又（pe［0,2?r］,

37r

所以9=5.

5.A

6.D

/7TTC\

7.B【解析；］>=tanGX在,-J内是减函数，

所以GV0,

TC

又7》兀，即两》兀，

解得一1w。W1.

因为co<0,

所以一1W0Vo.

8.A【解析】由y=sinx,xeR的图象的对称轴为直线.v—k?tH--(k€Z)

得（；乃）的图象的对称轴为直线+|兀=knTC

y=sin2x+2x+3(k£Z)，即

k

X=——7T—7T优WZ）,

当k=1时，X=-y.

9.A【解析】由已知可得力=6,

T、-宿,

设其周期为T,贝必P（；，⑷，R&+子，°），+g

由于PRYQR,可得：PR2+RQ2=PQ2

可得:

2

§1+/1一11彳37\)+(7-小r-八0\)2=

.27r兀

整理可得：r2=16,解得：7=4,0)=-=-,

由于/(；)=/，可得：/sin(3xg+«)=,

71…冗71

所以，+T=2kjr+T，左eZ,解得：＜p=2kjr+-,keZ,

o25

所以，当k=0时，3=g,函数/(x)的解析式是f(x)=Osin(?x+g)

10.A

【解析】因为s=6sin（2:tt+器）,

e27r

所以T=—=\,

27r

了1

一

=秒

从最左边到平衡位置。需要的时间为44-

1

万

由62+

兀X--

Sil46=3V3得从最右边到最左边的距离为6。厘米.

11.B【解析】歹=<305（2）一2、）=0）52%,令

2k7i+万W2x（2k7i+2TT（A：eZ）,

所以ZTT+g<xW左万+兀伏wZ）,

所以y=cos（2;r—2x）的递增区间是，兀+g,左兀+［（k€Z）.

12.D

13.D【解析】利用排除法.

TC

由于％='时，tanx无意义，故排除A,B,

333

又因为x=z兀时，有cos彳兀v0,|tan-7r|>0,

所以排除C.

14.D

15.D

【解析】因为一1（sinxW1,且cosx在［0,兀］上是减函数，在［一万,0］上是增函数,

所以函数y的值域为［cosI,1］.

71

16.C【解析】因为当0WgxW5时，函数/（x）是增函数，

Jt

当万时，函数/(x)为减函数，

即当OW'W在时，函数/(X)为增函数，

2G

TCTC

当WxW一时，函数/(X)为减函数，

2a)a)

717t3

所以丁=可，所以3=弓.

2a)32

17.B【解析】当|MN|最小时，点M,N必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设

，万鼻五\[57r叵a\

为M\4，^),"(彳，一一厂J,根据两点间距离公式得

|A/N|=+（二兀）2=6.

18.A【解析】由/（X）=tan—,

知f（x4-2兀）=tan1（x+2兀）一;〃=tan（；x—g）=f（x）

所以fU）的周期为2兀，排除B,D.

（X71\XIX

令tan\2-1/°，得1一,=左兀，

所以x=2左兀+：兀（ZeZ）,

2

若k=。,则x=§兀，

即图象过点（J兀，0）.

19.C【解析】由sinjrx=COSTTX=>tanJTX=1,

5

故S&ABC=2X3H济卜剂f

20.B

【解析】设点4(xi/i),点8(X2,及)，由于函数y=sinx的图象在(0,1)上是

上凸型的，而2(sinx>+sinx2)表示线段AB中点的纵坐标，故有

1(X\+%2\

-(sinxi+sinx2)<sin—--J，故①不正确；由于函数_y=cosx的图象在

(o.1)上是上凸型的，-(COSX,+cosx2)表示线段48中点的纵坐标，故有

1.、X14-X2

-(COSX]+cosx2)<COS---,故②不正确；由于函数y=tanx的图象在

(0.1)上是上凹型的，g(tanxi+tanx2)表示线段48中点的纵坐标，故有

1X\4-X2_1/7l\

-(ztaiix,+tanxx)>tan---，故③正确；由于函数>=—的图象在(0,彳)

z2ztanx\2.'

上是上凹型的，故有1/式1诉+诉1)\>>不1，故④正确・

la.Il--------------

2

第二部分

21.±4

【解析】同+1=5,所以⑷=4,所以。=±4.

22.[左兀+3，kn+5）（kGZ）

【解析】由tanx-73^0得tanx》/,利用图象知，所求定义域为

\ku+—,kjt+—（k€It）.

23.（兀,T）

24.0,jr,2TC

（kyi7t\

25.（,keZ

\z—Ro，°/）

n,,kn7i八

【解析】令2、+彳=左兀（keZ）得，x=7--w（keZ）.

4Zo

所以函数N=tan(2x+3)的图象与工轴交点的坐标是(当一］，0),keZ.

26.—5

【解析】/⑸=5"+bsin35+I=7，则5“+bs"5=6，所以

f(—5)=—5a+bsin3(—5)+1=—5a—bsin35+1——5.

27./(l)</(-l)</(0)

【解析】函数/(x)=tan(x+?)的周期7=兀，则=兀).

,7t7T,7T,3TT71

令kji——<x+—<kn+—，左wZ,解得k^t——<x<kjFt4--，4eZ,

所以函数/(X)=tan(x+在(—%，：)上单调递增.

3i八兀

因为一4兀<1一万<一1<0<4，所以/(I一兀)</(一1)</(0)，即

/(I)</(-1)</(0).

28.①②③

【解析】分〃>8妗sin/>sinB故①成立.

函数y=cosx在区间［O.TT］上是减函数.

因为AA>NB

所以cos4vcos8,故②成立.

71

在锐角三角形中，因为N/+NB>爹，

所以//>y-ZS,

则有sinA>sin-B),即sinA>cosB,

同理sinB>cosA,故③成立.

-兀57r-

29.［4'T.

30.2万

【解析】y=sir?x+sinxcos?x=sinx•(sin?x+cos?x)=sinx,最小正周期

T=2JT.

【解析】当xe(0,时y=cosx>0,当xe(],4)时夕=cosxv0.由

f(x)的图象知在(1,弓)±7777<0.因为/(x)为偶函数，y=cosx也是偶函

\2./CObX

数，所以)=f念(x)为偶函数，所以f的(X解)八集为(一/不7T，一1\u(/1，不7T\).

32.④

【解析】因为y=sin(x-］)=-cosx,所以T=2TT,故①正确；

因为y=cosx在|0，］］上是减函数，贝(1y=-cosx在］］上是增函数，故②

正确；

由图象知P=-COSK的图象关于直线x=0对称，故③正确；

y=-cosx为偶函数，故④不正确.

第三部分

e27r兀

33.(1)f(x)的最小正周期为7=彳=2.

(2)函数/(x)=-2cos(4x-［)的单调减区间即为/(x)=2cos(4x-1)

的单调增区间，

从而2k71—yrW4x——g2k冗(kwZ),

6

kn5兀kjr7i„

解得彳一而WxW±-+引z(fZeZ).

'krcJTkn兀］八„

所以函数/(X)的单调减区间为［5-一5方，彳+升］/eZ).

34.(1)列表：

TC37r

7127r

X07T

sinx0i0-i0

1—sinx10121

713兀

X077TT2TT

cosx10-101

—1—COSX-2-i0-1-2

717127r77r57r

X

一Q~T-6~

71兀37r

x+w07127r

7

COS(x+g)10-101

描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如下图）：

71

36.若x€[0,7r],则2X€[0,2TT],令2x分别等于0,兀,,2兀，求出相应的

x值，再列表、画图.

列表如下：

71TC37r

X0

42T

71

7137r

2x071

2T

27r

sin2x010T

0

sin2x+1i20

1

描点、连线，如图所示:

37.由题意，得0W1—V3tanxW1,所以。WtanxW—.

所以片乃4xW+上万(左eZ),

6

所以/(1—^3tanx)的定义域为上乃,看+kn\(k6Z).

38.取三点(一1—1),(0,。)，(4」)，

TC71

作直线x=~2'X=2'

过三点(一%一1),(0-0))(r1),

71TC,,71

以直线X=-y,X=-为渐近线作曲线，然后平移取得y=tanx,X/kn+—,

k£Z的图象.

39.(1)因为

(271匕[2(/、+》2\)+点兀1=2C°S(K+9

2cosI-x4--+2TT=2cos

\7t4\7T4/

即f(x+7T2)=f(x),

所以所求函数的最小正周期是万2.

27r0

另解：T=丁=兀.

71

因为sin信-2x)=一,ro/I、五

(2)y)=­sin12(X+71)——

所以所求函数的最小正周期是兀.

7171571

X+707TCT2JI

717127rITT57r

X

一彳7不T

y010-10

ky

y=sinx

A

X

一冗7137r

2x+Q07127r

2T

717TTCI7t57r

X

-6pTpV

y010-10

尸sin（2x+：）”『in2x

\sz/\^ZzXSZ/>'

41.图象如图.由图象可知，函数y=|cosx|以7T为最小正周期（或以k7i为周期,

ZwZ且%#0,）

715兀…，r

~+2kTCWxW/+2k7t、keZ,

67127r77

)2k7i—5Wx<2k7t+—,k.GZ.

所以，2k元+gwXw2左乃+eZ,即函数J=jsinx-彳+，cosx的定

O2vz

义域为。左兀+—,2kyr+,](keZ).

43.(1)利用"五点法”作图.

根据图象可知图象在x轴上方的部分y>0，在x轴下方的部分y<0,所以当

xe[-it,0]时，y>0；当xe[0,万]时，yv0.

(2)画出直线V=2，可知有两个交点.

44.(1)按五个关键点列表如下：

7137r

X=2x--07T27r

42T

7t37r57r17197r

X

8-T不T~8~

f(x)=/sin(2x——0V20-V20

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.

a)

-.2&

7171

(2)因为一万WxW万，

Zo

人冗

所以一万(2xWz，

5TT71

所以一^<2x—彳W0,

..〃八V2

所以一1Wsin(2x-,

所以—V5Wsin(2x——1

f(x)-a=0有解，即4=/(x)有解，故aw[一/,1].

45.函数/(x)=cos2x+sinx=1—sin?x+sinx=—(sinx—；)+；,

,,71

因为闭wa,

71TC

所以一awxww,

即——(sinxW—.

\/21_A/2

当smx=--时，f(x)取得最小值一--.

46.首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象，当sinxrO且

cosx#0,即x#左兀且x#£+%万优€Z)时，有歹=-----sinx=cosx

2tanx

即y=cosx*kjt且+4x，左eZ).

其图象如图所不.

47.(1)当。=1时，

f(x)=V2sin(x-3)+1+b.

因为歹=sinx的单调递减区间为

"冗37r-1

2kit+—,2.k7t+—^―J(kGZ),

…不37r

所以当2k冗+g《x—xW2k冗+—.

即蛛7r+f<x(2a7r+?/eZ)时，/(x)是减函数，所以/(x)的单调递

",37r77兀]八

减区间是2k冗+—,2kjt4--(ke7i).

(2)/(x)=/〃sin(x-?)+a+b,

717137r

因为x€[O,TT],所以一彳1x—4W彳,

\/2./TC\

所以一~丁WSin(x-w1.

又因为a<0,所以V2aWV2asin(x-W

所以V2a+a+bW/(x)Wb.

因为/(x)的值域是[2,3],

所以/a+a+6=2，且6=3,

解得a=1—/,b=3.

48.由歹=|tanx|得

TC

tanx,A:TTWxvkrc+彳(ZcWZ),

y={7t2图象图如所示,

—tanx,kjt——vxv左乃(左wZ),

由图象可知：函数夕=|tanx|是偶函数.

函数少=|tanx|的单调增区间为，兀，左兀+]）仅eZ），单调减区间为

（―§+左兀，左TT]（k€Z）.

49.(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°

cos160°=cos(90°+70°)=-sin70°

因为0。＜14。＜70。＜90。，函数y=sinx在区间（0°,90。）内是增函数,

所以sin140<sin70°

所以-sin14°>-sin70°

所以sin194°>cos160°.

.1(兀1、7(7\

(2)sin—=cos----------.—cos-=cos万---I

s10\210，'4\4/,

八77rl3

因为0v万一7r，函数y=cosx在(0,7T)上是减函数,

/7\(7t1\3

所以COS(7F—*J>COS\"2-To/>cos2，

7.13

即一cosx>sin—>cos-.

50.