人教版九年级（上）第一次月考数学试卷

人教版九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程3/-2-尤=0的二次项系数是3,它的一次项系数是（）

A.-1B.-2C.1D.0

2.（3分）时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）

4.（3分）若x=2是关于x的方程以2-a=2的解，则2019-2a+b的值为（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

5.（3分）二次函数y=2/-8尤+9的图象可由y=2x1的图象怎样平移得到（）

A.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位

B.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位

C.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位

D.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位

6.（3分）二次函数与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（

y个

X

C.7TV

7.（3分）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（

B、

B.如图①，直径A8与窟组成半圆

C.如图②，线段是△ABC边上的高

D.如图②，线段AE是△A8C边AC上的高

8.（3分）抛物线>=区2-7苫-7的图象和苫轴有交点，则Z的取值范围是（）

A.k>-1-B.左力-工且kWOC.工D.左>-工且左/0

4444

9.（3分）如图，在等边△ABC中，点。在AC上，且AO=3,CO=6,点尸是A8上一动

点，连接。尸，将线段OP绕点。逆时针旋转60°得到线段OD要使点。恰好落在BC

上，则AP的长是（）

10.（3分）如图，二次函数y=o?+bx+c的图象经过点A（-3,0）,其对称轴为直线尤=

-b有下列结论：

①abc<0；

②。-b-2c>0；

③关于x的方程a/+（b-/"）x+c^m有两个不相等的实数根；

④若尸（-5,yi）,Q（m,>2）是抛物线上两点，且yi>”，则实数机的取值范围是-

5cm<3.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.（3分）方程（%-2）2=5（x-2）的根为.

12.（3分）方程/-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长

为.

13.（3分）10月8号到校前，帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同

学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，帅童给

个同学发了短信.

14.（3分）若A（xi,yi）、B（尤2,y2）、C（孙”）为函数y=—）2+4图象上的三

个点，其中X2+X3>4且-1<X1<O<X2<2<X3<4,则yi、>2、*之间的大小关系是_

15.（3分）若抛物线yuf+bx+c与无轴只有一个交点，且过点A（w-1,n）、B（m+3,n）,

贝Un=.

16.（3分）如图所示，AB=6,AC=3,ZBAC=60°,前为。。上的一段弧，且/BOC

=60°,分别在黄、线段A8和AC上选取点P、E、F,则PE+EF+EP的最小值为

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）解方程：f-4尤-3=0.

18.（8分）如图，某小区有一块长为30比，宽为24根的矩形空地，计划在其中修建两块相

同的矩形绿地，它们的面积之和为480MA两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,

则人行通道的宽度为多少米？

19.（8分）如图，AB是O。的直径，CD是O。的弦，AB,CD的延长线交于点E.已知

AB=2DE,25°,求NAOC的度数.

20.（8分）如图，在△AC。中，ZACD=90°,AC^b,CD=a,AD=c,点B在CO的延

长线上

（1）求证：关于x的一元二次方程必有实数根；

（2）当b=3,CB=5时.将线段AD绕点。顺时针旋转90°,得到线段连接BE,

则当。的值为多少时，线段8E的长最短，最短长度是多少？

21.（8分）正方形ABO和正方形AEFG,AB=12,AE=6加.设N8AE=a（0°WaW45°,

点E在正方形A8CD内部），BE的延长线交直线。G于点Q.

（1）求证：AADG注AABE；

（2）试求出当a由0°变化到45°过程中，点。运动的路线长，并画出点。的运动路

径；直接写出当a等于多少度时，点G恰好在点。运动的路径上.

22.（10分）有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱

为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷

水池中心的立杆上点T处汇合.如图所示为截面图，以水平方向为无轴，喷水池中心为

原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式；

（2）正在喷水时，身高1.8米的人，应站在离水池中心多远的地方就能不被淋湿？

（3）在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱

仍在喷水池中心的立杆上点T处汇合，请探究扩建后喷水池水柱的最大高度.

23.（10分）在△ABC中，AB=BC=2a，ZABC=120°,△CUE为等边三角形，CD=2,

连接AD,M为中点.

（1）如图1,当8,C,E三点共线时，请画出关于点M的中心对称图形，并证

明BMLME-,

（2）如图2,当A,C,E三点共线时，求3M的长；

（3）如图3,取BE中点N,连MN,将绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段

MN的取值范围是.

4

交y轴于点C.

(1)若A5=4,求4的值；

(2)若抛物线上存在点。(不与A、B重合)，使8=求。的取值范围；

2

(3)如图2,直线y=fcc+2与抛物线交于点E、凡点P是抛物线上的动点，延长尸£、

尸尸分别交直线＞=-2于M、N两点,交y轴于。点，求QAPQN的值.

人教版九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程3x2-2-x=0的二次项系数是3,它的一次项系数是（）

A.-1B.-2C.1D.0

【考点】A2：一元二次方程的一般形式.

【分析】形式尤+c=。QWO）这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中小叫做

二次项，。叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.

【解答】解：原方程可化为：

3X2-x-2—0,

它的一次项系数是-1,

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，要确定二次项系数，一次项系数和常数

项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

2.（3分）时间经过25分钟，钟表的分针旋转了（）

A.150°B.120°C.25°D.12.5°

【考点】R1：生活中的旋转现象.

【分析】先画出图形，确定时针和分针的位置利用钟表表盘的特征解答.

【解答】解：如图所示：

因为分针每分钟转6。，所以25分钟旋转了6。义25=150度.

故选：A.

【点评】本题是一个钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30。，每分钟

转过的角度为6度.借助图形，更容易解决.

3.（3分）观察下列表格，估计一元二次方程7+3x-5=0的正数解在（）

尤-101234

/+3x-5-7-5-151323

A.-1和0之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间

【考点】A4：估算一元二次方程的近似解.

【分析】由表格可发现了+3x-5的值-1和5最接近0,再看对应的x的值即可得到答

案.

【解答】解：由表可以看出，当无取1与2之间的某个数时，7+3尤-5=0,即这个数是

7+3尤-5=0的一个根.

/+3尤-5=0的一个解x的取值范围为1和2之间.

故选：C.

【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和

一元二次方程关系正确理解的基础上的.

4.（3分）若x=2是关于x的方程以2_法=2的解，贝I2019-2a+b的值为（）

A.2016B.2017C.2018D.2019

【考点】A3：一元二次方程的解.

【分析】把x=2代入方程求出2a-b的值，代入原式计算即可求出值.

【解答】解：把x=2代入方程得：4a-2b=2,即2a-6=l,

则原式=2019-（2a-b）=2019-1=2018,

故选：C.

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

5.（3分）二次函数y=2/-8尤+9的图象可由y=2/的图象怎样平移得到（）

A.先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

B.先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

C.先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

D.先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【分析】分别求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点的变化解答.

【解答】解：：y=2f-8x+9,

—2（/-4x+4）+1,

=2（x-2）2+1,

：.y=7j?-8x+9的顶点坐标为（2,1）,

又：y=2x2的顶点坐标为（0,0）,

；.y=2/先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=2x2-8x+9.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此

类题目，利用顶点的变化求解更简便.

6.（3分）二次函数>=办2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）

【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象.

【分析】由一次函数y=ox+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1,0）,即可排除

A、B,然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的

交点可得相关图象进行判断.

【解答】解：由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与无轴交于点（-1,0）,排除

A、B；

当。>0时，二次函数y=G?开口向上，一次函数y=cir+a经过一、二、三象限，当

0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；

故选：D.

【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的

图象和一次函数的图象与系数之间的关系.

7.（3分）对于以下图形有下列结论，其中正确的是（

A.如图①，AC是弦

B.如图①，直径42与篇组成半圆

C.如图②，线段是△ABC边上的高

D.如图②，线段AE是△ABC边AC上的高

【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；Ml：圆的认识.

【分析】利用圆的有关概念及三角形中的三条线段的定义分别判断后即可确定正确的选

项.

【解答】解：A、AC不是弦，故错误；

8、半圆是弧，不包括弧所对的弦，故错误；

C、线段。是△ABC边上的高，正确；

。、线段AE不是AABC边AC上的高，故错误，

故选：C.

【点评】考查了圆的有关概念及三角形的三条线段的知识，解题的关键是了解有关概念,

难度不大.

8.（3分）抛物线>=近2-7%-7的图象和了轴有交点，则上的取值范围是（）

A.k>-ZB.左》-工且ZWOC.左》-工D.上>-工且上#0

4444

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【分析】抛物线y=fcf2-7x-7的图象和x轴有交点，即一元二次方程扇-7x-7=0有

解，此时△》（）.

【解答】解：：抛物线丫二扇算尤"的图象和无轴有交点，

即y=0时方程区2-7x-7=0有实数根，

即△=房-4收20,即49+28左20,

解得-―,且k¥0.

4

故选：B.

【点评】考查抛物线和一元二次方程的关系.

9.（3分）如图，在等边△ABC中，点。在AC上，且AO=3,C0=6,点尸是AB上一动

点，连接。尸，将线段。尸绕点。逆时针旋转60。得到线段0。.要使点D恰好落在BC

【考点】JA：平行线的性质；KB：全等三角形的判定；KK：等边三角形的性质；R2：

旋转的性质.

【分析】由于将线段OP绕点0逆时针旋转60。得到线段OD,当点。恰好落在BC上

时，易得：△OOP是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP0ZkCDO,由此可以

求出AP的长.

【解答】解：当点。恰好落在2C上时，OP=OD,NA=/C=60°,如图.

"：ZPOD=6Q°

：.ZAOP+ZCOD=ZCOD+ZCDO=120°,

，ZAOP=ZCDO,

：.AAOP^ACDO,

：.AP=CO=6.

故选：c.

pB

【点评】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解.属探索性问题，难度较大,

近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学

习意义深远.

10.(3分)如图，二次函数〉=局+笈+。的图象经过点A(-3,0),其对称轴为直线》=

-1,有下列结论：

@abc<Q；

②a-b-2c>0；

③关于x的方程a/+(b-m)x+c=7〃有两个不相等的实数根；

④若尸(-5,yi),Q(相，y2)是抛物线上两点，且yi>”，则实数的取值范围是-

5<m<3.

其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【考点】AA：根的判别式；H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点

的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点.

【分析】由图象和已知可得a>0,c<0,b=2a,c=-3a；

@abc<Q；

^2)6?~b_2c=a-2a+6o=5a>0；

@a)T+(6-m)x+c=m,可化为a/+(2a-m)x-3a-m=0,则4=(2a-m)?+4a

(3a+»i)=16a2+/n2>0；

④与P点y值相等的点为(3,yi),yi>”时有-5〈机<3；

【解答】解：有图可知。>0,c<0,

对称轴为苫=-1,

・，・x=-J^=-1,

2a

**•b=2cl>0；

@abc<0,正确；

@y=cu?+bx+c的图象经过点A(-3,0),

9a-3/?+c=0,

.•.3a+c=0,BPc=-3〃,

•\y=ax1+2ax-3a,

a~b~2c=a~2〃+6〃=5〃>0,

②正确；

③a/+(b-x+c—m,可化为ar，(2a-m)x-3a—m,

ax^+(2a-m)x-3a-m—0,

△=(2a-机)2+4a(3。+能)=167+机2>o,

关于尤的方程(b-m)x+c=加有两个不相等的实数根；

③正确；

④尸(-5,yi),Q(m,y2)是抛物线上两点，且yi>y2,

•'.x=-1是对称轴，

与尸点y值相等的点为(3,yi),

"."yi>y2,

-5<m<3；

④正确；

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象

获取信息，结合函数解析式进行求解是关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)方程(%-2)2=5(x-2)的根为x=2或x=7.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【分析】利用因式分解法求解可得.

【解答】解：：(x-2)2=5(x-2),

(%-2)2-5(%-2)=0,

则（X-2）（X-7）=0,

.'.x-2=0或尤-7=0,

解得尤=2或尤=7,

故答案为：x=2或尤=7.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

12.(3分)方程/-9\+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长

为15.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形

的性质.

【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3,3,6时，②当等

腰三角形的三边是3,6,6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可.

【解答】解：/-9x+18=0,

(x-3)(x-6)=0,

'.x-3=0,x-6=0,

・・xi=3,X2=6,

当等腰三角形的三边是3,3,6时，3+3=6,不符合三角形的三边关系定理，

.•.此时不能组成三角形，

当等腰三角形的三边是3,6,6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=

15,

故答案为：15.

【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应

用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想.

13.(3分)10月8号到校前，帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同

学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有157人，帅童给

12个同学发了短信.

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【分析】设帅童给x个同学发了短信，根据收到这条短信的同学共有157人，即可得出

关于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设帅童给X个同学发了短信，

依题意，得：1+工+/=157,

解得：Xi=-13(舍去)，X2=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

14.(3分)若A(xi,yi)、B(x2,y2)、C(x3,”)为函数y=—)2+4图象上的三

个点，其中X2+无3>4且-1<X1<O<X2<2<X3<4,则yi、>2、*之间的大小关系是_VI

<y3<y2

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,根据题意得出点8距离

对称轴x=2最近，点A最远，根据二次函数的性质即可得到

【解答】解：由函数丫=十6-2)2+4可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,

•.”2+%3>4且-1VXIV0V%2V2VX3<4,

・••点3距离对称轴x=2最近，点A最远，

•\yi<y3<y2

故答案为yi<y3<y2.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解

析式.也考查了二次函数的性质.

15.(3分)若抛物线y=/+bx+c与％轴只有一个交点，且过点4(机-1,n)、B(m+3,n),

则n=4.

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与x轴的交点.

【分析】利用判别式的意义得到。=/2,则抛物线化为y=(x+k)2,所以抛物线的对

称轴为直线x=-回，再利用抛物线的对称性得到2点坐标可表示为(-2+2,n),然后

22

把2(-2+2,W)代入y=(x+2)2中可求出n的值.

22

【解答】解：：抛物线y=/+bx+c与x轴只有一个交点，

/.A=Z>2-4c=0,即c=-Xz>2,

4

.'.y—^+bx+^b2—(x+—)2,

’42

...抛物线的对称轴为直线x=-2，

2

VA(m-1,n)、B(m+3,n),

・・・A点和3点为抛物线上的对称点，,SAB=m+3-(m-1)=4,

.•.2点坐标可表示为(-2+2,”)，

2

把2(-2+2,〃)代入y=(x+—)2得y=(--L+2+—)2=4.

2222

故答案为4.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数>=苏+云+。(a,b,c是常数，

aWO)与龙轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=廿-4改决定抛物线

与无轴的交点个数.也考查了二次函数的性质.

16.(3分)如图所示，AB=6,AC=3,ZBAC=60°,前为。。上的一段弧，J.ZJ50C

=60°,分别在前、线段A2和AC上选取点P、E、F,则PE+EF+FP的最小值为上收

【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；PA：轴对称

-最短路线问题.

【分析】连接BC,A。，作点P关于AB的对称点作点P关于AC的对称点N,连接

MN交AB于E,交AC于F,此时的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FN=MN,求出

MN的最小值即可解决问题.

【解答】解：如图，连接BC,A。，作点尸关于的对称点作点尸关于AC的对称

点N,连接MN交48于E,交AC于R止匕时的周长=尸£+尸尸+所=£知+£尸+尸〃

MN,

，当MN的值最小时，△PEF的值最小，

\'AP=AM^AN,ZBAM=ZBAP,NCAP=NCAN,ZBAC=60°,

：.ZMAN=nO°,

MN=、.&M=”励，

，当以的值最小时，MN的值最小，

取AB的中点J,连接CJ.

\*AB=6,AC=3,

：.AJ=JB=AC=3f

VZJAC=60°,

・•・△JAC是等边三角形，

；・JC=JA=JB,

ZACB=90°,

:BC=22=22=

'VAB-ACVG-33逐

,：ZBOC=60°,OB=OC,

:.AOBC是等边三角形，

：.OB=OC=BC=3M，ZBCO=60°,

AZAC//=30°,

\'AH±OH,

：.AH=1AC=^,CH=V^4H=3'J3,

222

/.OH=CH+OC=9吹,

2________________

'-OA=4AH240卢(^)2+(^-)2=3"

:当点P在直线OA上时，出的值最小，最小值为3\7-3«,

的最小值为'巧《3救-3愿）=3收-9.

故答案为：3—21-9.

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角

三角形的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）解方程：7-4尤-3=0.

【考点】A6：解一元二次方程-配方法.

【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全

平方式，右边化为常数.

【解答】解：移项得，-4x=3,

配方得/-4x+4=3+4,

即（x-2）

开方得x-2=土有，

.,.Xl=2+V7，XI—1-yfj.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如/+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加

上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.

（2）形如a/+6x+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0,然后配

方.

18.（8分）如图，某小区有一块长为30%宽为24机的矩形空地，计划在其中修建两块相

同的矩形绿地，它们的面积之和为480〃？，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,

则人行通道的宽度为多少米？

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【分析】设人行通道的宽度为尤米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）〃z,宽为（24

-2无）m,根据矩形绿地的面积为480W，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可

得出尤的值，经检验后得出x=20不符合题意，此题得解.

【解答】解：设人行通道的宽度为X米，将两块矩形绿地合在一起长为（30-3x）m,宽

为（24-2x）m,

由已知得：（30-3x）・（24-2无）=480,

整理得：X2-22x+40=0,

解得：xi=2,X2=20,

当x=20时，30-3x=-30,24-2x=-16,

不符合题意，

答：人行通道的宽度为2米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是

解题的关键.

19.（8分）如图，AB是的直径，CD是的弦，AB.CD的延长线交于点E.已知

AB=2DE,NAEC=25°,求/AOC的度数.

【考点】Ml：圆的认识.

【分析】求/AOC的度数，可以转化为求/C与/E的问题.

【解答】解：连接

；AB=2DE=2OD,

：.OD=DE,

又.：NE=25：

：.ZDOE=ZE=25°,

ZODC=50°,

同理/C=NOZ）C=50°

ZAOC^ZE+ZOCE=15°.

【点评】本题主要考查了三角形的外角和定理，外角等于不相邻的两个内角的和.

20.(8分)如图，在△ACD中，ZACD=90°,AC=b,CD=a,AO=c，点8在CD的延

长线上

(1)求证：关于x的一元二次方程以2+，"急+6=0必有实数根；

(2)当b=3,C2=5时.将线段AO绕点。顺时针旋转90°,得到线段。E,连接8E,

则当。的值为多少时，线段8E的长最短，最短长度是多少？

【考点】AA：根的判别式；J4：垂线段最短；KQ：勾股定理；R2：旋转的性质.

【分析】(1)证明判别式△》()即可.

(2)过E作所，BC于R根据余角的性质得到NZ)EF=/AZ)C,根据全等三角形的性

质得至UOE=AC=3,EF=CD,设CO=x,根据勾股定理得到8序=/+(2-%)2=2(%

-1)2+2,于是得到结论.

【解答】(1)证明：VZACD=90°,AC=b,CD=a,AD^c

.".cT—c^+b2,

对于一元二次方程aj?+yp2px+b=0,

△=2-4。5=2屋+2庐-4。。=2(a-b)2^0,

，关于x的一元二次方程ax1+-\[2px+b=0必有实数根

(2)解：过E作EF_LBC于尸.

VZC=ZAD£=90°,

：.ZEFD=ZC=90°，ZFED+ZEDF=90°，ZEDF+ZADC=90°，

:./DEF=/ADC,

在和△D4C中，

，ZDEF=ZADC

'ZEFD=ZC，

,AD=DE

；.△££)修△ZMC(AAS),

：.DF=AC=3,EF=CD,

设CD=x,贝!J8炉=尤2+(2-无)2=2(x-1)2+2,

；.8片的最小值是2,

的最小值是加.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定

理的应用，关键是得出二次函数的解析式.

21.(8分)正方形ABC。和正方形AEEG,AB=12,AE=6&.设NA4E=a(0°WaW45°,

点E在正方形ABC。内部)，8E的延长线交直线DG于点Q.

(1)求证：LADG义LABE；

(2)试求出当a由0。变化到45°过程中，点。运动的路线长，并画出点。的运动路

径；直接写出当a等于多少度时，点G恰好在点。运动的路径上.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；04：轨迹.

【分析】(1)由正方形的性质得出AG=AE,ZEAG=ZBAD=90°,易证/

DAG=/BAE,由SAS证得△AOG四△ABE；

(2)由△AZ)G也△ABE,得出则/8QO=/54。=90°,得出点Q的

运动轨迹是以8。为直径的面，所对的圆心角是90°,扬8=12料，则点。的

一90X71X,X12点广r-1

运动路径长=--------------------=3\;2n,AE=6x/2>得出AE=AG=±?£)=QD,

1802

当B、E、G三点共线，且。G=。。时，。与G重合，则△OAG是等边三角形，得出/

GAO=60°,推出/BAE=/D4G=60°-45°=15°,即可得出结果.

【解答】(1)证明：：四边形ABCD与四边形AEPG是正方形，

：.AD=AB,AG=AE,ZEAG=ZBAD=90°,

：.ZDAG+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90°,

：.ZDAG=ZBAE,

'AD=AB

在△AOG和△ABE中，，ZDAG=ZBAE>

,AG=AE

AADG^AABE(SAS)；

(2)解：VAADG^AABE,

：.ZADG=NABE,

：.ZBQD=ZBAD=9Q°,

...点0的运动轨迹是以为直径的面，所对的圆心角是90°,

\'AB=n,

:.BD=弧铝=12近,

90Xnx^xi2V2L

二点Q的运动路径长=--------------------=3J乐，

180

点。的运动路径如图1所示：

"：AE=642>

：.AE=AG=1.BD=OD,

2

当8、E、G三点共线，且。G=O。时，。与G重合，如图2所示：

则△OAG是等边三角形，

.\ZGAO=60°,

VZDAC=45°,

：.ZBAE^ZDAG^6Q°-45°=15°,

...当a=15°时，点G恰好在点。运动的路径上.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性

质、圆的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质与圆的性质是解题的关键.

22.（10分）有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱

为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷

水池中心的立杆上点T处汇合.如图所示为截面图，以水平方向为无轴，喷水池中心为

原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式；

（2）正在喷水时，身高1.8米的人，应站在离水池中心多远的地方就能不被淋湿？

（3）在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱

仍在喷水池中心的立杆上点T处汇合，请探究扩建后喷水池水柱的最大高度.

【考点】HE：二次函数的应用.

【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8,0）,求出。值，此题得

解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论;

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形

状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-M+bx+W,

55

代入点（16,0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出

结论.

【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5

（20）,

将（8,0）代入y=a（x-3）2+5,得：25a+5=0,

解得：a=-―,

5

水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为＞=-工（尤-3）2+5（0＜x＜8）.

5

（2）当y=L8时，有-_1（尤-3）2+5=18,

5

解得：xi=-1,%2=7,

・••为了不被淋湿，身高1.8米的人，站立时必须在离水池中心7米以内；

（3）当x=0时,y=-—（x-3）2+5=

55

设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为＞=-工3+灰+生，

55

:该函数图象过点（16,0）,

.-.0=-Axi62+16Z?+.l^-,解得：b=3,

55

...改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为＞=-l^+3x+^-=-1（x

555

__15）2,289

T-2CT'

扩建改造后喷水池水柱的最大高度为侬■米.

20

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，

解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二

次函数图象上点的坐标特征求出当y=L8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数

法求出二次函数表达式.

23.（10分）在△ABC中，AB=BC=2M，NABC=120°,比为等边三角形，CD=2,

连接A。，M为中点.

（1）如图1,当B,C,E三点共线时，请画出关于点M的中心对称图形，并证

明BM±ME；

（2）如图2,当A,C,E三点共线时，求3M的长；

（3）如图3,取中点N,连MN,将△[£）£绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段

MN的取的范围是-1WMNW、隔1.

【考点】RB：几何变换综合题.

【分析】（1）先作出图形，进而证明尸丝△OWE,即可得出结论；

（2）同（1）的方法得出利用四边形的内角和定理及平角的定义得出

即可得出/2加£=90°,最后用勾股定理即可得出结论；

（3）同（2）的方法得出/8腔=90°,进而得出BE=2MN,最后用三角形的三边关系

即可得出结论.

【解答】解：（1）证明：如图1,

延长BA,EM交于点F,即：△出M即为所求，

•.•△CQE是等边三角形，

:.CD=CE=DE,ZCED^60°,

VZABC=120°,

AZABC+ZCED=180°,

:B,C,£三点共线,

：.AB//DE,

：.ZFAM=ZMDE,ZMED=ZF,

:点M是AD中点，

：.AM=DM,

：.AAMF沿/\DME,

：.AF=DE=CE,FM=ME,

'：AB=BC,

：.BF=BE,

：.BM±ME；

(2)证明：如图2,延长EM到点R使MF=ME,连接BRAF,BE,

9：AM=DM,/FMA=/DME,

：.AAMF经ADMF,

；・AF=DE=CE,/FAD=/ADE,

在四边形5AOE1中，•・・N5AZ)+NAZ)E+NJDE3+NEBA=360°,

VZABC=120°,ZCED=6Q°,

・・・ZCBE+ZCEB+ZBAD+ZADE=180°,

•；NCBE+NCEB+NBCE=180°,

NBCE=ZBAD+ZADE,

：・/BCE=/BAF,

VAB=AC,

・・・AAFB^ACEB,

:・BF=BE,ZABF=ZCBE,

：.ZFBE=ZABC=120°,/BEF=30°,

：.ZBME=90°,BE=2BM.

在△ABC中，AB=AC=2^ZABC=120°,：.ZBAC=30°,

过点B作BGLAC于G,

:・BG=M，CG=AG=3f

：.EG=CG+CE=3+2=5

在RtZXBCE中，根据勾股定理得，BE=2我,

(3)如图3,延长石”到点R使连接3RAF,BM,

9：AM=DM,NFMA=NDME,

：.dAMFmADME,

：.AF=DE=CE,ZFAD=ZADEf

在四边形BAZ)片中，•・・N5AO+NAZ)E1+N。砂+NE3A=360°,

VZABC=120°,ZCED=60°,

ZCBE+ZCEB+ZBAD+ZADE=180°,

•/ZCBE+ZCEB+ZBCE=180°,

NBCE=ZBAD+ZADE,

：.ZBCE=ZBAF,

"：AB=CB,

：.△AFBeCEB,

：.BF=BE,/ABF=NCBE,

：.ZFBE=ZABC=nO°,/BEF=3Q°,

:.NBME=90°,

:点N是BE的中点，

:.MN=LBE,

2

即：BE=2MN,

在△BCE中，BC=2M，CE=CD=2,

.•.2A/3-2<B£<2^34-2,

2MN<2.舟2,

即：

故答案为：Q1WMNW心

图1

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和

定理，平角的意义，三角形外角的性质，解本题的关键是作出辅助线判断出

BAF.

24.（12分）如图1,已知直线与抛物线〉=1乂2交于A、8两点在8的左侧），

4

交y轴于点C.

（1）若AB=4,求a的值；

（2）若抛物线上存在点。（不与A、8重合），使CD=」AB,求a的取值范围；

2

（3）如图2,直线>=息+2与抛物线交于点E、凡点尸是抛物线上的动点，延长PE、

P尸分别交直线y=-2于M、N两点，MN交y轴于。点，求QM・QV的值.

图1图2

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】（1）由抛物线的对称性可知点A,B的横坐标，可求出其纵坐标，即可得到a

的值；

（2）先用含“的代数式表示出C。的长，设点。的坐标为（26，m）,如图1,过点。

作D/Ly轴于反，通过勾股定理求出。与根的关系，由加NO,可求出a的取值范围；

（3）设E（xi,-Xci2）,F（X2,Xr22）,P（〃，L，），求出直线PE,PF的解析式，求

444

出点N的纵坐标，联立抛物线与直线丫=代+2,得出工2_日一2=0,利用一元二次

4

方程根与系数的关系可求出X