2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2024届高三上学期期初质量监测数学试题一、选择题1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可得，图中阴影部分表示的集合为，因为，所以或，，故选：A.2.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：A3.已知函数在区间上是减函数，则取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗可得，则，但是当时，，有可能小于零，此时不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，函数为奇函数，排除.当时，，，故，排除.故选：.【『点石成金』】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.6.已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，故.故选：B.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由幂、指数函数性质知：，，对于、，等号两边取对得、，所以、，令且，则，即递减，所以，即，故，综上，.故选：A8.记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下：①当时，函数在区间上单调递增，即，此时单调递减，；②当时，，所以，易知当时，，当，，此时；③当时，，即，易知当时，，当，，此时；

而，综上可知的最小值为.故选：A.二、选择题9.任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A. B.当，时，C.当，时， D.当，，且为偶数时，复数为纯虚数〖答案〗AC〖解析〗选项A：，故，又因为，所以，选项A正确；选项B：当，时，由棣莫弗定理得，，所以选项B错误；选项C：当，时，由棣莫弗定理得，，所以所以选项C正确；选项D：当，时，由棣莫弗定理得，，当时，，此时不为纯虚数，所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误；故选：AC.10.已知，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗取，则，A错误；因为，所以，当且仅当时，等号成立，B正确；，当且仅当，即时，等号成立，C正确；，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：BCD11.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为为R上的奇函数，所以；因为为偶函数，所以，故B正确；由可得，所以；因为，其结果不一定为零，故A不正确；由得，所以，故C正确；由得，所以周期为4，所以，因为从题目无法得出，故D不正确；故选：BC.12.已知函数有两个零点，，且，则（）A. B.随的增大而减小C.随的增大而增大 D.随的增大而增大〖答案〗ABD〖解析〗令得，因为函数有两个零点，则方程有两个根,即有两个根.令，，则与有两个公共点..令，得.令，得；，得.所以在上单调递增；在上单调递减.所以时，有最大值.趋近于时，趋近于；趋近于时，趋近于.作出的图象，如图所示：因为与有两个公共点，所以，故A正确.因为函数有两个零点，则.当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，随之减小，趋近于1，则减小，即随的增大而减小.故B正确.由上面可知，当增大趋近于时，趋近于2；当减小趋近于0时，趋近于0,趋近于.所以趋近于.故C错误.由得.设，则.由，得；所以.令，.令，，令，则，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，因此随着的增大而减小，由图象可知随着的增大而减小，所以随着增大而增大.故D正确.故选：ABD三、填空题13.写出满足且的一组数对______.〖答案〗（〖答案〗不唯一，，即可）〖解析〗根据且可得，.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，，即可）.14.若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为故〖答案〗为：15.已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳-14含量，为树龄（单位：年）.通过测定发现某古树样品中碳-14含量为，则该古树的树龄约为______万年.（精确到0.01）（，）〖答案〗0.42〖解析〗由题意得，即，两边取对数得，变形得到，因为，，所以年，故该古树的树龄约为0.42万年.故〖答案〗为：0.4216.已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗令，则，解，得，当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解，此时方程有3个不同的实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意；当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意.综上，实数的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知集合，.（1）若，求；（2）若是的充分且不必要条件，求的取值范围.解：（1）由，解得或，所以或，当时，解不等式得，所以，所以或.（2）因为或，所以由，得，所以，因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得，故的取值范围为.18.已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）若存在实数，使得成立，求的取值范围.解：（1）因为定义域为，又因为为奇函数，所以，即，得当时，，所以，所以（2）可化为，因为是奇函数，所以又由（1）知，设，且，则，因为，所以，，，所以，即故是上的减函数，所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，所以，解得.所以的取值范围为19.已知函数，.（1）若函数的定义域和值域均为，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.解：（1）因为的图象开口向上，且对称轴为，所以在上单调递减，所以，，因为定义域和值域均为，所以，解得.（2）因为在上是减函数，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以，因为对任意的，，总有成立，所以，即，整理得，，解得，，又，所以的取值范围为.20.已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.（1）求的〖解析〗式；（2）若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.解：（1），因为，且的图象经过，两点.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极小值，所以，又因为，，所以，，解方程组得，，，所以.（2）设切点为，则，因为，所以，所以切线方程为，将代入上式，得.因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解.记，则导函数，令，得或1.列表：01+0-0+↗极大↘极小↗所以的极大值为，的极小值为，所以，解得.故的取值范围是.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.（1）解：的定义域为，导函数，当时，，在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.要证，只需证，即证设，导函数，令，解得.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以，所以，所以.22.已知函数（1）若，证明：；（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.（1）证明：时,,令,则,当时,,在上为递减函数,当时,,在上为增函数,所以,而,且,所以即.（2）解：在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根,等价于,设,,令,得,当时,,在上为减函数,当时,,在上为增函数,又,,所以当时,方程在上有两个不同的实数根,所以的取值范围是.江苏省南通市2024届高三上学期期初质量监测数学试题一、选择题1.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由图可得，图中阴影部分表示的集合为，因为，所以或，，故选：A.2.已知为虚数单位，则复数的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：A3.已知函数在区间上是减函数，则取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗可得，则，但是当时，，有可能小于零，此时不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，函数为奇函数，排除.当时，，，故，排除.故选：.【『点石成金』】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.6.已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.又的图象在处的切线方程为，所以，解得，则，所以，代入切线方程得，解得，故.故选：B.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由幂、指数函数性质知：，，对于、，等号两边取对得、，所以、，令且，则，即递减，所以，即，故，综上，.故选：A8.记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗以下只分析函数在上的图象及性质，分类讨论如下：①当时，函数在区间上单调递增，即，此时单调递减，；②当时，，所以，易知当时，，当，，此时；③当时，，即，易知当时，，当，，此时；

而，综上可知的最小值为.故选：A.二、选择题9.任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A. B.当，时，C.当，时， D.当，，且为偶数时，复数为纯虚数〖答案〗AC〖解析〗选项A：，故，又因为，所以，选项A正确；选项B：当，时，由棣莫弗定理得，，所以选项B错误；选项C：当，时，由棣莫弗定理得，，所以所以选项C正确；选项D：当，时，由棣莫弗定理得，，当时，，此时不为纯虚数，所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误；故选：AC.10.已知，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗取，则，A错误；因为，所以，当且仅当时，等号成立，B正确；，当且仅当，即时，等号成立，C正确；，当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：BCD11.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为为R上的奇函数，所以；因为为偶函数，所以，故B正确；由可得，所以；因为，其结果不一定为零，故A不正确；由得，所以，故C正确；由得，所以周期为4，所以，因为从题目无法得出，故D不正确；故选：BC.12.已知函数有两个零点，，且，则（）A. B.随的增大而减小C.随的增大而增大 D.随的增大而增大〖答案〗ABD〖解析〗令得，因为函数有两个零点，则方程有两个根,即有两个根.令，，则与有两个公共点..令，得.令，得；，得.所以在上单调递增；在上单调递减.所以时，有最大值.趋近于时，趋近于；趋近于时，趋近于.作出的图象，如图所示：因为与有两个公共点，所以，故A正确.因为函数有两个零点，则.当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，随之减小，趋近于1，则减小，即随的增大而减小.故B正确.由上面可知，当增大趋近于时，趋近于2；当减小趋近于0时，趋近于0,趋近于.所以趋近于.故C错误.由得.设，则.由，得；所以.令，.令，，令，则，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，因此随着的增大而减小，由图象可知随着的增大而减小，所以随着增大而增大.故D正确.故选：ABD三、填空题13.写出满足且的一组数对______.〖答案〗（〖答案〗不唯一，，即可）〖解析〗根据且可得，.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一，，即可）.14.若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为故〖答案〗为：15.已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳-14含量，为树龄（单位：年）.通过测定发现某古树样品中碳-14含量为，则该古树的树龄约为______万年.（精确到0.01）（，）〖答案〗0.42〖解析〗由题意得，即，两边取对数得，变形得到，因为，，所以年，故该古树的树龄约为0.42万年.故〖答案〗为：0.4216.已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗令，则，解，得，当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解，此时方程有3个不同的实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意；当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意；当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意.综上，实数的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题17.已知集合，.（1）若，求；（2）若是的充分且不必要条件，求的取值范围.解：（1）由，解得或，所以或，当时，解不等式得，所以，所以或.（2）因为或，所以由，得，所以，因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得，故的取值范围为.18.已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）若存在实数，使得成立，求的取值范围.解：（1）因为定义域为，又因为为奇函数，所以，即，得当时，，所以，所以（2）可化为，因为是奇函数，所以又由（1）知，设，且，则，因为，所以，，，所以，即故是上的减函数，所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，所以，解得.所以的取值范围为19.已知函数，.（1）若函数的定义域和值域均为，求的值；（2）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.解：（1）因为的图象开口向上，且对称轴为，所以在上单调递减，所以，，因为定义域和值域均为，所以，解得.（2）因为在上是