高中数学-高考数学知识点、解题方法和技巧

预祝各位考生取得好的成绩

高考数学知识点汇编(全套)

函数

1.函数的定义

(1)映射的定义:

(2)------映射的定义:

上面中是映射的是，是一一映射的是.

(3)函数的定义：(课本第一册上.P51)

2.函数的性质

(1)定义域：(南师大P32复习目标)

(2)值域:

(3)奇偶性(在整个定义域内考虑)

①定义：

②判断方法：I.定义法步骤：a.求出定义域；

b.判断定义域是否关于原点对称；

c.求/(-X)；

d.比较/(—X)与/'(X)或/(—X)与-/(%)的关系。

II图象法

③已知：H(x)=f(x)g(x)

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内“(X)为偶函数

若非零函数/(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为奇函数

④常用的结论：若/(x)是奇函数，且Ow定义域，则/(0)=0或/'(—1)=-/⑴：

若/(x)是偶函数，则/(-1)=/(I)；反之不然。

(4)单调性(在定义域的某一个子集内考虑)

①定义：

②证明函数单调性的方法：

I.定义法步骤：

a.设X],%2€〃且X]<x2;

b.作差/(七)—/。2);

(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出)

C.判断正负号。

II用导数证明：若/(x)在某个区间A内有导数，

则/'(x)20，(x€/)/(x)在A内为增函数；

f(x)<0,(x€/)<=>/(x)在A内为减函数。

③求单调区间的方法：

a.定义法：

b.导数法：

c.图象法：

d.复合函数y=/[g(x)]在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则/[g(x)]为增函数；

若f与g的单调性相反，则/[g(x)]为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(X)+减函数g(x)是减函数;

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数;

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

d.函数y=ax+—(a>0,b>0)在(-co,-y［ab,,+8)匕单调递增；在

［-a,0货(0,痴］上是单调递减。

(5)函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任-x,使/(x+T)=/(x)恒成立

则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

例：(1)若函数/(x)在R上是奇函数，且在(—1,0)上是增函数，且/(x+2)=—/(x)

则①/(x)关于对称；②/(X)的周期为；

③/(x)在(1,2)是—函数(增、减)：

④若xe(0,D时，/(x)=2',贝I」/(log：)=。

2

(2)设/(x)是定义在(-00,+8)上，以2为周期的周期函数，且/(x)为偶函数,

在区间［2,3］上，八%)=—2(》—3)2+4,则%€［0,2］时，/*)=。

3、函数的图象

1、基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)指数函

数、(5)对数函数、(6)三角函数。

2,图象的变换

(1)平移变换

①函数歹=/(》+。),(。>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左平

移“个单位得到的；

②函数>=/(x+"),(a<0)的图象是把函数丁=/(x)的图象沿x轴向右平

移同个单位得到的；

③函数丁=/(》)+。,(。>0)的图象是把函数^=/(对的图象沿)；轴向上平

移。个单位得到的；

④函数y=/(x)+«,(«<0)的图象是把函数歹=/(x)的图象沿y轴向下平

移同个单位得到的。

(2)对称变换

①函数歹=/(x)与函数y=/(—X)的图象关于直线x=0对称；

函数y=/(X)与函数y=-/(X)的图象关于直线y=0对称；

函数y=/(x)与函数夕=-/(-%)的图象关于坐标原点对称；

②如果函数y=/(x)对于一切xeR,都有/(x+a)=/(x—a),那么夕=/(x)

的图象关于直线x=“对称。

③函数y=/(“+x)与函数y=/(a—x)的图象关于直线x对称。

④歹=/(x)-歹=|/(刈

yfyf

x

V7\y=l/()l/

oT''X

0X

⑤y=/(x)-y=/(忖)

y八叶

'<7、y=〃|司)/

0X

@y=/一|(》)与歹=/(x)关于直线丁=二X对称。

(3)伸缩变换

虫^=勾(0,(4>0)的图象，可将丁二=/(X)的图象上的每一点的纵坐标伸长

(a>1)或缩短(0<o<1)到原来的a倍。

②丁二/(衣),(。>0)的图象，可将歹=/(x)的图象上的每一点的横坐标伸长

(0<a<1)或缩短(。>1)到原来的-倍。

a

例：(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),则/(4一工)的反函数的图象

过点_______O

(2)由函数y=(g)、的图象，通过怎样的变换得到y=log；的图象？

4、函数的反函数

1、求反函数的步骤：

①求原函数歹=/(x),(》6〃)的值域8

②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互换的y=/(x)的反函数为y=/i(x),(xeB)o

2、函数与反函数之间的一个有用的结论：/1(a)=60/(6)=a

3、原函数y=/(x)在区间［-。,句上单调递增，则一定存在反函数，且反函数

N=/T(X)也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

例1：y=3log<'-x),(x>0)的反函数为。

2：已知/(x)=—+2x+3,(xN0),求y=/(2x-l)的反函数。

3：设f(x)=9'一2•3',则尸(0)=。

4：四十五分钟能力训练题十(13题)。

5、函数、方程与不等式

1、“实系数一元二次方程ax2+bx+c^O有实数解”转化为“△="一4acN0”，

你是否注意到必须a#0；当a=0时，“方程有解”不能转化为A=/一4ac20。

若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能

为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设Xi，/为方程/(x)=0,(。>0)的两个实根。

②当在区间(〃],〃)内有且只有个实根，时,

卜1)/(⑼•/(〃)<0

<z><

.(2)考虑端点，验证端点。

③当在区间(私〃)内有且只有两个实根时,

A>0

b

m<-----<n

2a

/(⑼>0

/(H)>0

④若tn<xx<n<p<x2<q时

7•(⑼•/(“)<o

J(p)•/⑷<o

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

例：1、对于定义在R上的函数/(x)=14x—,tn若其所以的函数值都不超过1,

x+1

则m的取值范围。

2、已知函数》=1082皿"心心的定义域是一切实数，则ae。

3、若关于x的方程22、+2*・。+。+1=0有实根，则ae。

4、设集合A={x|x2-4x+3<0),B是关于x的不等式组

x~—2x+aK0

\,的解集，试确定a的取值范围，使

x-2(a+7)x+5<0

5、已知方程/+mV+加+1=0的两个根为一个三角形两内角的正切值,

试求加的取值范围。

直线、平面、简单几何体

一、知识结构

平面平面的概念和性质（三条公理及三个推论）

一平行直线一平行直线的传递性（公理

空间两

一条直线

直

线

、

平

面

、

简

单

几

何

一平面与平面平行平面的距离

---------------屈置,「垂直相交

-平面与平面相交|_悭四」

二面角及其平面角

L棱柱

多面体与

正多面

L宣——而表面积和体积

另注：三余弦公式？其中二为线面角，P为斜线与平面内直线所成的角，。为？

二、主要类型及证明方法（主要复习向量法）

1、定性：

（1）直线与平面平行向量法有儿种证法;非向量法有种证法。

（2）直线与平面垂直向量法有儿种证法;非向量法有种证法。

（3）平面与平面垂直向量法有几种证法;非向量法有种证法。

2、定量：

—,■—*■-*P4•ri

（1）点P到面的距离d=|PA-cos<PA,n>|=|—^―|

hl

（2）异面直线之间的距离：（同上）

（3）异面直线所成的角凡cos6=cos<尸/,〃>

（4）直线与平面所成的角6：sin0-cos<PA,n>

(5)锐二面角6：cos^=cos<m,n>

三、例题

1.设集合/=｛正四面体｝,8=｛正多面体｝,C=｛简单多面体｝,则/、B、C之间的关系

为（A）

44u2uCB.AuCczBC.C（zB<zAD.CcAc^

2.集合/=｛正方体｝,8=｛长方体｝,C=｛正四棱柱｝,则/、B、C之间的关系为（B）

A.AcJ3aCB.AuCECCUD.BciAuC

3.长方体/BCD-49。。中，E、F、G分别是N8、BC、89上的点，则△EFG的形状是

（C）

4等边三角形8.直角三角形C.锐角三角形D钝角三角形

4.长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为a、夕、y,则有（A）

A.cos1a+cos2p+cos1y=1B.sin2a+sin2p-^sm2y=1

C.cos2a+cos2fi+cos2y=2D.sin'a+sin^p+sirTy=3

5.长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为a、B、y,则有（B）

A.cos1a+cos2fi+cos1y=1B.sirTa+sin2fi+sin2y=1

C.cos2a+cos1/｝+cos2y=3D.sirTa+sirTfi+sin2y=2

6.长方体/BCD一中，ZD1BA=45°,ZD,BB1=60°,则ND6C=（C）

430。8.45。C.60°D.75°

7.长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,则这个长方体的一条体对角线长为（C）

42小B.y[\4C.5D.6

8.棱锥的底面积为S,高位h,平行于底面的截面面积为S,则截面与底面的距离为（）

，他一炳〃?（小+炳〃「（S-SMn（S+SM

4小小C—F-D.s

A

9.三棱锥尸一/8C的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（）

4内心8.外心C.垂心D重心

B

10.三棱锥P-ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形

的（）

4内心8.外心C.垂心D重心

B

11.三棱锥P—N8C的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三

角形的（）

4内心氏外心C.垂心D重心

A

12.三棱锥P—/8C的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的（）

4内心B.外心C.垂心。.重心

C

13.三棱锥V-ABC^,以侧面与底面N8C所成的二面角分别为a、

0、》（都是锐角），则cosa+cosp+cosy—（）

A.\B.2C；

A

14.四面体的四个面中，下列说法错误的是（）

4可以都是直角三角形区可以都是等腰三角形

C.不能都是顿角三角形D可以都是锐角三角形

c

15.正〃棱锥侧棱与底面所成角为a,侧面与底面所成角为夕，则：句步=（）

,71-7r-2兀2%

A.sirrB.cos~C.sin-D,cos-

nnnn

B

16.一个简单多面体的各个面都是三角形，且有6个顶点，则这个多面体的面数为（)

AAB.6C.8DAO

C

17.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为（）

117111

A.arccos^B.7t—arcco^C^—arcco^D.-arcco^

B

18.正方体的全面积为它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积为（）

22

A卑8詈C2,uaD37ra2

B

19.一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5,且它的顶点都在一个球面上，这个球的表面

积为（）

42M兀B.25gC50兀0.20071

C

20.在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC

=a,那么这个球面的面积是（）

A.2na28.3兀a?C.47ta2D.6jra2

B

21.北纬30。的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为（）

41：1B.2：1C币：1D.巾：1

A

22.地球半径为R,在北纬30°的圆上有两点A、B,A点的经度为东经120°,B点的经度

为西经60。，则A、B两点的球面距离为（）

4%RB坐itRC.^TIRD|XR

D

23.球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的幺经过这三个点的小

O

圆周长为4兀，那么这个球的半径为（）

44小B.2小C.2D币

B

24.球面上有三个点A、B、C,其中AB=18,BC=24,AC=30,月一球心到平面ABC的距离

为球半径的一半，那么这个球的半径为（）

410V§5.10C.20Z）.3O

A

25.在北纬60。圈上有甲、乙两地，它们在纬度线上的弧长等专R,R为地球半径，则这两

地的球面距离为（）

A.y[2nR兀RC.坐7tRD坐7tR

B

填空题：

设m、n是不重合的两条直线，a,夕,/是不重合的平面，给出下列命题：请判断其是否正

确，如错误，请举出反例。

若〃〃a,a则〃

若加_L〃,"_La,加_1_尸，则a_L〃

若〃_La,a_L夕,〃7u1，则加〃〃

若〃_L夕,a_L夕，则力〃a或〃ua

若a_Ly,/_L丸，则a〃1

若。内有不共线的三点到月的距离相等，则a〃/

若aua,buB，aHJ3.b//[3,则二〃/3

若a、b是异面直线，aua,bup、aHB，bMB,\aallB

三、解答题

26.如图：已知正三棱柱力5。一⑷9。的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点。

(1)求异面直线/夕与8。的夹角；

(2)在直线CC上求一点N,使得又乂，49。

(3)若AB的中点为P,BC，的中点Q,求证：PQ〃面ABC

(1)解法一：因为初，=助+协1箫=颜，+"又因为4BC—是正三棱柱，:.

油_1_的，仍LL死，〈加比＞=半山题意，扇=|戌"1=1,阕1=2从而得：

刀，•我"=(油+仍)(历，+比)=力闻，+(历¥+助“吐，+m"戌"=|历f+筋.或＞,=4

7

7＞47^'•/??*'，27

十|力||戌1'|cosvJS•戌Tcos＜勘'，觉＞=------=£=77**•

2I矽品1510

77

＜A^。觉＞=arccos~^即异面直线Z8与8C的夹角为arccos~^

解法二：以力点为坐标原点，44为z轴，/C为y轴，建立空间直角坐标系，

由题意：4(0,0,0),8咨，0),B*,2),C(0,1,2)

^—(2»2f2)泥，=(0,1,2)—(2»2f0)=(一坐,2)

日—办.盼—有』2).(一坐；,2)_7

।刀II元[yj(^)2+(1)2+22-^(-^)2+(1)2+2210

77

〈求即异面直线/9与8。的夹角为arccosrx

（2）解法一：设m=》助，由题意可得：砒=3盼

27r

殖=油+附,,碉=就+西<油,数>=3

'：硝工而，：.相加=0也就是（处+防W戒1+西=0

懑・破+勘，•破+油・m+防，•的=0；.|A&|-|A7t|co5-<J5,Mb>+x\^=o：.-1+

4x=0.*.x=77即当时，AB'VMN.

10o

解法二：同解法一建立空间直角坐标系，

有2（0,0,0）,8咨，1,0）,M坐，1,0）,M。，1-z）

痛，=（坐,；,2）,您/'=（一坐,；,z）V加工郎,AS'-M^/—O

•*.（2）2）2）'（一坐，4,z）=°•*•—1+|+2z=0

解得z=J,:.N=g,1,1）即CN=J时，AB」MN.

OOO

⑶非向量法略，另向量法：方法-、基向量（待定系数法）。斗h丁1）

k

吟■yf^73），则践--=（叼1,。），又因为-"-8*=（学于1。），-这-*=（。,1,。）

区+0y

0=

2

]_I"*1-----*

设尸。=r46+丁4。得・=~x+y得x=0,y=l/2,所以产。=5〃。+0/8所以

2

0=Ox+Oy

PQ与面ABC共面，又因为P0（Z面48C,所以PQ〃面ABC

X

例2已知/'(%)=----(XW-1).(来源课本第二册P17、EX9；P23、EX4；P3EEX3)

x+1

(1)求/'(X)的单调区间；⑵求证:x>N>0,有了(x+y)</(x)+/G).

14

(3)若〃>b>O,c=-------，求证:/(。2)+/(c)>

(a—b)b5

W：(1)对已知函数进行降次分项变形，得/(x)=l-——,

X+1

・・・/(X)在区间(-泡-1)和(-1,+8)上分别单调递增.

(2)首先证明任意x>^>0,</1(%+y)</(%)+f(y).事实

上J(X)+2)=F+W=；+：+"1>^二+：『/3+、

而盯+x+y>x+y,由(1)矢"(a+x+y)〉f{x+y),

11

・••/(x)+/(y)>/(x+y)c--------->------------

(a-b)b,a-b+b7*'

44

：.a2+c>a2+—>4.f(a2)+f(c)>f(a2+c)>,/(4)=-.

a5

函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好

题型，在高考备考中有较高的训练价值.针对本例的求解，佛蹒想至耻明任意

x〉y>0,有了。+用</。)+/(历.采用逆向分析法，给出你的想法!

例4对于函数/(X),若存在/€火,使/80)=%成立，则称4为f(x)的不动点。如果函

21

数/(力=三+(6,0€")有且只有两个不动点0,2,且/(—2)<--，

hx-c2

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)已知各项不为零的数列｛%｝满足4S“■/(—)=1,求数列通项％；

a”

(3)如果数列｛%｝满足卬=4,。,田=/(«„),求证：当〃22时，恒有<3成立.

X24-77

讲解：依题意有一^=x,化简为(1—6口2+cx+a=0,由违达定理，得

hx-c

c

2+0a=0

一解得x2

C,代入表达式/(x)=-------------,由

a6=1+-/一、

2-0百，2(l+-)x-c

­?1

f(-2)=----<——，得c<3,又cGN,bwN,若。=0,Z>=1,贝如(x)=x不止有两个不

1+c2

r2

动点，：.c=2,b=2,故/(X)=------

2(x-1)

(―)2

(2)由题设得4S“•一半一=1得：2S“=%—端，(*)

2(--1)

%

且。,尸1,以〃-1代〃得:2s“_]=一“3(**)

由(*)与(**)两式相减得：

2«„=(«„一(4；一)，即(4+)(«„-«„-i+1)=0,

a“=一a“_]或4-g_|=一1,以〃=1代入(*)得：2/=%-a；,

解得。|=0(舍去)或。]=一1,由4]=-1,若。“=—a"T得。2=1，这与工1矛盾，

•.•明—。,1=一1，即｛4｝是以T为首项，T为公差的等差数列，...4=—〃；

2

(3)采用反证法，假设凡23(〃22),则由(1)知=/(4)=—"一

2%-2

二孰/4八=(.(1+—^)<1(1+()=[<1，即4向<a“(〃N2,〃eN),有

2(«„-1)2an-\224

an<a”_]<...<a2,而当〃=2时,%=———=——-=-<3;an<3,这与假设

2卬-28-23

矛盾，故假设不成立，二%<3.

关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上：

由。“+1=/(4,)得%+1="—r，」-=一2(1-一：)2+<w[得％+1〈。或4+1N2.

2%-2an+lan222

若a“+i<0,则a“+[<0<3,结论成立；

若%+1>2,此时〃22,从而。用一%=一""(""—"<0,即数列｛氏｝在〃22时单调

2回T)

22

递减，山。2=2§,可知。〃<生=2]<3,在〃之2上成立.

比较上述两种证法，你能找出其中的异同吗？数学解题后需要进行必要的反思，学会

反思才能长进.

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A（x”yJ,B（X2，y2），则|/却=J。?一项）+（为一切了

特别地：AB〃x轴，则|AB|=。

AB〃y轴，则|AB|=。

2、平行线间距离：若L：Ax+By+G=O,1,:Ax+By+C2=0

注意点：x,y对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P（x“y。），1:Ax+By+C=0

|Ax+By。+C|

则p至ui的距离为：d=J~o।

A2+B2

y=kx+b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：r

F（x,y）=0

消y：ax2+bx+c=0,务必注意△>().

若1与曲线交于A（X[J]）,8（X2，N2）

则：%却=八1+r）（》2—X1）2

变形后：九二三工或九二匕巨

匕-xy2-y

6、若直线h的斜率为k”直线I2的斜率为k2,则h到I2的角为a,aw（0,兀）

k-k

适用范围：k1,k2都存在且kkH-l,tana=」一

1+kxk2

k—kTT

若h与b的夹角为6,则tan0=」一乙，0e（O,-]

1+左甫22

注意：（I）h到12的角，指从h按逆时针方向旋转到12所成的角，范围（0,兀）

11到12的夹角：指h、b相交所成的锐角或直角。

7?

（2）时，夹角、到角=一。

2

（3）当h与b中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、(1)倾斜角a,aG(0,7t)；

(2))工夹角①6G[0,K]；

TT

(3)直线1与平面a的夹角p,pe[0,^];

yr

(4)h与b的夹角为e，oe[o,y],其中h〃b时夹角e=o；

(5)二面角0,ae(0,n]；

(6)h至ijb的角。，9G(0,兀)

8、直线的倾斜角a与斜率k的关系

a)每一条直线都有倾斜角a，但不一定有斜率。

b)若直线存在斜率k,而倾斜角为a,则1<=^1101。

9、直线h与直线12的的平行与垂直

(1)若小12均存在斜率且不重合:①l-okj=k2

_Lh<=>k|l<2=-1

(2)若/|4x+6/+G=。，：A-,x+8+C2—0

若A|、A2>BI、B2都不为零

①W/12O4_=旦

A2B2C2

②11_Lh<=>AjA2+B1B2=0：

AR

③h与12相交O3w之

A2B2

④h与12重合分❷=2=5；

A2B2C2

注意:若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与*0的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程注意点

斜截式：y=kx+b应分①斜率不存在

②斜率存在

点斜式：y-y.=k(x-xj(1)斜率不存在：X=x。

(2)斜率存在时为y-y,=：(x-x。)

.一切二Xf

两点式：

乃一%X2-X1

x

截距式:+y-i其中1交x轴于(a,0)，交y轴于(0,6)

ab

当直线1在坐标轴上，截距相等时应

分：

(1)截距=0设y=kx

(2)截距=设土+""=1

aa

即x+y=a

一般式：Zx+取+C=0(其中A、B不同时为零)

10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程(1)标准方程：(X—4)2+3—6)2=户，(a,b)一一圆心，尸――半径。

(2)一般方程：+歹2+瓜+砂+歹=0,(£)2+£2-4/7>0)

(DE、.、ylD2+E2-4F

(---,-y)—圆/',f=-------------------

11、直线4c+5y+C=0与圆(x—a/+3—6)2=/的位置关系有三种

若二竺"〉厂。相离0公<0

d=ro相切=△=0

d<r。相交=△>0

12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0”02,半径分别为n，r2,\O,O2\=d.

d>八+々<=>外离。4条公切线/

d=0+々o外切o3条公切线

h-rj<d<八+「2o相交02条公切线

“=卜-修=内切=1条公切线

0cdeM_々|=内含。无公切线

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

(-)椭圆

定义I：若艮，F2是两定点，P为动点，且归用+|P用=2“〉阳闻(”为常数)

则P点的轨迹是椭圆。

定义II：若B为定点，1为定直线，动点P到R的距离与到定直线1的距离之比为常

数e(0<e<l),则P点的轨迹是椭圆。

准线方程：X^+—

c

22

焦半径：仍周=e（x+—）,\Pf2\=e（-——x）,|P耳|=2a-\PF2\,a-c<|P7^|<a+c

等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）

注意：⑴图中线段的几何特征：|4用=区同=4一°，|4工|=»2用="+c

位闿=困周=怜2同=忸2月|=4，%.|=|4因=〃匕卜等等。顶点

与准线距离、焦点与准线距离分别与。力,。有关。

（2）A尸耳尸2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段|尸耳|、|尸尸,|、2c,

有关角ZF{PF2结合起来，建立『用+|力出、俨玛・1Pp21等关系

x—acos0

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：\；

y=osinQ

（4）注意题目中椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，请补充当焦点在y轴上时，其相

应的性质。

二、双曲线

（一）定义：I若F”F2是两定点，||「耳|—|尸用|=2a<忱用（°为常数），则动

点P的轨迹是双曲线。

II若动点P到定点F与定直线1的距离之比是常数e（e>l）,则动点P

的轨迹是双曲线。

（二）图形：

(三)性质

2222

方程：一—1(<7>0,Z>>0)^―：-----=1(。>0,6>0)

abah

定义域：｛x\x><7或x<a｝；值域为R；

实轴长=2。，虚轴长=2b

焦距：2c

a2

准线方程：％=±——

c

22

焦半径：|/¥；|=e(x+生)，|尸治=e((r),归耳卜|尸引=24;

注意：⑴图中线段的几何特征：H用=怛周=c—a,»工|=忸用=a+c

2222

顶点到准线的距离：幺或。+幺；焦点到准线的距离：幺或c+J

CCCC

)2

两准线间的距离=子

(2)若双曲线方程为£•-4=1=>渐近线方程：£•一《=0=y=±2x

a2b2a2b2"a

22

若渐近线方程为了=±2xn=0n双曲线可设为W■—方=X

若双曲线与=1有公共渐近线，可设为=-4=九

/b2a2b2

(九>0,焦点在x轴上，X<0,焦点在y轴上)

(3)特别地当。=6时O离心率6=后O两渐近线互相垂直，分