数学学习过程与数学教学策略

数学新课程标准教材

数学教案

（2019—2020学年度第二学期）

学校：_______________________

年级：_______________________

任课教师：_______________________

教学反思/数学教学反思

编订：XX文讯教育机构

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数学学习过程与数学教学策略

教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、

理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学反思资料适用于数学科目，学习

后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改

调整或直接进行教学使用。

在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学只重视教而相对地忽视学，只重

视教学方法、教学手段等的改革，而相对地忽视对学生学习规律、学习方法等的探索。这样，

造成了目前数学教学虽费时较多，但教学效果并不太佳。总结上述教训，笔者认为，提高数

学教学质量的关键在于根据学生学习数学的心理机制和教学内容进行数学教学。为此，本文

在对学生数学认知结构、数学学习过程进行较为系统的分析和探讨的基础上，提出了一些相

所谓数学认知结构，笔者认为，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物,

是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感知、记忆、表象、想像、思维等认知操作，组

成的一个具有内部规律的整体结构，是数学知识结构“内化而来”的。

数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织，它包括数学基础知识

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数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织特征。它是学生经过

数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数

■数学技能是相应于数学基础知识发生、发展和应用过程中

而产生的，顺利完成数学活动任务的复杂的动作系统。它包括数学操作技能、心智技能等。

事实上，学生的数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入的信

息，并吸收它为自己的数学认识结构中的一部分。比如，学生对于二元一次方程组、一元二

次方程的解法掌握得比较牢固，对解方程或方程组的“消元、降次”思想理解得比较好，那

么就很容易掌握二元二次方程组、简单的高次方程的解法。

（二）数学认知操作系统是指学生在已有的数学知识经验系统的基础上，运用感知、想像、

数学思维等对数学信息（新知识）进行操作，处理的较稳定的个性认知特征，它可进一步概括

为数学能力，其核心是数学思维能力，而表现和衡量的标准则是数学认知品质（如认知的目的

性、敏捷性、全面性、准确性、深刻性等）

认知操作系统是由一定年龄阶段学生的认知发展（即智力发展）水平和特征所决定的，它

反映了学生的认知（智力）发展状况，具有相对稳定性，但又表现出较大的个体差异，因此，

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（三）数学元认知系统就是个体对自己数学认知活动的监控、调节系统，是学生进行数学

认知活动的中枢指挥系统。表现在学生主体根据数学活动的要求，选择适宜的认知操作方法

进行认知活动，并监控认知活动进行的过程；同时，还不断地分析反馈信息，及时调节自己

数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养，是学生用数学思维方式去考虑问题、

从上面对数学认知结构要素的分析可以看出，数学认知结构具有下列的功能：1.选择。

当数学信息（新知识）刺激时，数学认知结构必须对已有的数学知识经验进行过滤，分化，以

找出与新知识有所联系的已有的知识经验；2.同化，即用已有数学知识经验去说明、解释并

容纳数学新知识；3.顺应。由于主体数学认知结构具有自我意识和自我调节能力，当原有数

学认知结构不能容纳数学新知识时，则主体对原数学认知结构进行改造，以便同化新知识；

4.预见。个体通过数学认知结构能从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，显然,

直觉带有一定的预见性质；5.迁移与运用，即数学认知结构中的知识经验、认知操作系统或

元

正因为数学认知结构具有上述功能，可以说数学认知结构是数学认知活动赖以进行的心

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对于数学学习过程，我们认为是在特定的学习情境中，在数学教师的主导下，学生主体

对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学生的数学认知结构在学习数学的情感系统的

参与和影响下，不断地对数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数

学的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求。

（一）数学学习的新内容是数学学习的客体，它是数学教材所叙述的数学事实（如数学语

言、符号、公理、原始概念等），数学概念、数学原理（如数学定理、命题、定律、公式等）、

数学技能（包括操作技能、心智技能）等知识组成的，是在一定时间限度内学生所要掌握的知

数学情境是指学生学习数学新知识的外部环境，包括教师创设的数学教学情境，课堂学

习气氛等，它伴随着教师教学活动的深入而直接地、持续地与整个数学学习活动发生相互作

用

（二）数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面。认知准备指学生原数学认

知结构，是学生进行数学学习的必要条件（先决认知条件），情感准备是学生能否专心于数学

学习过程中的心理条件，它一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认

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（三）学生有了适当的学习准备后，当数学信息（数学新知识）刺激大脑时，大脑就通过学

内化阶段包括定向、联想、同化或

1.在学习的定向阶段，首先，学生从对学习情境所提供的背景关系的俯瞰全貌式的概览

开始，不断的探究、领悟新知识的价值和特点，从而使原数学认知结构与新知识发生认知冲

突，这种冲突使得他们在心理上产生学习新知识的认知需要和学习动机，从而促使他们调用

原认知结构去处理新知识，进行认知活动。其次，学生通过感官的作用，辨别数学新知识的

特征（如数学符号、术语、公式、图象等），并把它和已有的数学知识经验联系起来，从而分

化出数学新知识的本质特征和非本质特征。最后，通过对本质特征和非本质特征的区分，概

括出新知识的有意义的东西，获得了数学新知识的表象和结构，即潜在意义。

2.知觉到新知识的潜在意义后，要达到对新知识的理解，还需要新旧知识相互作用，这

联想即把原数学认知结构中与数学新知识有联系的知识经验（如概念、命题、术语、思想

方法等）分化出来，以提供内化新知识的衔接点和组织者。它包括选取原数学认知结构中与新

知识有关的知识经验，区分新旧知识的异同，分化与新知识有本质联系的知识经验等几个环

节。对于复杂的数学学习（如问题解决），联想是创造性思维的第一步，即它能综合已有的知

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识，在对问题情景的整体把握基础上，构造出新问题的基本结构和模型，从而对问题的解决

例如，中学生在学习矩形概念时，他们从日常生活和小学学过的长方形概念中取得了潜

在意义；然后，通过联想，从原数学认知结构中分化出内化新知识的衔接点一一平行四边形

联想的结果，使新旧知识建立了实质的、非人为的联系。接着，学生可以运用已分化出

3.同化是利用原数学认知结构的数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识。例如，

学生学习矩形的概念就是利用平行四

顺应是指当原数学认知结构不能有效地容纳数学新知识时，主体将对原数学认知结构进

行改造，以适应新知识的学习。顺应的过程是：对新知识进行归纳、概括，对原数学认知结

构进行改造和整理，从而使新旧知识建立密切联系，新知识被纳入到学生的数学认知结构中，

原数学认知结构得到改造并扩大。例如，初一学生学习代数初步知识，就是通过顺应来进行

的。尽管他们在小学学过算术，但算术与代数的不一致性，使他们只能改造头脑中已有的算

如果说同化的作用是改造新数学知识使之与数学认知结构相吻合的话，那么顺应则是改

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造原认知结构以适应学习新知识的需要，因而同化只能从量上丰富原数学认知结构，顺应则

能从质上改变数学认知结构，不过，同化和顺应往往存在于同一个认知活动中，在同化中有

顺应，而在顺应中，尽可能先同化。例如，数系的一系列扩张，就是旧数系顺应新数系，而

值得指出的是，不管同化或顺应，总要对原有数学知识经验和新知识作出重新评价。即

使新知识可作为原数学知识经验的补充和完善，原数学知识经验的某些部分也应重新分类、

经过同化和顺应后，新数学知识纳入了学生数学认知结构中，原数学认知结构发生了变

化。但是新旧知识的相互作用并未停止，新知识的保持和遗忘就是同一相互作用的继续。因

（四）强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练习、形成性评价、小

结（概括）、灵活运用等方式而实现的。

1.练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程。通过练习，可以使自己

对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈作用；可以使自己对新知识的理解更完整化、

具体化，从而进一步保持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学

习兴趣，维持良好的学习动机。有时，练习还可以使学生产生整体感受，从而为领悟数学整

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体的突出性质一_1

2.应当说，形成性评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准的，因而它应贯穿于

数学新知识意义的获得和保持过程的始终。它又包括教师课内诊断和学生自我评价两个方面。

教师对学生的课内诊断一般通过观察、提问和形成性测试等手段进行。学生的自我评价一般

是从教师的评价、原数学认知结构中元认知的监控和调节作用以及练习中得出的，它也包括

通过形成性评价后，学生对于自己掌握新知识的情况有所了解，从而调节自己进一步努

3.小结是指在获得新知识的意义并通过练习（通过变式和具体运用，抓住本质特征）后，

用最简单、最经济、概括性最强的术语对新知识加以组织，使数学新知识变为具有概括性，

能融合于已有知识经验中的基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固。

通过小结，新知识由于其概括性而具有更大的迁移价值，即还能影响后继学习和运用它们解

4.新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识去解决数学问题及其他问题的过程。

实际上，解决问题是在对问题情景和题目条件的整体把握的情况下，利用原数学认知结构从

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整体的角度把握问题的实质，再结合数学知识经验调动各种数学思维成分（如逻辑思维、直觉

思维、发散思维和辐合思维等）的参与，从而提出尝试性模型（假设），并检验假设以达到目的。

灵活运用是检查学生数学学习效果的综合性指标，也是数学学

（五）数学学习效果包括认知成果和情感变化两个方面。

经过学习的内化和强化阶段后，在认知方面的成果是：新知识被纳入到学生的数学认知

结构中，形成了新的数学认知结构，并且新知识被概括化、整体化，具有迁移作用，另外，

形成了较强的技能，发展了能力。对于具体的学习，情感变化不会太大，但对于一单元，一

门分支的数学学习，学生对于数学价值的认识、学习动机、学习积极性等均会有一些变化，

（六）

1.学习的内容：等腰三角形的概念，学习的准备：原数学认知结构中三角形的概念、三

2.内化阶段：首先（由教师根据图形）给出“有两条边相等的三角形是等腰三角形”这一

定义和本质属性，并给出相应的腰、顶角、底角的定义，这样学生可以分化为等腰三角形概

念的本质特征和非本质特征；其次，学生将新概念（等腰三角形）与原认知结构中的知识经验

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（三角形、全等三角形）联系起来，把新概念纳入原有概念（三角形）中，并认识到新概念是原

有三角形概念的限制；最后，运用变式和肯定、否定例证进一步突出概念（等腰三角形）的本

质属性，并对概念的各种属性进行分类，如辨别下面图式，可得出等腰三角形能分为等边三

角形和腰与底边不相等的等腰三角形，同时还可得出等腰三角形两底角相等等。

3.强化阶段：通过练习和小结，学生既能利用定义去判定等腰三角形，还能利用等腰三

角形两腰相等的性质去解题；同时，等腰三角形的概念还可纳入三角形的概念系统中。

所谓数学教学策略是指数学教师对数学课堂教学所作的系统决策和设计。它包括设置数

学学习情景的策略，呈现数学教学内容的策略，选择数学教学方法与教学辅助手段的策略，

从对数学学习过程的分析可知，数学教师的作用在于促使学生数学学习过程中的几个阶

段顺利地进行，以达到良好的数学学习效果为目标。相应地，数学教学策略就应当围绕着促

使学生形成良好的数学认知结构和学习数学的情感系统来制定。下面我们根据学生数学学习

（一）选择和分析数学教学内容（备课）的策略。

数学认知结构是内化的数学知识结构，而数学知识结构又是通过数学教材反映出来的，

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故选择和分析数学教学内容，必须立足于教材，但又不能照本宣科，还要对教材进行居高临

下的剖析和重新组织，使它成为促进学生数学认知结构发展的相对完善的知识结构。具体地:

1.分析和领会单元数学知识结构，并按事实（术语、符号等）、技能、概念、原理等几方

面对教学内容进行分类，以弄清教材中的知识分布情况；在此基础上，以整体观点为指导，

瞻前顾后，随时把本单元的知识与其他内容联系起来考虑，以此克服知识的离散性，使学生

学习时容易形成经纬交织，融会贯通的知识网络，同时有助于内化和保持新知识。

2.在分类的基础上，分析本单元教学的重点和难点。所谓重点，就是知识的中心点，即

单元或学科领域中核心的基本的知识点，它在抽象性、包摄性、概括性程度上高于其他知识,

理解了中心点的知识，其他知识的掌握就顺理成章了。然后考虑以突破重点、难点为核心，

3.根据各类知识学习的特点和学生的认知特点确定教学方法以及相应的教学辅助手段和

事实上，教学方法的选择和组合，同教学内容的特点、学生的认知发展水平及差异是紧

密联系在一起的。虽然现在数学教育书刊上所提的数学教学方法很多，但适合所有类型知识

学习的方法是没有的，不同知识的学习只能采用不同的教学方法，这就是所谓“教无定法”

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4.备课时，还应考虑如何设置学习情景，如何进行形成性测试，如何进行小结，以及例、

习题（包括练习题）

（二）■

数学教学过程是教师的教和学生的学的双边统一的活动过程，是教师通过数学教学活动

促使学生顺利地进行数学学习活动的过程，是学生的数学认知结构的形成和发展的过程。相

1.设置学习情境，激发学习兴趣一一

2,

从对数学学习过程的分析中我们看到，学生的原数学认知结构中已有的数学知识经验对

数学新知识学习的影响极大，关系到是否能内化新知识。为此，在讲解新课前，必须进行诊

如果学生具有了内化新知识的知识经验，则教师可通过练习、小结等来巩固已有的知识

经验（常与诊断性测试同时进行）

如果学生不具有同化新知识的知识经验，则应采取补救措施一一提供先行组织者。先行

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组织者是先于学习任务本身而呈现给学生的引导性知识，它常比学习任务有更高的抽象、概

括和综合水平，或能清晰地使学习任务与原数学认知结构的知识经验之间相联系。因此，先

行组织者的最大作用是能提高数学认知结构中适当的知识经验的可利用性，即在新旧知识之

类属的先行组织者是介绍给学生一种他们不熟悉的、比新知识有更大包容性、概括性的

材料，学生可利用这个材料作为框架来内化较具体的新知识，这种例子在数学教材中常可见

到。如要学习平行四边形，先介绍四边形这一概括性较强的材料，再用它来内化平行四边形

比较的先行组织者是把学生比较熟悉的材料介绍给他们，以帮助学生把新概念和原理与

以前学过的概念和原理结合在一起。如若把正弦函数和余弦函数定义为单位圆上的函数，这

时把代数函数作为一个比较的先行组织者，就可运用代数函数概念把熟悉的代数概念和原理

3.

(1)在新知识呈现之前，教师可对单元知识结构作概括性介绍，即用具体、形象的语言，

用最基本的常识性概念来勾勒单元整体的轮廓(包括新知识的大致特点，学习的目标和要求

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等），从而使学生发现单元整体的特点，对新知识获得总的印象，并明确学习的目的和价值，

产生学习的动机。同时，还有利于学生对新知识的潜在意义的认识，促使内化过程中定向和

①应尽可能保证学习材料本身的意义性，即使学习内容具有潜在意义一一对于特定的名

词、概念或原理可通过联想来获得，对于抽象的材料，则尽可能以直观材料和形象为背景，

②应以有意义讲授法和指导发现法为基本教学方法，辅以其他教学方法（如讨论法、自学

法、探究法等）进行教学，并且启发式教学思想应贯穿于教学过程的

采用有意义讲授法教学时，教师应将学习内容以优化的形式直接呈现给学生，以促进学

生快速有效地把新知识内化和巩固。优化的形式反映了知识本身的逻辑结构，知识的整体结

构和学生的认知规律，一般地，不同类型知识的学习有不同的优化形式（具体讨论见下面）。

事实上，接受学习不但可以是有意义的（新旧知识可建立起实质的、非人为联系是有意义

的标准）和积极主动的，而且还省时、经济和高效（即在短时期内可掌握单元或学科的基本结

构）

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指导发现法就是教师对新学习的内容不是直接呈现给学生，而是只给学生一些提示性线

索或问题，由学生进行探索、发现新知识的意义，然后加以内化、巩固的教学方法。如概念

实施指导发现法时，应创设问题情境，引起学生认知冲突，激发探索欲望；应帮助、指

导学生理解和领会课题结构以保证学生在有意义的思考路线上进行判断、选择和探索，避免

盲目瞎猜的无效活动。总之，发现法的指导要掌握分寸，恰到好处，使学生经过一系列的思

由于每一数学教学单元中常要采用不同的教学方法，因而教学中多种方法的衔接也很重

要。另外，不管采用什么教学方法，都应把启发式教学思想贯穿于其中。具体地，应把握：

在新旧知识的结合点，应强调新旧知识的联系，特别是难点和疑难问题，要给学生思考的部

分线索，这样有利于学生同化或顺应新知识；对于数学知识经验，解题的思想和方法，要启

发学生进行概括，以使学生容易从整体上把握数学知识结构；要通过启发，使学生掌握自我

③呈现教材的优化形式是以“渐进分化”、“逐次抽象”和“综合贯通”等三种方式进

行。

“渐进分化”是指按概括性和包容性大小的顺序呈现教材，即首先呈现最一般的、概括

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