新教材人教A版高中数学 选择性必修第二册 同步试题 第 4章 数列（单元测试）

第4章数列（单元测试）

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知递增等比数列｛。〃｝满足4的=]，。2+。4=15,则%+。3+。5=（）

91101111121

A.—B.----C.----D.----

2222

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为0,

993

由=1，得a[q=~即。1夕=±5，

由%+&=15,可得4闷（1+/）=15,

当=5时，1+夕2=10=0=±3,当9=3时，〃]=,,符合｛%｝是递增等比数列，

当q=-3时，％=-1，不符合｛%｝是递增等比数列，

3

当%夕二一5时，1+/=一10,方程无实根，

因止匕％+%+%=%+。汹2+—x9+—x81―.

故选：A.

2.已知数列｛%｝满足:%=1，％J："'："号皆，则&=

[2an+1,。,为偶数

A.16B.25C.28D.33

【答案】C

【解析】依次递推求出心得解.

【详解】n=l时，%=1+3=4,

n=2时，％=2X4+1=9,

n=3时，“4=9+3=12,

n=4时，%=2x12+1=25,

n=5时，&=25+3=28.

故选：C

【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3.在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+V的值

为（）

24

12

Xy

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由题意得出X"的值后求解

故选：A

4.等比数列｛4｝中，％=2,q=2数列4=7———n也｝的前〃项和为7；,则工。的值为（)

409420461022510

A.------B.------C.——D.——

409520471023511

【答案】B

72〃11

【分析】先求出从而可得巳=（2用_1）（2〃_1）=矛72〃+「1’然后利用裂项相消求和法可求出4。

11

【详解】由题意得4=2〃，所以〃=

2"-12"+-'

所以（o=----------：-----1—j----------;-------1-----1—---------n=1=--------.

2-122-122-123-1210-1211-12"-12047

故选：B

-|«=6>$23

5.已知等差数列｛%｝的前”项和为S“，amm+2叱=63（加23,且机eN）,则加的值为（）

A.5B.8C.12D.14

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质，将%+2变形为；（篇+%”一2），由等差中项性质可求得见I；利用

邑2=（2加-3）a小可构造方程求得结果.

6

【详解】：氏,一针叫+2=1（%,-°叫+2）=+%>-2+°,"+2-%+2A相幻+册-2）==，

a

-\=9,S2m_3=°加=gm-3）a_1=9（2m—3）=63，

mm

解得：m=5.

故选：A.

6.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为4°,且。，Go,则（）

A.4o<Bl0<GoB.4。<Go<Bl0

C.4o<4。<CJOD.Cl0<A10<Bi0

【答案】B

【分析】设三种方案第〃天的回报分别为%,b,,cn,由条件可知｛%｝为常数列；也,｝是首项为10,公差

为10的等差数列；｛的｝是首项为0.4,公比为2的等比数列,然后求出投资10天三种投资方案的总收益为40,

月。，C10,即可判断大小.

【详解】解：设三种方案第〃天的回报分别为%,bn,cn,则a“=40,

由条件可知缶“｝为常数列；也,｝是首项为10.公差为10的等差数列；

£｝是首项为0.4,公比为2的等比数列.

设投资10天三种投资方案的总收益为4。，Bw,c10,

ino

则40=400；A。=10x10+^x—xl0=550；

=409.2,

所以

故选：B.

【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公

比等，属于中档题.

7.已知等比数列｛叫的各项都为正数，且当"22时有。“T%=e2"，则数歹!]｛In叫的前20项和为（）

A.190B.210C.220D.420

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得%=e",即可求出数列｛In%｝的通项，最后根据等差数列求和公式计算

可得；

【详解】解：依题意等比数列｛%｝的各项都为正数，且当〃22时有氏_避用=02"

所以a『=e2",所以%=e"

所以In%=In=〃

所以数列｛In%｝的前20项和为1+2+…+20=。+2；卜2°=21（）

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.

8.已知等差数列｛%｝共有项，若数列｛叫中奇数项的和为190,偶数项的和为210,%=1,则

公差d的值为（）

,55

A.2B.4C.-D.-

42

【答案】A

【分析】计算得出S偶-S奇=〃d=20,利用等差数列求和公式得出8奇=〃+20（〃-1）=190,由此可解得〃与

d的值.

[详解】由题意5奇="（%+%）=na=190,S偶="）==210,

司■2〃1丙2麓+i

所以，s偶-8奇="《n+l=〃d=210—190=20,

S奇=—(i22"'=na"=n[1+R-1/]=〃+"Q—1'=〃+20々—1,190,

所以，n=10,<7=2.

故选：A.

【点睛】本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考查计算能

力，属于中等题.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符

合题目要求的.

9.已知数列｛%｝是公比为q的等比数列，bn=an+4,若数列也｝有连续4项在集合｛-50,-20,22,40,

85｝中，则公比q的值可以是()

,3243

A.—B.—C.—D.—

4332

【答案】BD

【解析】先分析得到数列｛%｝有连续四项在集合｛-54,-24,18,36,81｝中，再求等比数列的公比.

【详解】'-b„=an+4

。”=也,-4

,•,数列｛4｝有连续四项在集合｛-50,-20,22,40,85)中

数列｛%｝有连续四项在集合｛-54,-24,18,36,81｝中

又.:数列缶“｝是公比为1的等比数列,

在集合｛-54,-24,18,36,81｝中，数列集“｝的连续四项只能是:-24,36,-54,81或81,-54,36,

-24.

363f-242

/•q=------=—或夕=—=一一.

-242363

故选：BD

10.若S〃为数列｛%｝的前〃项和，且S〃=2%+1,(〃£N*),则下列说法正确的是

A.a5=-16B.S5=-63

C.数列｛叫是等比数列D.数歹U｛s,+1｝是等比数列

【答案】AC

【解析】根据题意，先得到q=-1,再由%=S“-S"T（”N2）,推出数列｛为｝是等比数列，根据等比数列的

通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为S,为数列｛。"｝的前"项和，且S,=2a“+l,（"eN*）,

所以工=2%+1,因此q=T,

当“22时，an=Sn-Sn_l=2an-2an_l,即%=2%,

所以数列｛4｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；

因此。5=-以24=-16,故A正确；

—5

又S"=2an+1=—2"+1,所以&=2+1=-31,故B错误；

因为岳+1=0,所以数列｛s,+l｝不是等比数列，故D错误.

故选：AC.

【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以

及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.

11.设数列｛/｝是以d为公差的等差数列，S”是其前〃项和，%>0,且艮=耳，则下列结论正确的是（）

A.d<0B./=0

C.S5>s6D.S7或工为S”的最小值

【答案】AB

【分析】根据弓>0,且&=S9,可得d=-;为<0,然后逐一判断各个选项即可得出答案.

【详解】解：由"二跖，

得6%+15〃=9%+361,所以d=-;为<0,故A正确；

+7d=%%=0,故B正确；

2一

"—其=&=%+5d=,%>0,所以国〈身，故C错误；

由。8=0，d<0,1〉0,可得邑或$8为S”的最大值，故D错误.

故选：AB.

12.计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就

不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C。,即一个病毒文件在

一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数Q=2,若一台计算机有及个可能被感染的文件，

如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果

未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）

A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列

【答案】ABC

【解析】设第〃+1分钟之内新感染的文件数为。向，前"分钟内新感染的病毒文件数之和为与，则

%=2区+1）,且％=2,可得%=2x3"、即可判断四个选项的正误.

【详解】设第〃+1分钟之内新感染的文件数为。用，前"分钟内新感染的病毒文件数之和为王,则

=2（S.+1）,且％=2,

由。”+1=2（,+1）可得%=2（S._i+l）,两式相减得：an+l-an^2an,

所以°用=3a“，所以每分钟内新感染的病毒构成以％=2为首项，3为公比的等比数列，

所以a“=2x3"T,

在第3分钟内，该计算机新感染了。3=2x337=18个文件，故选项A正确；

经过5分钟，该计算机共有1+q+%+%+%+%=14?=243个病毒文件，故选项B正确；

10分钟后，计算机感染病毒的总数为1+%+%+L+为。=1+邛3=3°>|xl（5，

所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；

该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第〃+1分钟之内新感染的文件数为。用与

前"分钟内新感染的病毒文件数之和为s”之间的递推关系为=2(s,+1),从而求得与.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列，弘p,就是二阶等差数列,

数列，硬罗,eN-)的前3项和是.

【答案】10

【分析】根据通项公式可求出数列｛与｝的前三项，即可求出.

【详解】因为.“=吗4,所以%=1,出=3吗=6.

即邑=%+%+%=1+3+6=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题.

14.记S.为等差数列｛%｝的前〃项和.若4=-2,a2+a6=2,贝I］耳。=.

【答案】25

【分析】因为｛%｝是等差数列，根据已知条件的+&=2,求出公差，根据等差数列前"项和，即可求得答

案.

【详解】•••｛%｝是等差数列，且q=-2,出+&=2

设｛%｝等差数列的公差d

根据等差数列通项公式：4=%+(〃-1”

nJ*%+d+%+5d=2

即：-2+d+(-2)+5d=2

整理可得：6d=6

解得：d-\

■■■根据等差数列前"项和公式：S"=eN*

X(1｝

可得：Sla=10(-2)+—^0-=-20+45=25

二.S10=25.

故答案为：25.

【点睛】本题主要考查了求等差数列的前"项和，解题关键是掌握等差数列的前〃项和公式，考查了分析能

力和计算能力，属于基础题.

15.已知数列｛〃“｝的前"项和为点卜/「J在直线y=上.若”=(一1)"%,数列也｝的前〃项和为

T,,则满足园420的〃的最大值为.

【答案】13

【分析】由题设易得邑=£,即可求。“，进而得"，讨论〃为奇数、偶数求结合已知不等关系求〃的

3n+l2

最大值即可.

【详解】由题意知：工则S"=即士，

3〃+12〃2

当〃=1时，4=Si=2；当〃22时，an=Sn-Sn_x=3n-1；而%=3x1—1=2,

an=3H-1,扑gN*,

・・・〃=(T)〃%=(T)〃(3f，

Tn——2+5-8+11-1)"(3〃—1),

当"为奇数时，北=弓心-(3〃-1)=一甘，

当〃为偶数时，T“六,

要使|小20,即怨420或等20,解得〃413且“eN*.

故答案为：13.

【点睛】关键点点睛：由%,S”的关系求通项公式，讨论"写出Z,,进而由不等关系求〃的最大值.

16.数列｛%｝满足〃”+2+(-1)"。"=3"-1,前16项和为540,则可=.

【答案】7

【分析】对"为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用外表

示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立4方程，求解即可得出结论.

【详解】%磁+(-1)%“=3"-1,

当〃为奇数时，。"+2=。”+3"-1；当〃为偶数时，。"+2+。,=3"-1.

设数列｛与｝的前〃项和为S”,

S]6=%+%+。3+。4+--〃16

=%+%+%…+。15+@2+。4)+,,°Q14+。16)

=%+(%+2)+(%+10)+(4+24)+(Q]+44)+(可+70)

+(%+102)+3+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8%+484=540,

..%—7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属

于较难题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛%｝的前"项和为S"，且5“=3/-4〃+2.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）取出数列｛%｝的偶数项，并按从小到大的顺序排列构成新数列上｝,写出低｝的通项公式.

l,n=\

【答案】⑴册=(2)b=12H-7.

6n-l,n>2'n

[Sn=1,.

【分析】（1）由]9“>2可求得数列｛%｝的通项公式;

（2）由小到大列举出数列｛对｝的偶数项，观察其规律，可知数列抄”｝是以5为首项，以12为公差的等差数

列，进而可求得数列｛4｝的通项公式.

【详解】解：(1)当〃=1时，a1=51=3xl-4xl+2=l,

当"22时，由a“=S“_S"T=(3“2_4〃+2)_[35_l)2_45_l)+2]=6〃_7.

6=1不适合二6〃一7,

xfl,W=1

所以数列｛(g｝的通项公式为%=6〃_7〃>2；

（2）数列｛%｝的偶数项从小到大排列为：5、17、29、41、L

所以，数列｛与｝的偶数项成以5为首项，以12为公差的等差数列，

则上｝的通项公式为2=5+12(〃-1)=⑵-7.

【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：

(1)公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式%=%+("-1)1或。“=%。1进行求解；

[S]9n=1

(2)前〃项和法：根据为0、.进行求解；

(3)S“与。”的关系式法：由S”与a”的关系式，类比出S,T与。,T的关系式，然后两式作差，最后检验出可

是否满足用上面的方法求出的通项；

(4)累加法：当数列｛与｝中有即第〃项与第n-1项的差是个有规律的数列，就可以利用

这种方法；

(5)累乘法：当数列｛对｝中有2=/(〃)，即第〃项与第n-l项的商是个有规律的数列，就可以利用这种

an-\

方法；

(6)构造法：①一次函数法：在数列｛g｝中，an=kan^+b(左、6均为常数，且Awl,.

一般化方法：设。"+W=M%T+M，得到6=(4-l)m,m二昌,可得出数列[%是以上的等比数

k-1IK-1)

列，可求出％;

②取倒数法：这种方法适用于。“=(〃22,〃eN*)(k、m、P为常数，加/0),两边取倒数后，

得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于。“=加I+6的式子；

⑦a“M=%“+c'(6、c为常数且不为零，〃wN*)型的数列求通项％,方法是在等式的两边同时除以c向，

得到一个%+i=加“+6型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.

18.在①Ss=5O,②岳、邑、邑成等比数列，③5=3(&+2).这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，

并解答本题.

问题：已知等差数列｛%｝的公差为〃年2。)，前〃项和为S“，且满足.

(1)求4；

⑵若，一“T=2%(〃之2),且4一q=1,求数列/的前〃项和7；.

【答案】⑴条件选择见解析，％=4〃-2

n

2n+l

【分析】(1)根据所选条件，得出关于％、d的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出数列｛%｝的通

项公式；

(2)利用累加法可求得数列｛，｝的通项公式，再利用裂项相消法可求得％.

⑴

解:①：因为，、S-邑成等比数列，则母=S应，即(2%+d)2=%(4%+6d),

因为dwO,可得d=2%.

②:8=5%+10〃=50,可得％+2d=10.

③：S6=3(tz6+2),可得6%+15d=3(q+5d+2),可得%=2.

若选①②，则有厂1A，可得则%=%+("T”=4L2；

[”i+2d=10[a=4

若选①③，则"=2°]=4,则%=%+(“T”=如-2；

若选②③，贝!Jq+2d=2+24=10,可得"=4,所以，a„=ai+(n-i)d=4n-2.

⑵

解："-"-1=2%=8"-4(”22),且4-％=1,则4=3,

所以，当〃22时,则有"=4+(8--)+(63-=)+…

,、(8〃—4+12)(〃—1)

=3+12+20+…+(8”-4)=3+---------广——t4z?2-71,

2

4=3也满足〃=4〃2-1,故对任意的“eN*,bn=4n-1,

1_1J]1]

则反一(2n-l)(2n+l)-42"-12n+l卜

n

2〃+1

1-S,7

19.已知等比数列｛吗的公比为比4>1）,前"项和为S,,若-~-=2）且63+2=%.

（1）求凡;

（2）设数列的前〃项和为4,求证：

【答案】（1）%=2"；（2）证明见解析.

【分析】（1）依题意得到方程求出公比0、及首项%,即可得解;

（2）由（1）知5“=2向一2,

【详解】解：（I）由题二~~~^=一+1+4=5,解得q=2（q>l）,又83+2=%,即7%+2=8q,

%。4q/

・・・%=2,・・・。〃=2〃.

,111111

（2）由（1）知S〃=2〃+-2,A—=i_>^r，又鼠二^r

2n+22〃+2"—2

1111

••尸.•.当时，T=-3_J__£]__L__L

♦"=1t4-F-2'~1）~2

故:一击4I-J成立•当"22时,Tn>|+:+J+…+J=:一击

311

综上所述，--^<Tn<\--.

【点睛】本题考查等比数列通项公式及前〃和的计算，以及放缩法证明不等式，属于中档题.

,数列也｝满足仄=亚,且对任意正整数n都有b„,，也+1成

20.设数列｛与｝的前"项的和为S”,且

〃+2

等比数列.

（1）求数列｛6｝的通项公式.

（2）证明数列也｝为等差数列.

（3）令g=2也4-3,问是否存在正整数外左，使得7,J.,4成等比数列？若存在，求出加，后,的值，若不存

在，说明理由.

2

【答案】（1）a„=（2）见证明；（3）见证明

（〃+1）（K+2）

【分析】⑴利用项和公式求数列何｝的通项公式.⑵由题得或%=也士竽⑦，bn+lbn+2=(f3)

即捐=去，再求出4=[(〃+1),再利用等差数列的定义证明数列｛4｝为等差数列.(3)先求出

cn=2n-l,所以曝=2加-1,%+5=2(加+5)-1=2加+9,q=2左-1,根据%，q+5,q成等比数列得

50

(2m+9)9=(2加一1)(2左一1),即左=加+10+^,再求出冽，左的值.

【详解】(I)因为数列｛%｝的前〃项的和S“=」一，

77+2

所以当〃=1时，％=g；

CC〃〃一12

当〃22且左CN*时，an=Sn-Sn-X=-^一~1=7，

n+2n+\++

当〃=1时，上式也成立，

所以数列｛%｝的通项公式为4=(〃+1乂〃+2)・

(2)证明：因为对任意正整数〃都有〃」,,4+]成等比数列，

所以b〃bn+i=一,即bb=---------,

an〃"+i2

所以%也+2=("+2心〃+3)，

b77+3

两式相除得，对任意正整数〃都有资=―

即刍及=',

〃+3n+1

当〃为奇数时，一、=?，所以6=b(〃+1)+,

H+12〃2'72v7

当〃为偶数时，生7=多而汕="，所以血，

n+L322

所以6"=g(〃+l)=+6N*.

所以H+T"=*("+2)一亭("+1)=亨，

所以数列｛4｝为等差数列.

⑶因为cf,=2标“-3=2("+l)-3=2"-l,

所以q=2加-l,c〃,+5=2(加+5)-1=2加+9,，=2左-1,

因此存在正整数初左，使得成等比数列

今（2切+9『=（2〃?一1）（2左一1）

=左=加+]0H---------

2m—1

因为他左都是正整数，则2加-1=1,5,25,

即加=1,3,13时,对应的L=61,23,25.

（加=1,[m=3.[m=13,

所以存在AA或Z或L”使得%，4+5，0成等比数列.

[左=61[k=23[左=25,

【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列性质的证明，考查等比数列的性质，意在考查学生

对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

21.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更

换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,

混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年

多投入。辆.设。“、6”分别为第〃年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设邑、1分别为〃年

里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量.

（1）求5：、T.,并求〃年里投入的所有新公交车的总数£；

（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求”的最小值.

n

【答案】（1）6--17；=400〃+^^a,Fn=Sn+Tn=256[4）-1]+400n+a；

_.2,J222

（2）147.

【详解】（1）设%、2分别为第,：年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，

依题意知，数列｛g｝是首项为128、公比为1+50%=；的等比数列；

数列也,｝是首项为400、公差为。的等差数列，

3

128[1-（-7]3

所以数