新人教版数学九年级寒假作业：第07练：圆及其性质（学生版+解析版）

第07练：圆及其性质

积累运用

考点一：圆的相关概念

1.圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的

图形叫做圆，固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。

2.圆的几何表示：以点0为圆心的圆记作“。0”，读作“圆0”

考点二：与圆有关的几个概念的定义

1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD）。直径等于半径的2倍。

3.弧、优弧、劣弧：

（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）弧用符号表示，以A,B为端点的弧记作“病”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

（3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

C----------2---------D

考点三：垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2.推论：

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点四：圆的对称性

1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量都分别相等.

考点六：圆周角定理及其推论

1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七：圆内接多边形

1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形

的外接圆。

2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

1.如图，在中，OC_LAB,ZADC=35°,则NOBA的度数是（）

A.35B.30°C.25°D.20°

2.如图，半径为5的OP与y轴相交于“（0,-4）,N（0,-10）两点，则圆心P的坐标为（）

x

A.（5,Y）B.（4,-5）C.（4,-7）D.（5-7）

3.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，ZABC=50。，则NDAB等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

4.下列说法正确的是（）

A.弦是直径B.平分弦的直径垂直弦

C.优弧一定大于劣弧D.等弧所对的圆心角相等

5.如图，C、D为半圆上三等分点,则下列说法：①AD=CQ=BC;②NAOD=NDOC=NBOC；③AD=

CD=OC；④△AOD沿0D翻折与△COD重合.正确的有（）

D

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图，在平面直角坐标系中，0P经过三点A（8,0）,0（0,0）,B（0,6）,点D是OP上一动点，则点D到

C.9D.10

7.如图,AB是。。的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,NBAC=yZBOD,则。。的半径为.

8.如图，M,N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM=CN,连结AC交DN于点P,连结AM交BP

于点Q,若正方形的边长为1,则线段CQ的最小值是.

9.如图，用等分圆的方法，在半径为。A的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若0A=2,则四叶幸运

草的周长是

10.如图所示，/MBC中，CA^CB,ZACB=90°,M,N分别在射线AB,AC上移动，且“N=10,

则点A到点M的距离的最大值为

11.如图，某边长为〃的正方形广场四角铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为

(1)用含。、r的代数式表示图中空地部分面积；

(2)若a=2(X)米，r=36米，求空地面积(不取3.14,结果精确到0.1平方米)

12.如图，在。O中，AB=2AC-AD_LOC于D.求证：AB=2AD.

13.己知：如图1,。。的半径为2,BC是。。的弦，点A是。。上的一动点.

图1图2

（1）当△ABC的面积最大时，请用尺规作图确定点A位置（尺规作图只保留作图痕迹，不需要写作法）；

（2）如图2,在满足（1）条件下，连接A0并延长交OO于点D,连接BD并延长交AC的延长线于点E,

若NBAC=45。,求AC2+CE2的值.

14.（1）问题发现

如图1,AACB和ADCE均为等边三角形，点4D,E在同一直线上，连接8E.

填空：①NAEB的度数为；

②线段AD,BE之间的数量关系为.

（2）拓展探究

如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，点A,D,E在同一直线上，CM为4DCE

中DE边上的高，连接BE,请判断NAEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图3,在正方形A8C。中，CD=啦，若点P满足PD=1,且N8PD=90。，请直接写出点A到BP的距离.

15.已知：内接于。O,AC=BC,于点Q,连接80.

（1）如图，求证：NBAD=NOBC；

(2)如图，延长A。交。。于点E,连接8E,若OHLBC,求证：BE=2OH；

(3)如图，在(2)的条件下，若A8=C。，OH=],求线段43的长.

16.已知AA8C内接于。。，AD±OBTD.

(1)如图1,求证：NBAO=NACB；

(2)如图2,若A8=4C,求证：BC^2AD-

(3)如图3,在(2)条件下，延长AD分别交BC、。。于点E、F,过点A作AG_LBF于点G,AG与8。交

于点K,延长AG交。。于点从若GH=2,8c=4几，求。。的长.

图1图2图3

第07练：圆及其性质

积累运用

考点一：圆的相关概念

1.圆的定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的

图形叫做圆，固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径。

2.圆的几何表示：以点0为圆心的圆记作“。0"，读作''圆0”

考点二：与圆有关的几个概念的定义

1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）

2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD）。直径等于半径的2倍。

3.弧、优弧、劣弧：

（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

（2）弧用符号表示，以A,B为端点的弧记作“病”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

（3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

C----------°---------D

考点三：垂径定理及其推论

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2.推论：

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

考点四：圆的对称性

1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么

它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六：圆周角定理及其推论

1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七：圆内接多边形

1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形

的外接圆。

2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

基础过关练

1.如图，在OO中，OCJ_AB,/ADC=35。，则NOBA的度数是()

A.35B.30°C.25°D.20°

【答案】D

【解析】根据垂在定理，可得4C=BC，ZOEB=90°,根据圆周角定理，可得N3,根据直角三角形的性

质，可得答案.

【详解】

解：连接AO,如图：

由OC1.AB,得

AC=BC，ZOEB=90°.

/.Z2=Z3,

VZ2=2Zl=2x35°=70°.

二Z3=700,

在RtZJDBE中，ZOEB=90°,

二ZB=90°-Z3=90°-70°=20°,

故选D.

【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出AC=8C，/OEB=90。是解题关键，又利用了圆周角

定理.

2.如图，半径为5的。P与y轴相交于M(0,-4),N(0,-10)两点，则圆心P的坐标为()

A.（5,Y）B.（4,-5）C.（4,-7）D.（5,-7）

【答案】C

【解析】由M（0,-4）,N（0,-10）,即可得MN的值，然后连接PM,过点P作PE_LMN于E,根据垂

径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标.

【详解】

解：VM（0,-4）,N（0,-10）,

，MN=6,

，OE=OM+EM=4+3=7,

在R3EM,PE=JPM=ME?=>/F^7=4,

二圆心P的坐标为（4,-7）.

故选C.

【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识.此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注

意辅助线的作法.

3.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，/ABC=50。，则/DAB等于（）

c

D

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【解析】如图，连接BD,

;AB是半圆的直径，.•.NADB=90。.

•••点D是AC的中点，.\ZABD=ZCBD.

■:ZABC=50°,二ZABD=25°.

NDAB=90°-25°=65°,故选C.

4.下列说法正确的是（）

A.弦是直径B.平分弦的直径垂直弦

C.优弧一定大于劣弧D.等弧所对的圆心角相等

【答案】D

【解析】根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解.

【详解】

A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；

B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；

C、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，错误；

D、等弧所对的圆心角相等，正确.

故选D.

【点评】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.

5.如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AO=CQ=8C;②NAOD=NDOC=NBOC；③AD

=CD=OC；④AAOD沿OD翻折与ACOD重合.正确的有（）

D

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【解析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等''仔细找出等量关系即可.

【详解】

•.•c、。为半圆上三等分点,

AD=CD=BC，故①正确，

•.•在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相,

.\AD=CD=OC,ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,故②③正确,

VOA=OD=OC=OB,

.♦.△AOD丝△COD@△COB,且都是等边三角形,

.-.△AOD沿OD翻折与△COD重合.故④正确,

...正确的说法有：①②③④共4个,

故选A.

【点评】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦

相等和平角的概念求解.

6.如图，在平面直角坐标系中，G）P经过三点A（8,0）,0（0,0）,B（0,6）,点D是OP上一动点，则点D

)

C.9D.10

【答案】C

【解析】先求出圆的直径，当点D在所在直线垂直OB时，此时点D到弦OB的距离的最大，求出,此时的

值即可.

【详解】

如图，连接AB,

NAOB=90",

AB为直径，此时AB=VOA2+OB2=10，

当直线CD垂直AB时、此时此时点D到弦OB的距离的最大为PD.

/BCP=/AOB=90,，

.-.PC//OA,

又YP是AB的中点，

/.PC是AAOB的中位线.

PC=^OA=4,此时PD=PC+PD=4+5=9.

故选C.

【点评】此题主要考查坐标与图形的计算，圆周角定理，三角形的中位线等，关键考查坐标和圆的结合的

灵活应用.

7.如图,AB是。O的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,NBAC=)/BOD,则。O的半径为一.

【答案】5

【解析】先根据/BAC=g/BOD可得出弧13。=弧8口，故可得出AB1CD,由垂径定理即可求出DE的长,

再根据勾股定理即可得出结论.

【详解】

VZBAC=|ZBOD,

.•.弧BC=MBD,

AAB±CD,

VAE=CD=8,

.•.DE=gcD=4,

设OD=r,则0E=AE-r=8-r,

在RtaODE中，OD=r,DEM,OE=8-r,

VOD2=DE2+0E2,BPr2=42+(8-r)2,解得尸5.

故答案为5.

【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB_LCD.

8.如图，M,N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM=CN,连结AC交DN于点P,连结AM

交BP于点Q,若正方形的边长为1,则线段CQ的最小值是.

【解析】首先证明点Q在以AB为直径的圆上运动，连接OC与0交于点Q，，此时CQ，最小，根据勾股定

理即可计算.

【详解】

解：：四边形ABCD是正方形，

，AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,ZACB=ZACD=45°

在aABM和4DCN中,

AB=DC

</ABM=ZDCN,

BM=CN

AAABM^ADCN,

AZBAM=ZCDN,

在ACPB和ACPD中,

CP=CP

<NPCB=ZPCD,

CB=CD

/.△CPD^ACPB,

/.NCDP=NCBP=ZBAM,

VZCBP+ZABP=90°,

.,.ZBAM+ZABP=90°,

.\ZAQB=90o,

・・・点Q在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O,连接OC交。O于点此时CQ，最小,

.♦.CQ，=OC-OQ，=^^qx/5-l

2

故答案为避二1.

【点评】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是证明点Q在以AB为直径的圆上运

动，找到点Q的位置，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题..

9.如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA=2,则四叶幸运

草的周长是

【答案】4及兀.

【解析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公

式即可得出结果.

【详解】

由题意得：

四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，

四叶幸运草的周长=20兀/2=4夜兀；

故答案为4及兀.

【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆

的周长是解题的关键.

10.如图所示，△AfiC中，CA=CB,ZACB=90°,M,N分别在射线AB,AC上移动，且用N=10,

则点A到点M的距离的最大值为

【答案】10夜.

【解析】过A，M,N三点作。。，作直径MD连结ND,根据等腰直角三角形的性质可得NA=N8=45。,

再根据同弧所对的圆周角相等得出/4=/0=45。，从而确定。。的直径即可

【详解】

如图所示，过A,M,N三点作。。，作直径连结

VCA=CB,ZACfi=90°

ZA=ZB=45°,

,/Z4=NO=45°

在RtAMOV中，MN=10,/.=1()72

在。0,弦MA的最大值等于直径MD

•••A到点M的距离的最大值为100

【点评】本题考查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直

径是圆中最长的弦是解题的关键

11.如图，某边长为〃的正方形广场四角铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为L

物隧

___遂

(1)用含。、,的代数式表示图中空地部分面积；

(2)若a=200米，厂=36米，求空地面积(万取3.14,结果精确到0.1平方米)

【答案】(1)储-万/；(2)约35930.6平方米.

【解析】用正方形的面积减去该整圆的面积就是空地的面积据此就能解答第(1)问；

对于第(2)问,将各数据代入(1)中的代数式中求解即可得到答案

【详解】

(1)由图形可得四个半径为r的四分之一圆可以合为一个半径为r的圆

•.•正方形的边长为a

.•.正方形的面积是a?(正方形的面积等于边长的平方)

•.•圆的半径为r

二圆的面积为兀xj(圆的面积等于半径平方与兀的乘积)

故空地的面枳可表示为：“23

(2)将a=200米尸36米代入合一〃/中得

20()2-兀x362=40000-1296x3.14仪35930.6平方米)

故空地的面积为35930.6平方米

【点评】此题考查圆的面积，正方形面积，解题关键在于掌握运算法则

12.如图，在。O中，AB=2AC，ADLOC于D.求证：AB=2AD.

【答案】证明见解析

【解析】延长AD交。O于E,可得忘二窟、AB=AE,可得出结论.

AE=2AC-AE=2AD,

'-'AB=2AC-

AE=AB)

；.AB=AE,

:.AB=2AD.

【点评】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键.

13.己知：如图1,。。的半径为2,BC是。。的弦，点A是。O上的一动点.

（1）当^ABC的面积最大时，请用尺规作图确定点A位置（尺规作图只保留作图痕迹，不需要写作法）；

（2）如图2,在满足（1）条件下，连接A0并延长交。O于点D,连接BD并延长交AC的延长线于点

E,若/BAC=45。,求AC2+CE2的值.

【答案】⑴见解析；（2）16.

【解析】（1）作BC的垂直平分线交优弧BC于A,则点A满足条件；

（2）利用圆周角定理得到/ACD=90。，根据圆内接四边形的性质得/CDE=/BAC=45。，通过判断4DCE

为等腰直角三角形得到CE=CD,然后根据勾股定理得到AC2+CE2=AC2+CD2=AD2.

【详解】

解：（1）如图1,点A为所作：

TAD为直径，

.,.ZACD=90°,

VZCDE=ZBAC=45°,

.•.△DCE为等腰直角三角形，

.\CE=CD,

二AC2+CE2=AC2+CD2=AD2=42=16.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图

形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理.

14.（1）问题发现

如图1,ZVICB和△OCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接

填空：①NAEB的度数为；

②线段AO,BE之间的数量关系为.

（2）拓展探究

如图2,ZVICB和△OCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,点A,D,E在同一直线上，CM为

△OCE中OE边上的高，连接BE,请判断/AEB的度数及线段CM,AE,8E之间的数量关系，并说明理

由.

（3）解决问题

如图3,在正方形ABCZ）中，CD=®,若点尸满足PO=1,且/BPD=90。，请直接写出点A到BP的距

【答案】（1）①60。；②相等；（2）N4EB=90。，AE^2CM+BE,证明见解析；（3）避二1,也上1

22

【解析】（1）由条件易证△AC7）丝△8CE,从而得到：AD=BE,ZADC=ZBEC.由点A,D,E在同一直线

上可求出ZADC,从而可以求出的度数.

（2）仿照（1）中的解法可求出NAEB的度数，证出由△OCE为等腰直角三角形及CM为

中DE边上的高可得CM=DM=ME,从而证到AE=2CH+BE.

（3）由可得：点P在以点。为圆心，1为半径的圆上；由N8PD=90。可得：点P在以8。为直径的

圆上.显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论.然后，

添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图1.〈△ACB和△OCE均为等边三角形,

ACA=CBfCD=CE,NACB=NDCE=60。,

・・・ZACD=ZBCE.

在△ACO和中，

AC=BC

•/ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SA5),

・・・ZADC=ZBEC.

•••△QCE为等边三角形，

・・・ZCDE=ZCED=60°.

♦・•点A,D,E在同一直线上，

・♦・ZADC=120°t

AZBEC=120°,

/.ZAEB=ZBEC-NCED=60。.

故答案为：60°.

②AACD^ABCE,

：.AD=BE.

故答案为：AD=BE.

(2)ZA£B=90°,AE=BE+2cM.

理由：如图2.•••△AC8和△OCE均为等腰直角三角形,

：.CA=CBtCD=CE,NACB=NDCE=900,

：.ZACD=ZBCE.

在△ACD和△8CE中,

CA=CB

<ZACD=NBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEfNADC=NBEC.

•••△OCE为等腰直角三角形，

:.NCDE=/CED=45。.

,点A,D,E在同一直线上，

・・・ZADC=135°,

AZBEC=135°,

AZAEB=ZBEC-ZC£D=90°.

VCD=CE,CM1DE,

；・DM=ME.

,?ZDCE=90°,

:・DM=ME=CM,

:・AE=AD+DE=BE+2cM.

(3)点A到BP的距离为避二1或迫土1.理由如下：

22

"：PD=\,

...点P在以点。为圆心，1为半径的圆上.

VZBPD=90°,

二点P在以BD为直径的圆上，

.•.点户是这两圆的交点.

①当点P在如图3①所示位置时，连接尸。、PB、PA,作垂足为“，过点A作AELAP,交BP

于点E,如图3①.

♦.•四边形ABC。是正方形，

二乙4。8=45。.AB=AD=DC=BC=4i,N8A/X90。,

：.BD=2.

；DP=1,

:.BP=4i.

■：ZBPD=ZBAD=90°,

：.A,P、D、8在以8。为直径的圆上，

，ZAPB=ZADB=45°,

E是等腰直角三角形.

又•.•△BAD是等腰直角三角形，点8、E、P共线，AH1BP,

二由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD,

：.^3=2AH+\,

图3①

②当点尸在如图3②所示位置时，连接。£）、必，作垂足为，，过点A作交PB

的延长线于点E,如图3②.

同理可得：BP=2AH-PD,

：.V3=2AH-1,

综上所述：点4到8尸的距离为叵4或叵

22

【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角

形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考

查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题.而通过添加适当的辅助线从

而能用(2)中的结论解决问题是解决第(3)的关键.

15.已知：AABC内接于。0,AC=BC,AD_LBC于点。，连接80.

(1)如图，求证：NBAD=NOBC；

(2)如图，延长AD交。。于点E,连接8E,若OHLBC,求证：BE=20H；

(3)如图，在(2)的条件下，若AB=CD,OH=\,求线段A。的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2百.

【解析】（1）如图，连接0C,根据等腰三角形的性质可得ZR4c=4LBC,根据4）_LBC可得

ZBAD+ZABD=9Q°,根据圆周角定理可得NBOC=2ZBAC,根据等腰三角形的性质可得NO3C=NOCB,

根据三角形内角和可得NOBC+ABAC=90°,即可得结论；

（2）如图，连接OC,过点。作0K_L5E于点K,根据垂径定理可得BK=KE=gsE,根据圆周角定理可

得NE8C=㈤C,利用角的和差关系可得的C=NO8£,根据等腰三角形的性质可得

NBOH=NCOH=、NBOC,根据圆周角定理可得NB4C=/BO”=NQ3E,利用AAS可证明

2

MOKm&OBH,根据全等三角形的性质可得0”=3K,进而可得结论；

（3）延长CO交AD于点过点。作QNLCA/于点N,。8交AO于点G,连接BM,设

ABAD=ZOBC=a,根据圆周角定理及等腰三角形的性质可得NBC4=NBE4=2a,即可得出

ZBCO=ZACO=a,利用SAS可证明ABCM^AACM,根据全等三角形的性质可得AM^BM,

ZBAM=ZABM=a,ZBMD=2a,进而可得=/劭〃）=2夕，可得=根据三角形内

角和可得NEG8=NEBG=9（）。一c,即可得出EG=3E=助0=AM,根据等腰三角形的性质可得=ED,

设GO=〃？，W\MD=ED=2-m,AD=AM+MD=4-m,利用ASA可证明,可得DN=BD,

根据直角三角形两锐角互余的关系可得NAffiW=NMCD=/G3£>=a,利用AS4可证明△G5*AMDN,

可得8G=W=2-w,利用勾股定理列方程求出m的值即可得答案.

【详解】

（1）连接0C,

•；AC^BC,

：.ZBAC=ZABCi

;AD±BCt

：.ZADB=90°,

・・・Zfi4r>+ZABD=90°,

・・・N8AC和N80C分别是8c所对的圆周角和圆心角，

:./BOC=2/BAC,

・.・OB=OC,

：.NOBC=/OCB,

•：NQ5C+NQCB+N50c=180。，

・・・2NOBC+2ZBAC=180°,

，ZOBC+ZBAC=90°,

:./BAD=NOBC.

（2）连接OC,过点。作OK_L3E于点K,

■:OK1.BE,

BK=KE=LBE,

,/ZEBC和/£4C是CE所对的圆周角，

・・・ZEBC=ZEAC,

■:4BAD=4OBC,

・・・/BAD+/EAC=/EBC+NOBC,

:.ZBAC=NOBE,

♦：OB=OC,OH工BC,

:./BOH=4coH=-N8OC,

・.,NBAC=L/BOC,

2

:.ABAC=ZBOH=Z.OBK,

VOHIBCtOK1BE,

：./OHB=/OKB=90。,

NOHB=ZOKB

在△BOK和△03〃中，,NBOH=Z.OBK,

OB=OB

：.ABOK^AOBH,

：.OH=BK,

:.BE=2OH.

(3)延长CO交AO丁点M,过点。作。V，CM「点N,OB交AD于点、G,连接3M.设

乙BAD=ZOBC=a,

：.NBAC=/BOH=/OBE=90。一a,

・・・ZBCA=ZBEA=180°-2/BAC=2a,

9：ZOBC=ZOCB=ct,

：.ZBCO=ZACO=af

BC=AC

在△3CM和△ACM中，<ZBCO=/ACO,

CM=CM

：.SBCM^^ACM,

:・AM=BM,ZBAM=ZABM=a.4BMD=2a、

：./BED=NBMD=2a,

:.BE=BM=AM,

•；OH=\,

:.BE=BM=AM=2,

在AE8G中，/BED="ZEGB=90Q-ZOBC=90°-a,

:.NEBG=180。-NEGB-ZBED=90。一a,

：.ZEGB=ZEBG=90°-a,

・,.EG=BE=BM=AM=2,

■:BD1.ME,

；・MD=ED,

设GD=m,则MO=EE>=2-利，

^BAD=ZDCN

在MBD和kCDN中,AB=CO,

ZADB=ZCND

：.MBD^ACQN,

:.DN=BD,

丁ZGDB=ZMND=90°,

：.ZZWC+ZZXM=90°,

JZMDN+ZDMN=90°,

・・・ZMDN=ZMCD=ZGBD=a,

ZGDB=乙MND

在AGB。和△m0川中，<BD=DN

NGBD=/MDN

：.\GBD^\MDN,

・・・BG=MD=2-m,

在RlABDG中,BD2=BG2-DG2,

在mABDE中，BD2=BE2-DE2

：.（2—m）2—m2=2?-（2-/W）2,

解得：町=4+2\/5（舍去），zn,=4-2A/3,

AD=4—m=2>/3.

【点评】本题考查圆周角定理.、垂径定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理，正

确作出辅助线，构建全等三角形并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

16.已知"BC内接于。O,AOJ_O8于。.

(1)如图1,求证：ZBAD=ZACB；

（2）如图2,若A8=AC,求证：BC=2AD；

（3）如图3,在（2）条件下，延长分别交8C、。。于点E、F,过点4作4GL8产于点G,A