九年级（上）期末数学试卷 (九)

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂

里八、、）/

1.（3分）一元二次方程x2-x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

2.（3分）刘徽是中国历史上最杰出的数学家之一，他的一部专著是中国

最早的测量数学专著，使中国的测量学达到了世界的巅峰.这部著作

是（）

A.《周髀算经》B.《九章算术》C.《孙子算经》

D.《海岛算经》

3.（3分）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利

用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚.如图，利用放大镜可以看清

辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

4.（3分）已知点A（-3,）,B（4,y）都是反比例函数y=-四图象

yi2X

上的点，则》与丫2的大小关系为（）

A.y,<y2B.yi>y2C.yi=y2D.无法确定

5.（3分）如图，该几何体的左视图是（）

6.（3分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保

护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生

与生命的活力充满无限希望.某班同学在“做环保护航者”的主题班

会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），

如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）

R

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

7.（3分）如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电

阻R（Q）的反比例函数.当R=2。时，I=6A.若电阻R增大1Q,

则电源1为（）

IO~

A.3AB.4AC.7AD.12A

8.（3分）为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部

门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、

体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”

中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为

（）

A.1B.1C.AD._2,

451025

9.（3分）快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和

改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申

通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场

竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从的12元/件连

续降价至的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x,则所列

方程为（

A.12(1-x)2=9.72B.12(1-2x)=9.72

C.9.72(1+x)2=12D.9.72(l+2x)=12

10.（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：

EC=2：1,AE与BD交于点F,则ABEF与4ABD的面积之比是（)

B

A.2：3B.4：9C.4；15D.9：15

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若包=旦，则a+b=.

b7b

12.（3分）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下

用隔亮布进行表演的民间戏剧.表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配

以音乐，具有浓厚的乡土气息.“皮影戏”中的皮影是（填写

“平行投影”或“中心投影”）.

13.（3分）第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2月4日在中国北京市

和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次

举办冬季奥运会.如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m,宽为

2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平

铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一

点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上

的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的

面积约为m2.

14.（3分）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代

康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深

远.老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学

兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿AB长2

米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影

长EF约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度DE约为

米.

15.（3分）如图，四边形OABC是正方形，0A在y轴的正半轴上，0C在x

轴的负半轴上，反比例函数丫=-岖在第二象限的图象与BC,AB分

X

别交于点E,F.若NE0F=30°,则线段0E的长为.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤.）

16.（5分）解方程：2（x2-1）=3x+3.

17.（7分）阅读下列材料，并完成相应任务.

三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方

程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，说明如下：

将方程x?+2x-35=0变形为x（x+2）=35,然后画四个长为（x+2）,宽

为X的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方

形的面积可表示为（x+x+2）2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小

正方形面积之和,即：4x（x+2）+22=4X35+4,

可得新方程:（x+x+2）2=144,

Vx表示边长，

，2x+2=12.

••x――5.

任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想

是;

A.分类讨论思想

B.数形结合思想

C.演绎思想

D.公理化思想

②用配方法解方程：x2+2x-35-0.

任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的

方法求解一元二次方程的不足之处是.（写出一条即可）

18.（7分）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软

件，在平面直角坐标系中画出了AABC的位似图形△ABC.

（1）在图中标出aABC与△ABG的位似中心M点的位置，并写出M点

的坐标；

（2）若以点Ai为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出4

ABG的位似图形△ABC2,且△ABG与△ABC2的位似比为2：1.

19.（8分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役

为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，

东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀

敌的真实历史.为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历

史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外

其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波

澜壮阔、可歌可泣的历史事迹.规则如下：先将四张卡片背面朝上，

洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随

机抽取一张.请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡

片恰好是同一英雄人物的概率.

A.谈子为B.jfi千里C.梅生D.余从戎

20.(7分)如图，在RtZ^ABC中，NACB=90°,CD是AABC的中线，点

E是CD的中点，过点C作CF〃AB交AE的延长线于点F,连接BF.请

判断四边形BFCD的形状，并加以证明.

21.(9分)如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=K的图象

X

交于A(3,a),B两点，与y轴交于点C.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求出点B的坐标，并直接写出aAOB的面积；

(3)根据图象，请直接写出不等式-x+4＞区的解集.

22.(8分)12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶

光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空

间站首次太空授课活动.在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行

了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖

品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模

型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，

每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若

学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学

校购买“神舟载人飞船”模型的数量.

23.(H分)问题情境:

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每

个小组的矩形纸片规格相同)，已知矩形纸片宽AD=6.

动手实践：

(1)如图1,腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点

A'处，折痕为DE,连接A'E,然后将纸片展平，得到四边形AEA'D.试

判断四边形AEA'D的形状，并加以证明.

(2)如图2,永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F,连接DF,

使NCDF=30°,将4CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的

点G处.连接DG,GF,将纸片展平，

①求△DFG的面积；

②连接CG,线段CG与线段DF交于点M,则CG=.

深度探究：

(3)如图3,探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一

点N,使DN：A'N=1：2,将4AND沿线段AN折叠得到△AND',连接A'D',

探究并直接写出A'D'的长度.

24.(13分)如图，矩形OABC的顶点0与坐标原点重合，边OA,0C分别

落在x轴和y轴上，顶点B的坐标(8,4),点D是边BC上一动点，

过点D作反比例函数y=K(x>0)的图象与矩形OABC的边AB交于点

X

E.

(1)如图1,连接DE,AC,若BD：BC=3：4.

①填空：点D的坐标为，点E的坐标为；

②请判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由.

(2)如图2,连接OB,0D,若线段0B平分NDOA.

①求k的值；

②若动点M在y轴上运动，当线段ME与MD的差最大时，请直接写出点

M的坐标.

图1图2

-山西省晋中市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂

黑）

1.（3分）一元二次方程x2-x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断.

【解答】解：•.•△=（-1）2-4X（-1）=5>0,

，方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax?+bx+c=0（aWO）

的根与A=b2-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实

数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实

数根.

2.（3分）刘徽是中国历史上最杰出的数学家之一，他的一部专著是中国

最早的测量数学专著，使中国的测量学达到了世界的巅峰.这部著作

是（)

A.《周髀算经》B.《九章算术》C.《孙子算经》

D.《海岛算经》

【分析】结合《九章算术注》相关知识直接回答得出答案.

【解答】解：刘徽给《九章算术》写过注文，《海岛算经》是刘徽所著，

故选：D.

【点评】此题主要考查了数学常识，正确掌握《九章算术注》有关知识

是解题关键.

3.（3分）在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利

用放大镜“放大”，可以使人看得更清楚.如图，利用放大镜可以看清

辣椒表面的纹路，这种图形的变换是（）

A.平移变换B.旋转变换C.轴对称变换D.相似变换

【分析】根据相似图形的定义即可得到结论.

【解答】解：•••利用放大镜将标尺上的数码放大，放大后的数码与标尺

上的数码形状相同，

...放大后的数码与标尺上的数码是相似图形，

...这种图形变换是相似变换，

故选：D.

【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟练掌握相似图形的定义是

解决问题的关键.

4.(3分)已知点A(-3,yi),B(4,y2)都是反比例函数丫=-2•图象

X

上的点，则yi与y2的大小关系为()

A.yi<y2B.y,>y2C.yi=y2D.无法确定

【分析】利用待定系数法求出函数值(，yz即可判断.

【解答】解：♦..点A(-3,y)B(4,yz)都是反比例函数y=-£图

X

象上的点，

.♦.x=-3时，yi=4,

x=4时，y2—-3,

•*.yi>y2,

故选：B.

【点评】本题考查反比例函数坐标特点，由反比例函数确定函数值即可.

5.(3分)如图，该几何体的左视图是()

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条

分线是虚线，故C正确；

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视

图，注意看不到的线用虚线表示.

6.（3分）绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保

护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生

与生命的活力充满无限希望.某班同学在“做环保护航者”的主题班

会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），

如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）

R

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

【分析】过A作AELCD于E,AF_LBC于F,贝!|NAED=NAFB=90°，

根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角

形的判定得出△AEDZZXAFB,根据全等三角形的性质得出AD=AB,再

根据菱形的判定得出即可.

【解答】解：设重叠部分的图形是四边形ABCD,过A作AELCD于E,

AFLBC于F,则NAED=NAFB=90°，

•.•丝带的对边平行且宽度相同，

.•.AE=AF,AB〃CD,AD〃BC,

...四边形ABCD是平行四边形，

.•.ND=NB,

在4AED和AAEB中，

fZAED=ZAFB

<ZD=ZB，

AE=AF

AAAED^AAFB(AAS),

AAD=AB,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

...四边形ABCD是菱形，

即重叠部分的图形是菱形，

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判

定和全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记判定定理是解此题的关

键，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

7.(3分)如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I(A)是电

阻R(。)的反比例函数.当R=2。时，I=6A.若电阻R增大1Q,

则电源1为()

I0_

A.3AB.4AC.7AD.12A

【分析】直接利用电流I(A)是电阻R(Q)的反比例函数，进而得出

函数关系式，求出答案.

【解答】解：设1=旦，当R=2Q时，I=6A时，

R

则6=旦，

2

解得:U=12,

故1=出

R

若电阻R增大1。，则电流I为：1=」&=4(A).

2+1

故选：B.

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解

题关键.

8.(3分)为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部

门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、

体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”

中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为

()

A.1B.1C.J_D.2

451025

【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手

机”的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”分别记为

A、B、C、D、E,

画树状图如下：

开始

ABCDE

//V//V./Ax

BCDEACDEABDEABCEABCD

共有20种等可能的结果，其中抽到“作业”和“手机”的结果有2种，

・•.抽到“作业”和“手机”的概率为2=J_,

2010

故选：C.

【点评】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.(3分)快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和

改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申

通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场

竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从的12元/件连

续降价至的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x,则所列

方程为（）

A.12(1-x)2=9.72B.12(1-2x)=9.72

C.9.72(1+x)2=12D.9.72(l+2x)=12

【分析】利用快递的平均单价=快递的平均单价义（1-每年降价的百

分率）2,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得：12（1-x）2=9.72.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系,

正确列出一元二次方程是解题的关键.

10.（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：

EC=2：1,AE与BD交于点F,则ABEF与4ABD的面积之比是（)

B

A.2：3B.4：9C.4；15D.9：15

【分析】通过证明△ADFsaEBF,可得巫上，S^BEF=当即可求

ADDF3^AADF9

解.

【解答】解：VBE：EC=2：1,

ABE：BC=2：3,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.•.AD〃BC,AD=BC,

.,.△ADF^AEBF,

♦BEBF2SABEF—4

••瓦而而‘SAADF

•••设SABEF=4X,SAADF_9X>

VBF：DF=2：3,

••SAABF=6X,

••S/\ABD15x,

.•.△BEF与AABD的面积之比=4：15,

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证

明三角形相似是解题的关键.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）若包=3,贝I」互迪=12.

b7b~7~

【分析】根据比例设a=3k,b=7k（kWO）,然后代入比例式进行计算

即可得解.

【解答】解：:•包=当

b7

.,.设a=3k,b=7k(kWO),

•••a・，+.b-=3-k-+-7--k=—10•

b7k7

故答案为：也.

7

【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k法”求解更简

便.

12.（3分）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下

用隔亮布进行表演的民间戏剧.表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配

以音乐，具有浓厚的乡土气息.“皮影戏”中的皮影是中心投影（填

写“平行投影”或“中心投影”）.

【分析】根据中心投影的定义判断即可.

【解答】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影，

故答案为：中心投影.

【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心

投影，平行投影的定义，属于中考常考题型.

13.（3分）第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2月4日在中国北京市

和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次

举办冬季奥运会.如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m,宽为

2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平

铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一

点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上

的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的

面积约为0.9m2.

【分析】用长方形的面积乘以骰子落在会徽图案上的频率的稳定值即可.

【解答】解：估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为3X2X0.15

=0.9（m2）,

故答案为：0.9.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的

频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频

率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很

多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计

概率.

14.（3分）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代

康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深

远.老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学

兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿AB长2

米，在太阳光下，它的影长BC为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影

长EF约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度DE约为38

米.

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影

子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.

【解答】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，

设文峰塔DE的高度为x米，

则可列比例为,

28.51.5

解得x=38.

所以文峰塔的高度DE约为38米.

故答案为：38.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用在同一时刻物高与影长的

比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力.

15.（3分）如图，四边形OABC是正方形，0A在y轴的正半轴上，0C在

轴的负半轴上，反比例函数y=-苴&在第二象限的图象与BC,AB分

X

别交于点E,F.若NE0F=30°,则线段0E的长为」

【分析】先根据反比例函数图象的得到aOCE丝△OAF,再根据NE0F=

30°,得到NC0E=NA0F=30°,进而求得CE的长度，即可得到最后

答案.

【解答】解：•••四边形OABC是正方形，

.•.OA=OC,Z0AF=Z0CE=90°,

•••反比例函数y=-心反在第二象限的图象与BC,AB分别交于点E,F,

X

.•.CEX0C=AFX0A=8«,

.•.CE=AF,

在△OCE与OAF中，

rOC=OA

<Z0CE=Z0AF»

CE=AF

.,.△OCE^AOAF(SAS),

VZE0F=30",

.•.NC0E=NA0F=30°,

/.0C=V3CE,

,.•CEX0C=8百,

.，.CE=2加,

.•.0E=2CE=4&,

故答案为：4如.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及

反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤.)

16.(5分)解方程：2(x2-1)=3x+3.

【分析】方程整理后利用公式法求出解即可.

【解答】解：方程整理得：2x2-3x-5=0,

这里a=2,b=-3,c=-5,

•二△=bL-4ac

=(-3)2-4X2X(-5)

=9+40

=49>0,

•x=3土痛=3±7

44

解得：Xi=a,X2=-1.

2

【点评】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解

本题的关键.

17.(7分)阅读下列材料，并完成相应任务.

三国时期的数学家赵爽在其所落的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方

程的几何解法，以x2+2x-35=0为例，说明如下：

将方程x?+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为(x+2),宽

为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方

形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小

正方形面积之和，即：4x(x+2)+22=4X35+4,

可得新方程:(x+x+2)2=144,

Vx表示边长，

，2x+2=12.

••x――5・

任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是

A.分类讨论思想

B.数形结合思想

C.演绎思想

D.公理化思想

②用配方法解方程：x2+2x-35-0.

任务二：比较上述两种解一元二次方程的方法，请反思利用构造图形的

方法求解一元二次方程的不足之处是漏解.(写出一条即可)

【分析】任务一：①观察构造图形的方法判断即可；

②方程利用配方法求出解即可；

任务二：找出构造图形方法的缺点即可.

【解答】解：任务一：①这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数

学思想是数形结合思想；

故选：B；

②方程x?+2x-35=0,

移项得：X2+2X=35,

平方得：x2+2x+l=36,即(x+1)2=36,

开方得:x+l=±6,

解得：Xi=5,X2=-7；

任务二：利用构造图形的方法求解一元二次方程的不足之处是漏解.

故答案为：漏解.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，数学常识，

以及勾股定理的证明，熟练掌握方程的解法是解本题的关键.

18.(7分)如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软

件，在平面直角坐标系中画出了AABC的位似图形△AEG.

(1)在图中标出AABC与△ABC的位似中心M点的位置，并写出M点

的坐标(0,2)；

(2)若以点Ai为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出4

ABG的位似图形AAiB2c2,且△ABG与aAiB2c2的位似比为2：1.

【分析】(1)对应点连线的交点为位似中心；

(2)取AB的中点B2,AC的中点C2,连接B2c2.

【解答】解：(1)如图，点M即为所求，M(0,2)；

(2)如图，△ABC?即为所求.

【点评】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，

属于中考常考题型.

19.（8分）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役

为背景，讲述71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，

东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀

敌的真实历史.为纪念历史，缅怀先烈，我校团委将电影中的四位历

史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外

其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在影片中波

澜壮阔、可歌可泣的历史事迹.规则如下：先将四张卡片背面朝上，

洗匀放好，小强从中随机抽取一张，然后放回并洗匀，小叶再从中随

机抽取一张.请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡

片恰好是同一英雄人物的概率.

人谈子为B.伍千里C.梅生D.余从戎

【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的

两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

ABCDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一

英雄人物的结果有4种，

.•.小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率为上=上

164

【点评】本题考查的是用树状图法求概率，画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

20.（7分）如图，在Rt/XABC中，NACB=90°,CD是△ABC的中线，点

E是CD的中点，过点C作CF〃AB交AE的延长线于点F,连接BF.请

判断四边形BFCD的形状，并加以证明.

【分析】根据直角三角形的性质得到CD=2AB=AD=BD,证明4AED也

2

△FEC,根据全等三角形的性质得到CF=DB,根据菱形的判定定理证明

即可.

【解答】解：四边形BFCD是菱形，

理由如下：在Rt^ABC中，NACB=90°,CD是AABC的中线，

则CD=』AB=AD=BD,

2

VCF^AB,

.\ZCFA=ZDAE,

在4AED和4FEC中,

rZDAE=ZCFE

<ZAED=ZFEC»

DE=CE

/.△AED^AFEC(AAS),

.\CF=AD=DB,

VCF/7AB,

...四边形BFCD是平行四边形，

：CD=BD,

・\平行四边形BFCD是菱形.

【点评】本题考查的是菱形的判定、全等三角形的判定和性质、直角三

角形的性质，掌握邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键.

21.(9分)如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=K的图象

X

交于A(3,a),B两点，与y轴交于点C.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求出点B的坐标，并直接写出aAOB的面积；

(3)根据图象，请直接写出不等式-x+4>K的解集.

【分析】(1)利用点A在y=-x+4上求a,进而代入反比例函数y=K

X

求k.

(2)联立方程求出父点，然后根据S^AOB=Sz\AOC-SziBOC求得即可.

(3)根据图象即可求得.

【解答】解：(1)把点A(3,a)代入y=-x+4,得a=l,

AA(3,1)

把A(3,1)代入反比例函数丫=区,

X

.\k=3Xl=3,

...反比例函数的表达式为y=3.

y=-x+4

(2)联立两个函数的表达式得3.

y=—

X

解得卜=1或卜=3,

1y=31y=l

...点B的坐标为B(1,3)

当c=0时，y=-x+4=4,

.,.点C(0,4),

SAAOB=SAAOC-SABOC——x4X3"—X4X1~4;

(3)观察图象，不等式-x+4>K的解集是xVO或1VXV3.

X

【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，根

据函数图象解不等式；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决函数解

析式的重要方法；数形结合解不等式是本题正确求解的关键.

22.(8分)12月9日，在神舟十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶

光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空

间站首次太空授课活动.在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行

了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神舟载人飞船”模型作为奖

品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模

型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，

每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若

学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学

校购买“神舟载人飞船”模型的数量.

【分析】利用总价=单价义数量可求出购买10个“神舟载人飞船”模

型的费用，由该值小于900可得出学校购买“神舟载人飞船”模型的数

量超过10个，设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则

每个“神舟载人飞船”模型的价格为(45-0.5x)元，利用总价=单价

义数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结

合每个模型最低单价不低于30元，即可得出学校购买“神舟载人飞船”

模型的数量.

【解答】解：•.•40X10=400(元)，400000,

.••学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过10个.

设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为x个，则每个“神舟载人

飞船”模型的价格为40-0.5(x-10)=(45-0.5x)元，

依题意得：(45-0.5x)x=900,

整理得：X2-90X+1800=0,

解得：Xi=30,X2=60.

当x=30时，45-0.5x=45-0.5X30=30,符合题意；

当x=60时，45-0.5x=45-0.5X60=1500,不符合题意，舍去.

答：学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为30个.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一

元二次方程是解题的关键.

23.(H分)问题情境：

数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每

个小组的矩形纸片规格相同)，已知矩形纸片宽AD=6.

动手实践：

(1)如图1,腾飞小组将矩形纸片ABCD折叠，点A落在DC边上的点

A'处，折痕为DE,连接A'E,然后将纸片展平，得到四边形AEA'D.试

判断四边形AEA'D的形状，并加以证明.

(2)如图2,永攀小组在矩形纸片ABCD的边BC上取一点F,连接DF,

使NCDF=30°,将4CDF沿线段DF折叠，使点C正好落在AB边上的

点G处.连接DG,GF,将纸片展平，

①求ADEG的面积；

②连接CG,线段CG与线段DF交于点M,则CG=上百

深度探究：

(3)如图3,探究小组将图1的四边形AEA'D剪下，在边A'D上取一

点N,使DN：A'N=1：2,将AAND沿线段AN折叠得到△AND',连接A'D',

探究并直接写出A'D'的长度.

【分析】(1)由矩形的性质得NA=NADC=90°,再由折叠的性质得N

DA'E=NA=90°,AD=A'D,则四边形AEA'D是矩形，然后由AD=AD',

即可得出结论；

(2)①由折叠的性质得DC=DG,CF=GF,ZCDF=ZGDF=30°,求出

NADG=30°,再由含30°角的直角三角形的性质得AG=[DG=」)C=

22

工AB,则AG=BG,然后由勾股定理求出DG=4遥，GF=4,即可解决问

2

题；

(3)过D'作PQ〃AD,交A'D于P,交AE于Q,则PQLA'D,PQ±AE,

由题意得DN=2,A'N=4,设D'P=x,则D'Q=6-x,再由折叠的性质

得：DN=D'N,AD'=AD=6,NAD'N=ND=90°,然后证△D'NPs^AD'Q,

求出x=且，即可解决问题.

5

【解答】解：(1)四边形AEA'D是正方形，理由如下：

二•四边形ABCD是矩形，

.•.NA=NADC=90°，

由折叠的性质得：NDA'E=NA=90°,AD=A'D,

.•.NA=NDA'E=NADC=90°,

...四边形AEA'D是矩形，

又TAD=AD',

...四边形AEA'D是正方形；

(2)①由折叠的性质得：DC=DG,CF=GF,NCDF=NGDF=30°,

•.•四边形ABCD是矩形，

AZADC=90°,AB=DC,BC=AD=6,

AZADG=90°-ZCDF-ZGDF=30°,

.\AG=1DG,

2

.\AG=1DC=1AB,

22

.•.AG=BG,

在Rt^ADG中，由勾股定理得：AG2+AD2=DG2,

即(1DG)2+62=DG2,

2

解得：DG=4在(负值已舍去)，

AG=2yfs，

在RtZ^BGF中，由勾股定理得：BF2+BG2=GF2,

•.•BG=AG=2我，BF=6-CF=6-GF,

(6-GF),+(2V3)2=GF2,

解得：GF=4,

...S-FG=2GF・DG=LX4X4百=8代；

22

②由①得：NGDF=NCDF=30°,CD=DG,

.•.NCDG=60°,

...△CDG是等边三角形，

.•.CG=DG,

•*.CG