吉林省吉林市第五中学2023-2024学年七年下学期第一次月考数学试题（解析版）

2023-2024学年度七年级下学期第一阶段质量检测试卷一、选择题：（每小题2分、共计12分）1.的相反数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，利用相反数的定义即可得到答案．解：的相反数是，故选C．【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．2.下列各数中是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．解：，根据无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，故选；D．3.下列选项中计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平方根，算术平方根和有理数的乘方；根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可．解：A.，计算正确，该选项符合题意；B.，原式错误，该选项不符合题意；C.，原式错误，该选项不符合题意；D.，原式错误，该选项不符合题意；故选：A．4.在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．解：A、图形由轴对称得到，不属于平移得到；B、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到；C、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；D、图形的大小发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到；故选：C．【点睛】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．5.如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．先根据平行线的性质得出的度数，再由对顶角相等即可得出结论．解：∵，，∴，∴．故选：B．6.古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，由此他得出，其中“”所依据的数学定理是（）A.两直线平行，内错角相等 B.两直线平行，同位角相等C.两直线平行，同旁内角互补 D.内错角相等，两直线平行【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等，即可求解．解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．．故选：A．二、填空题（每小题3分，共计24分）7.计算：_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了算术平方根．直接根据算术平方根的定义求解即可．解：，故答案为：．8.如果用有序数对表示教室里第3列第2排的座位，则位于第5列第4排的座位应记作___________．【答案】(5，4)【解析】【分析】利用有序实数对表示．解：位于第5列第4排的座位应记作（5，4）．故答案为（5，4）．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面坐标系中的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．9.如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD＝60°，则∠BOD＝____°．【答案】150【解析】【分析】根据对顶角相等得到∠AOB的度数，再根据邻补角的定义即可得出结论．解：∵∠AOB=∠COD，∠AOB＋∠COD=60°，∴∠AOB=∠COD=30°，∴∠BOD=180°－∠AOB=180°－30°=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查了对顶角相等和邻补角的定义．求出∠AOB的度数是解题的关键．10.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_________________．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【解析】【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．11.已知，则的值是__________；【答案】10【解析】【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质求出a，b计算即可；】∵，∴，∴，∴．故答案是10．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．12.如图，若使得，则可以添加的一个条件是___________．【答案】【解析】【分析】根据平行线的判定定理，内错角相等两直线平行，即可求解．】解：∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．13.如图,AB∥CD,FB平分∠EFD,若∠B=32°,则∠1的度数是________．【答案】64°【解析】【分析】先根据AB∥CD得到∠BFD=∠B=32°，再根据角平分线的性质得到∠EFD=2∠BFD，再根据平行线的性质得到∠1=∠EFD即可.∵AB∥CD∴∠BFD=∠B=32°，∵FB平分∠EFD∴∠EFD=2∠BFD=64°，∴∠1=∠EFD=64°.【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质定理.14.如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积是_________．【答案】【解析】【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案．解：如图，由题意可知，∴∴阴影部分的面积为故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共计20分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】根据求一个数的算术平方根、立方根，化简绝对值，进行计算即可求解．解：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的算术平方根、立方根，化简绝对值是解题的关键．16.求下式中x的值：【答案】【解析】【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确平方根的含义．根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．解：，，解得．17.自由下落物体的高度（单位：m）与下落时间（单位：s）的关系是．如图，有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间（结果四舍五入取整数）？【答案】，详见解析

【解析】【分析】把代入关系式进行求解即可．解：由题意得，代入，得，∵，∴，∴到达地面约需要．【点睛】本题主要考查求代数式的值及算术平方根，解题的关键是理解题意．18.已知点（1）当点P到两坐标轴的距离相等，点P的坐标为______．（2）如果点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，求点M的坐标．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】本题考查了点的坐标；（1）根据点P到两坐标轴的距离相等可得横纵坐标相等或互为相反数，分别列式求出a的值，然后可得点P的坐标；（2）第三象限内的点横纵坐标都是负数，且到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此可得答案．【小问1】解：∵点到两坐标轴的距离相等，∴或，∴或，∴或，故答案为：或；【小问2】∵点M在第三象限，且点M到x轴距离为3，到y轴的距离为4，∴点M的纵坐标为，横坐标为，即．四、解答题（每小题7分，共计28分）19.如图所示的是天安门周围的景点分布示意图，若以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立坐标系，表示电报大楼的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，请解决下面的问题：（1）在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出美术馆的坐标_______；（2）“天安门—故宫—景山”所在的直线称为北京城的中轴线，在王府井的小奇同学如果要在最短的时间内（速度相同）赶到中轴线上，则小奇应该直接到达中轴线上的点的坐标为________，理论依据为_____________．【答案】（1）见解析，（2），垂线段最短【解析】【分析】（1）根据电报大楼的点的坐标为，王府井的点的坐标为，然后建立直角坐标系，读出点美术馆的坐标即可；（2）根据王府井的点的坐标及垂线段最短即可求解．【小问1】解：建立坐标系如图所示：美术馆的坐标，【小问2】∵王府井的点的坐标为，∴直接到达中轴线上的点的坐标为，理论依据为垂线段最短．故答案为：；垂线段最短．【点睛】题目主要考查坐标系的建立及实际应用，理解题意，建立直角坐标系是解题关键．20.如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变，若，测得，从水面上看斜插入水中的筷子，求水下部分向上折弯了多少度？【答案】【解析】【分析】本题考查了对同位角定义，内错角定义的应用，主要考查学生的理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补．根据平行线的性质解答即可．∵，∴．∵，∴，∴向上折弯了．21.如图，．求和的度数．【答案】【解析】【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，进行求解即可．解：∵，∴．22.已知，．（1）若x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．【答案】（1）（2）81【解析】【分析】（1）先求出x的值，再根据列出方程，求出a的值；（2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出a，然后求出x，最后求出这个正数．【小问1】解：∵x的算术平方根为3，∴，即，∴．【小问2】解：根据题意得：，即：，∴，∴，∴这个正数为．【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，注意算术平方根、平方根与平方的联系．五、解答题（每小题8分，共计16分）23.如图，和的平分线交于E，交于点F，且．（1）试说明：；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先由角平分线的定义得到，再由已知条件证明，即可证明；（2）先求出，再由平行线的性质即可得到．【小问1】证明：∵和平分线交于E，∴，∵，∴，∴；【小问2】解：∵，，∴，∵，∴．24.下面是居家学习期间老师在屏幕上共享嘉琪的作业如图，，．求证：．证明：∵①∴，②∵③∴④∴⑤（1）②处推论的理论依据是；（2）从④到⑤的推理；（填“正确”或“错误”）（3）写出完整的证明过程．（不必用括号写出每步的依据）【答案】（1）两直线平行，内错角相等（2）错误（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据两直线平行，内错角相等，即可；（2）根据平行线的判定，即可求解；（3）根据，可得，，再由，可得，从而得到，即可．【小问1】解：②处推论的理论依据是两直线平行，内错角相等；故答案为：两直线平行，内错角相等【小问2】解：从④到⑤的推理错误；故答案为：错误；【小问3】证明：∵，∴，，∵，∴，∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）．六、解答题（每小题10分，共计20分）25.如图，直线，相交于点O，平分，平分．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的度数．【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出；（2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数．【小问1】．证明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴．【小问2】∵，，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，．∵，∴，∴．26.下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，（1）①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；（2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．【答案】（1）①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；（2）α+β=105°或α-β=15°【解析】【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．【小问1】解：①如图1：标出∠3和∠4由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°∴∠1+∠2=60°∴∠2=60°-20°=40°故答案为：40；②∠1+∠2=60°，证明如下：证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4∵∠3+∠4=∠AOB=60°∴∠1+∠2=60°．【小问2】解：设OA与图中一条格线形成锐角为，OC与