苏教版七年级数学下册《乘法公式及因式分解》培优（含解析）

乘法公式及因式分解培优

一、单选题

1.（2018•山东初二期末）如果丁+6尤+〃2是一个完全平方式，则〃值为（)

A.3；B.-3；C.6；D.±3.

2.（2019・广西初二期末）已知（m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n=()

A.10B.6C.5D.3

3.（2020•广西初二期末）已知九2-3%+1=0，则12+%-2+3值为（)

A.10B.9C.12D.3

4.（2020•海南初二期末）已知x+y=5,xy=6,则x?+y2的值是()

A.1B.13C.17D.25

5.（2020.河南初二期末）如图，能说明的公式是（）

A.(a+b)2=(T+2ab+b1B.(a-b)2=a2-2ab-^-b2

C.(〃+/?)(〃-/7)=片一片D.不能判断

6.（2019•海口市第九中学海甸分校初二期中）下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（)

®x2-10x4-25;②4/+4a—1;@x2-2x—1;©-m2+；(§)4x4—x24--.

44

A.1个B.2个C.3个D.4个

（2020.海南海口一中初二期中）若元+'=3,?1

7.则一+下的值为（).

xx

A.9B.7C.11D.6

8.（2019・河南初二期末）若关于工的多项式f—a一6含有因式x—2,则实数〃的值为（）

A.-5B.5C.-1D.1

9.（2018•山东初二期末）因式分解x-4x3的最后结果是()

A.x(1-2x)2B.x(2x-1)(2x+l)C.x(1-2x)(2x+l)D.x(1-4x2)

10.（2019•准格尔旗第四中学初二开学考试）若a+b=l,则a2-b?+2b的值为()

A.4B.3C.1D.0

11.（2020♦四川初二期末）若实数x满足X2-2X-1=0,则2X3・7X2+4X・2019的值为（)

A.-2019B.-2020C.-2022D.-2021

12.（2020・南京外国语学校初一期中）若3W+6x+2=〃（x+攵产+力（其中。、k、h为常数），则攵和h的值分别为（）

22

A.1,1B.1,-1C.1,一-D.-1,-

33

二、填空题

13.（2019•河南初二月考）若代数式+h可化为。一。）2-1,则〃一。的值是.

14.（2020•深圳市龙岗区布吉中学初三月考）a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,那么2a+w的值为

15.（2020•湛江市第二十二中学初二开学考试）已知mn=l,则（m+n）2—（m—n）2=

16.（2020•全国初一课时练习）（1）已知x—y=4,孙=12,则9的值为

（2）已知实数mb满足（。+加2=1,（"））2=25,则/+/+"

（3）已知（2012—x）（2013—x）=2013,求（2012—x/+（2013—xp=.

17.（2020・广东初三学业考试）分解因式6xy2-9x2y-y3=.

2

18.（2020•全国初二课时练习）已知x+l=3，贝I（1）x+^=；（2）x--.

xxx

19.（2019•山东初二期中）若xy=-2019,贝U（空）<（季丫_____________.

20.（2020•山东初二期末）已知a,b,。是A4BC的三边，S.h2+2ab=c2+2ac>则AA8C的形状是.

21.（2020♦全国初二课时练习）已知a='/〃+l,b=^-m+2,c=—m+3,则/+2a/j+/j2一2ac+c?-2/?c的

222

值为.

22.（2020・湖北初二期末）已知a—匕=4,ab+c2+4=0,则a+b+c=.

23.(2020•四川初二期末)已知a—b=2,则丝之一a力的值____

2

24.(2019・陕西初二期中)若多项式9f+日+1是一个含X的完全平方式，则攵=.

25.(2019・重庆初二期中)先阅读后计算：为了计算4x(5+1)x(52+1)的值，小黄把4改写成5-1后，连续运

用平方差公式得：

4x(5+1)x(52+1)=(5-1)x(5+1)x(52+1)

=(52-1)xgl)=252-1=624.

请借鉴小黄的方法计算：

,结果是.

26.(2020•深圳市宝安区北亭实验学校初三)分解因式：m4n-4m2n=

三、解答题

27.（2019・湖南初一期末）已知多项式A=（x+2）2+（l—x）（l+x）—3.

(1)化简多项式A；

(2)若(x+l>-修=-3,求A的值.

28.(2019•江西初二期末)以下是小嘉化简代数式(x-2y『—(x+y)(x—y)—2y2的过程.

解：原式=(f-4盯+4力-卜2_力_2>2……①

=x2-4xy+4y2—^—y2-2y2...②

=y2—4xy...③

(1)小嘉的解答过程在第步开始出错，出错的原因是；

(2)请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当4x=3y时代数式的值.

29.（2020•全国初一课时练习）计算:

一。+心…

⑴a'"5(an+'b3m-2)2+/(_*+2)

(2)3JI3

(4)(x+2y-3)(x-2y+3)

32

(5)(-6a”5a-4o+a-^(6)0-2)0(%2+2xy-3y2)

24690________

(8)(-8)70xO.12569

123462-12345x12347

30.（2018•南京市金陵汇文学校初一月考）已知a+6=5,ab=3求下列式子的值.

(1)a2+b2；(2)a^b3.

31.（2019•福建泉州五中桥南校区初二期中）因式分解:

(1)2m2-8；(2)(a2+9)2-36a2

32.(2019•山东初一期中)先化简，再求值

(1)(3x•—l)(3x+5)—(3x+2)(3x—2),其中％=—2.

2

(2)(2机+3)(机一4)一(机+2)(加一3),其中加=(一)2"9X2.52°I9.

33.(2019・河南初二期中)分解因式

9标一4;(2)x(b-d)+y[a-b)-.

(3)2y+25孙;(4)(x-2)—6x+12；

(5)x?+3x(x—2)—4.

34.(2019・湖南初二期末)两个不相等的实数加，〃满足加2+〃2=4().

(1)若根+〃=-4,求mn的值；

(2)若病一6m=k，n2—6n=k＞求加+及和k的值.

35.(2020•全国初二课时练习)将下列各式分解因式.

(1)4x-16x3;(2)2a(x+l)2-2ax；

(3)4a^b-a)-b2；(4)^a-b^3a+by+(a+3i>)2(b-a).

36.(2018•南京市金陵汇文学校初一月考)原题呈现：若a2+房十而_2"5=0，求“、&的值.方法介绍：

①看到a2+4。可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4=(d+2)2,这个过程叫做“配方”，同理%2-2h+

1=(/7-1)2,恰好把常数5分配完；

②从而原式可以化为伍+2)2+(。-1)2=0由平方的非负性可得。+2=0且6-1=0.经验运用:

(1)若4。2+/?2-20。+66+34=0求a+b的值；

(2)若a2+5h2+c2-2ah-4h+6c+10=0求a+b+c的值.

37.(2019•山东初二期中)对于形如了2+26+标的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的

形式.但对于二次三项式产+4%-5,就不能直接用完全平方公式分解了.对此，我们可以添上一项4,使它与f+4x

构成个完全平方式，然后再减去4,这样整个多项式的值不变，即

X2+4X—5=(/+4X+4)—4—5=(X+2)2-9=(X+2+3)(X+2-3)=(X+5)(X-1).像这样，把一个二次三

项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法.

(1)请用上述方法把炉一6%-7分解因式.

(2)已知：F+y2+4x-6y+13=0,求N的值.

38.(2019・重庆初二期中)阅读材料：若4一2+2〃2-4〃+4=0，求m，〃的值.

解：m2-2mn+2n2—4n+4=0>-2mn+/i--4z?+4)=0,

—〃2)-=(),r.(加一")-=0,(〃-2)-=(),n=2,m=2.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)/+/+6。—3+10=0，则。=，b=.

(2)已知％2+29一2盯+8y+i6=0,求孙的值.

(3)己知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2“2+。2_4q_8。+18=0,求△ABC的周长.

39.（2019•四川初二期中）（1）分解因式加_机=（直接写出结果）；若

根是整数，则加3—机一定能被一个常数整除，这个常数的最大值是—.

（2）阅读，并解决问题：

分解因式（4+8）2+2（。+。）+1

解：设a+6=r,则原式=*+2f+l=Q+l)2=(a+b+l)2

这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个

多项式.换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：

①(机+">-10(根+〃)+25②(x2—6x+8)(%2—6x+10)+1

40.（2020•山东初二期末）图①是一个长为2机、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然

后按图②的形状拼成一个正方形.

图①图②

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.

方法1：；

方法2：；

（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（机+〃）2,（加一〃）2,加〃之间的等量关系.

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a-b=5,ab=-6,求（a+A）?的值；

2

②已知：片_。_2=0，求：。+一的值.

a

41.（2020•全国初二课时练习）如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：x2+（p+q）

x+pq=x2+px+qx+pq=（）（）.

说理验证

事实上，我们也可以用如下方法进行变形:

x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+()==()().

于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解.

尝试运用

例题把x2+3x+2分解因式.

解：x2+3x+2=x2+(2+1)x+2xl=(x+2)(x+1).

请利用上述方法将下列多项式分解因式：

(1)x2-7x+12；(2)(y2+y)2+7(y2+y)-18.

42.(2019•河南初二期中)(1)先化简再求值：4(m+l)2-(2/?j+5)(2m-5),其中帆=—3；

(2)已知。+/?=3,ab=2,求的值.

43.(2020.全国初一课时练习)阅读与思考:利用多项式的乘法法则，可以得到(x+p)(x+q)=f+(p+q)x+pq,

反过来，则有炉+⑺+4工+的式工+力^+/利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因

式。例如：将式子f+3x+2分解因式.这个式子的常数项2=1x2,一次项系数3=1+2,所以

f+3x+2=X?+(]+2)x+1x2.

解：x2+3x+2=(x+l)(x+2).

上述分解因式f+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线

的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于

一次项系数(如图).

请仿照上面的方法，解答下列问题：

22

(1)分解因式：X-5X+6；(2)分解因式：X-8X-48；

、」

1、，

]八2

(3)若d+px+15可分解为两个一次因式的积，写出整数P的所有可能值.lx2+lxl=3

44.(2019•江苏南京市第二十九中学初一月考)计算题：

(1)(-2x2y)2-2xy(x3y)；(2)4a(a-3b)-(3b-2a)(2a+3b)；

(3)982；(4)IIO2-109x111.

45.(2020•四川初二期末)观察下列分解因式的过程：x2+2xy—3y2

解：原式=x?+2xy+y2—y2—3y2

=(x2+2xy+y2)-4y2

=(x+y)2—(2y)2

=(x+y+2y)(x+y-2y)

=(x+3y)(x-y)

像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.

(1)请你运用上述配方法分解因式：x2+4xy-5y2

(2)代数式x2+2x+y2-6y+15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值,

最小值是多少？如果不存在，请说明理由.

46.(2019•贵州初二期末)(I)已知2®CB2"=225,求〃的值;

(2)已知(9"y=3i6,求〃的值；

(3)已知。+匕=4,而=3,求/+〃的值.

47.(2019•北京师大附中初二期中)阅读下面的材料，解决问题.

例题:若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值.

解:「m2+2mn+2n2-6n+9=0,

m2+2mn+n2+n2-6n+9=0,

(m+n)2+(n-3)2=0,

m+n=0,n-3=0,

Am=-3,n=3.

问题：(1)若2x2+4x-2xy+y2+4=0,求X、，的值；

(2)已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围.

48.(2019•江苏南京市第二十九中学初一月考)因式分解:

(1)/W3-6m2+9m；

(2)a2(x-y)+b2Cy-x).

答案与解析

一、单选题

1.如果%2+6x+〃2是一个完全平方式，则〃值为()

A.3；B.-3；C.6；D.±3.

【答案】D

【解析】

【分析】

如果/+6x+〃2是一个完全平方式

则x2+6x+/一定可以写成某个式子的平方的形式.

【详解】

x2+6x+〃2=(x+3)2,则“2=9,n=±3,正确答案选D.

【点睛】

本题考查学生对完全平方式概念的理解和掌握，学会将一个式子配凑成完全平方式是解答本题的关键.

2.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=()

A.10B.6C.5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据完全平方公式可得(根—〃)2=加2-2m〃+*=8,(m+〃『=>+2加〃+川=2,再把两式相加即可求得结

果.

【详解】

解：由题意得(，"一〃)~=加2-2加〃+〃2=8,(m+rt)"—nV+2mn+n2-2

把两式相加可得W青煤3=»，则蕨音/!=+

故选C.

考点：完全平方公式

点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.

3.已知工2一3%+1=0，则f+x-2+3值为()

A.10B.9C.12D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意根据等式和分式的基本性质以及完全平方公式对式子进行变形，进而整体代入求解.

【详解】

解：由%2+》~+3=%2_)——+3=(xH—)"+1,可知xw0,

X"X

已知V—3x+l=0,等式两边同时除以X可得：x+-=3,

X

11

将x+—=3,代入(x+—9)2+1=392+1=10,

XX

所以丁+%-2+3=10.

故选：A.

【点睛】

本题考查完全平方公式，结合等式和分式的基本性质运用整体替换的思想进行分析是解题的关键.

4.已知x+y=5,xy=6,则x?+y2的值是（）

A.1B.13C.17D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

将x+y=5两边平方，利用完全平方公式化简，把xy的值代入计算，即可求出所求式子的值.

【详解】

解：将x+y=5两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=25,

将xy=6代入得：x2+12+y2=25,

则x2+y2=13.

故选：B.

【点睛】

此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

5.如图，能说明的公式是（）

(a+b)2=cr+2ab+b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.不能判断

【答案】A

【解析】

【分析】

根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积之和列出等式，即可求得.

【详解】

大正方形的面积为：（a+hXa+h）^（a+b）2

四个部分的面积的和为：a2+ab+b2+ab=a2+2ab+b~

由总面积相等得：（。+力）2=储+2况?+〃

故选：A.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何表示，熟知正方形和长方形的面积公式是解题的关键.

6.下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为（）

@X2-10X+25;②4a2+4。­1；@x2-2x-l;@4x4-x2+^-.

44

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

分别利用完全平方公式分解因式得出即可

【详解】

@x2-10x+25=(x-5)',符合题意；

②44+4。-1；不能用完全平方公式分解，不符合题意

③/一2彳-1;不能用完全平方公式分解，不符合题意

④一二+〃?-疝=_,符合题意；

,,1

⑤4/一一+一，不可以用完全平方公式分解，不符合题意

4

故选：B.

【点睛】

本题考查因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键.

1,1

7.若x+-=3,则/+=的值为().

xx

A.9B.7C.11D.6

【答案】B

【解析】

1\(1\21

试题分析：本题需先对要求的式子进行整理，再把x+—=3代入，即可求出答案.x2+—=x+--2,把x+—=3

xxIxjx

代入上式得：%2+4=32-2=7.

¥

故选B

考点：完全平方公式.

8.若关于X的多项式V—px—6含有因式X—2,则实数P的值为()

A.-5B.5C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

设f—px-6=(x-2)(x-。)，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值.

【详解】

解：根据题意设尤2—px-6=(x—2)(%—a)=x~—(a+2)x+24z,

♦♦-p=-a-2,2a=-6,

解得：a=-3,p—1.

故选：C.

【点睛】

此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

9.因式分解x-4x3的最后结果是()

A.x(1-2x)2B.x(2x-1)(2x+l)C.x(1-2x)(2x+l)D.x(1-4x2)

【答案】C

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【详解】

原式=%(1-4x2)-x(l+2x)(1-2r).

故选C.

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

10.若a+b=1,则a2-b2+2b的值为()

A.4B.3C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

对前两项用平方差公式分解因式，代入a+b=1后计算即可.\

【详解】

a+b=1

：.a2-b2+26=(a+Z?)(a-8)+26=a+b=l

故选：C

【点睛】

本题考查的是因式分解，能分组并整体代入是关键.

11.若实数x满足x2-2x-l=0,则2x3-7x2+4x2)19的值为()

A.-2019B.-2020C.-2022D.-2021

【答案】C

【解析】

【分析】

先将X2-2X-1=0变形为X2-2X=1,再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=l整体代入降次，最后可化简求得答案.

【详解】

解:Vx2-2x-1=0,

x2-2x=I,

V2x3-7x2+4x-2019

=2x3-4x2f2+4x-2019,

=2x(x2-2x)-3X2+4X-2019,

=6X-3X2-2019,

=-3(x2-2x)-2019

=-3-2019

=-2022,

故选：C.

【点睛】

本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重

要.

12.若3/+6x+2=a(x+k)~+h(其中a、k、人为常数)，则&和〃的值分别为()

22

A.1,IB.1,-IC.1,--D.-I,-

33

【答案】B

【解析】

【分析】

把等式左边配成完全平方加或减常数的形式，再与等式右边比较对应位置的字母与数字即可得答案.

【详解】

解：；3/+6田+2="(x+k)2+h,

等式左边3x2+6x+2=3(.x2+2x+l)-1

=3(x+1)2-1

把上式与a(x+k)2+h比较得Z=l,h=-1.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是完全平方公式，能够掌握完全平方公式的配成方法是解题的关键.

二、填空题

13.若代数式x2-6x+b可化为(x—则匕一。的值是.

【答案】5

【解析】

(%—a)2—1=x2—26/x+tz2—1,根据题意得2a=6,a2-l=b>解得a=3,b=8,那么。一a=5.

14.如果a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,那么2a+b''的值为.

【答案】g

【解析】

【分析】

把已知条件根据完全平方公式整理成平方和等于。的形式，然后根据非负数的性质用c表示出a、b,再代入代数式

计算即可.

【详解】

解：a2+b2+2c2+2ac-2be

=a2+2ac+c2+b2-2bc+c2

=(a-c)2+(b-c)2=0,

/.a+c=0,b-c=0,

解得a=-c,b=c,

•2a+b-1=2'c+c"=2'*="-

,,--一一2.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，整理成平方和的形式，再利用非负数的性质用c表示出a、b的值是解题的关键,

是道好题.

15.已知mn=l,则(m+n)2—(m—n)2=.

【答案】4

【解析】

【分析】

根据平方差公式，把代数式(m+n)2一(m-n)2展开，然后，再把已知mn=l代入，即可解答.

【详解】

根据平方差公式，

(m+n)2-(m-n)2,

=(m+n+m-n)(m+n-m+n)

=2mx2n,

=4mn；

把mn=l,代入上式得，

原式=4x1=4.

故答案为：4.

【点睛】

此题考查平方差的逆应用，熟记平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2,是解题的关键.

16.(1)已知x-y=4,肛=12,则％?+y2的值为.

(2)已知实数4、%满足3+6)2=1,(。_32=25,则02+6+08=.

(3)已知(2012—x)(2013—x)=2013,(2012-x)2+(2013-x)2=.

【答案】4074027

【解析】

【分析】

(1)利用平方公式化简，代入求解即可；

(2)计算(。+为2-(。一人?，得出ab的值，将原式转换成+的形式，代入求解即可;

(3)运用两个数的差的平方的公式化简原式，代入(2012-幻(2013-幻=2013求解即可.

【详解】

(1)x2+y2=x2-2xy+y2+2xy=(x-y)2+2xy

代入x-y=4,孙=12

原式=4?+2xl2=4()

故答案为：40；

(2)(a+〃)2-(q-b)2=4&8=1-25=-24,解得〃0=—6，

ct~+h~+cib—ct~+2ab+h~-ah=(a+/?)~—cih)

代入(a+")2=l,ab=-6

原式=1+6=7

故答案为：7；

(3)(2012-X)2+(2013-X)2

=(2012-X)2-2-(2012-X)-(2013-X)+(2013-X)2+2-(2012-X)-(2013-X)

=(2012-X-2013+X)2+2.(2012-X)-(2()13-X)

=l+2-(2012-x)-(2013-x)

代入(2012-x)(2013-x)=2013

原式=1+2x2013=4027

故答案为：4027.

【点睛】

本题考查了整式的化简运算法则，用已知整式去表示目标整式，从而得出目标整式的值.

17.分解因式6xy2—9x2y—y3=.

【答案】一y(3x—y)2

【解析】

【分析】

先提公因式-y,然后再利用完全平方公式进行分解即可得.

【详解】

6xy2—9x2y—y3

=-y(9x2-6xy+y2)

=-y(3x-y)2,

故答案为：-y(3x-y)2.

【点睛】

本题考查了利用提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法及步骤是解题的关键.因式分解的一般步

骤：一提(公因式)，二套(套用公式)，注意一定要分解到不能再分解为止.

1,711

18.已知x+二=3，则(1)x~+《=；(2)x—______.

XXX

【答案】7士近

【解析】

【分析】

(1)由(X+；)2=X2+；+2,可知将X+1=3代入即可求得答案；

xXX

(2)由(x*)2=(X+；)2_4,可知将x+：=3代入即可求得答案.

【详解】

解：(1)Vx+-=3,

X

A(x+b2=x2+3+2=9,

XX

Ax2+^=9-2=7;

x

(2)Vx+^=3,

X

•,*(x-^)2=(x+-4

(x--)七32-4=5,

士祗

故答案为：7,士近

【点睛】

此题考查了完全平方公式的应用，注意熟记公式与整体思想的应用是解此题的关键.

19.若xy=-2019,则(劄2/妥)2.

【答案】2019

【解析】

【分析】

运用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项，得到含xy的整式，再代入求值即可.

【详解】

=(等+第(詈空

=x-(-y)

=-xy

=2019.

故答案为：2019.

【点睛】

本题考查应用平方差公式进行因式分解的方法，熟练掌握乘法公式是解决此类问题的关键.

20.已知a,b,c是A4BC的三边，且尸+2"=。？+2ac，则A48c的形状是.

【答案】等腰三角形

【解析】

【分析】

2

将等式两边同时加上标得尸+2ab+a2=c^+2ac+a，然后将等式两边因式分解进一步分析即可.

【详解】

b2+2ab=c2+lac，

,•b~+2ab+ci~—c~+2ac+u~>

即：(a+b)2=(a+c)2,

,：a,b,c是A4BC的三边,

：.a,h,。都是正数，

a+b与a+C都为正数，

(a+b)2=(a+c)2,

a+b-a+c,

b=c,

.••△ABC为等腰三角形，

故答案为：等腰三角形.

【点睛】

本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握相关方法是解题关键.

21.已知根+1,b=^-m+2,c=!m+3,则+2。匕+/-Zac+c2-2Z?c的值为___.

222

【答案】

【解析】

【分析】

根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将am+1,b=\m+2,c=^-m+3,代入计算即可.

【详解】

由题意得：a2+24。+/-2ac+c2-2反=(々+。)--2c(<2+6)+c2=(a+b-c『,

,•*ci=—机+1,b=—机+2,c=—机+3,

222

二・原式=(a+〃-c『二加+2

2JJ4

7

故答案为：~m-

4

【点睛】

本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关健.

22.已知a—人=4,ab+c2+4=01则a+b+c=.

【答案】0

【解析】

【分析】

先将字母b表示字母a,代入ab+c2+4=0,转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到

a+b+c的值.

【详解】

解：Va-b=4,

，a=b+4,

代入ab+c2+4=0,可得(b+4)b+c2+4=0,

(b+2)2+c2=0,

；.b=-2,c=0,

a=b+4=2.

a+b+c=O.

故答案为：0.

【点睛】

本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.解题关键是将代数式转化为

非负数和的形式.

23.已知。一匕=2,则—以。的值.

2

【答案】2

【解析】

【分析】

将原式通分，然后将分子进行因式分解，然后整体代入求值即可.

【详解】

a~+h,a~+b~—2ab(a—b)~

解hn：--------ab=-------------=------—

当a—/?=2时，原式=--2

2

故答案为：2

【点睛】

本题考查完全平方公式法进行因式分解及整体代入思想求值，掌握完全平方公式的结构正确进行因式分解是本题的

解题关键.

24.若多项式9炉+6+1是一个含X的完全平方式，则攵=.

【答案】±6.

【解析】

【分析】

根据完全平方公式可知：(3k±l)2=9x2+kx+l,从而可求出k的值.

【详解】

V9X2±6X+1=(3X±1)2,

.\k=±6.

故答案是：±6.

【点睛】

本题考查完全平方公式，解题的关键是根据(3k±l)2展开后求出k的值.

25.先阅读后计算：为了计算4x(5+1)x(52+1)的值，小黄把4改写成5-1后，连续运用平方差公式得:

4x(5+1)x(52+1)=(5-1)x(5+1)x(52+1)

=(52-1)x(52+1)=252-1=624.

请借鉴小黄的方法计算：

卜I"?卜卜+小卜(1+小卜［1+*卜［1+5)’结果是

【答案】2一击

【解析】

试题分析：把求值的式子乘以2x［1-进行恒等变形后，构造平方差公式求解.

解：原式=2x

=2*(lf>]|+/卜]|+表卜(1+!)

=2x(l-&(l+卦(』)“+?)

=2X[L+!)XL

=2x1-9上(1+9)

=2x(1-击)

___L

22⑵,

26.分解因式：m4n-4m2n=.

【答案】m2n(m+2)(m-2)

【解析】原式二m2n(m2-4)=m2n(m+2)(m-2),

故答案为：m2n(m+2)(m-2)

三、解答题

27.已知多项式A=(x+2『+(l-x)(l+x)—3.

(1)化简多项式A；

(2)若(x+l)2—Y=—3,求A的值.

【答案】(1)A=4x+2；(2)-6

【解析】

【分析】

(1)先计算乘法，在合并同类项，即可求得A.

(2)由(x+l)2—f=—3,即可得2x+l=-3,求得x的值即可代入A.

【详解】

(1)QA=(x+2)~+(1—x)(l+x)-3

A—+4x+4+1—-3=4x+2

(2)V(X+1)2-X2=-3,

x=-2,代入A

即可得A=4x(-2)+2=6

【点睛】

此题考查整式的混合运算-化简求值，解题关键在于掌握运算法则即可.

28.以下是小嘉化简代数式(x—2#2-(》+)，)(》一封一2V的过程.

解:原式=(炉-4—+4y2)_(%2_y2)_2y2.….①

=x2-4xy+4y2-x2-y2-2y2.......②

=y2-4xy........③

(1)小嘉的解答过程在第步开始出错，出错的原因是；

(2)请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当4x=3y时代数式的值.

【答案】(1)②；去括号时-y2没变号；(2)解答过程见解析，代数式化简为3y2-4xy,值为0

【解析】

【分析】

(1)依据完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项法则进行判断即可；

(2)依据去括号法则、合并同类项法则进行化简，然后将4x=3y代入，最后，再合并同类项即可.

【详解】

解：(1)②出错，原因：去括号时-y2没变号；

故答案为：②；去括号时-y?没变号.

(2)正确解答过程：

原式二(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2,

=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2,

=3y2-4xy.

当4x=3y时，原式3y2-3y2=0.

【点睛】

本题主要考查的是整式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键.

29.计算：(1)an-5(a"+'bim-2+(an-'h"'-2)

(2V2

(2)——m+n——m-n

I3人3

(4)(x+2y—3)(x—2y+3)

/j

(5)(-6a，)•5a3-4a~+a--•

\3

(6)(x-2y)(x2+2xy-3y2)

(724690

)123462-12345x12347

(8)(-8严x0.12569

4Oo勃+2盯+泞

【答案】(1)0；(2)-m-H2；(3)(4)x2-4/+12y-9；(5)-30tz6+24a5-6a4+2a3;

94

(6)x3-7xy2+6y\(7)24690；(8)8

【解析】

【分析】

(1)根据幕的运算法则，得出加号两边的整式，再相加；

(2)根据两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差求解；

(3)整式的乘方，化简即可；

(4)根据两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差求解；

(5)根据整式的乘法法则求解；

(6)根据整式的乘法法则，抵消同类项；

(7)根据两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差化简分母;

(8)底数互为倒数，从而求解.

【详解】

(1)a,-S(屋+方.-2)2+(4-b"-2)3(_匕3，"+2)

__a"-3b6'"-4

=0

(2Y2

(2)——m+n——m-n

l3人3

、2

2

——m-n2

37

472

=—m'-n"

9

23Y

(3)——x——y

I327J

2\2

(223(33

=——x...-^--y

I3+2+

27

=-x2+2xj+->,2

9-4-

(4)(x+2y—3)(x-2y+3)

=/_(2y-3『

=x2-4/+12y-9

_P

(5)(-56(^—4tz"+ci

-3>

=-30<z6+24«5-6«4+2a3

(6)(x-2y)(x2+2xy-3y2)

33

=x+2fy—3冲2—2fy—4盯2+6y

—7xy2+6y3

24690

(7)----------------

123462-12345x12347

=__________24690__________

-123462-(12346-1)x(12346+1)

24690

-123462-123462+1

=24690

(8)(—8)7°x0.12569

门、69

=(一8飞

=8

【点睛】

本题考查了整式的运算法则，掌握整式的运算法则以及如何简化整式的运算是解题的关键.

30.已知a+b=5,ab=3求下列式子的值.

(1)a2+b2•,

(2)a}+b3.

【答案】(l)19;(2)80.

【解析】

【分析】

(1)把a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入计算即可求出所求式子的值；

(2)原式利用完全平方公式变形，把各自的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：(1)把a+b=5两边平方得：(a+b)2=a2+2ab+b?=25,

把ab=3代入可得:a2+b?+6=25,

.\a2+b2=25-6=19.

故答案为19.

(2),/a+b=5,a2+b2=19,ab=3

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=5x(19-3)=80.

故答案为80.

【点睛】

该题考查了完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),

熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

31.因式分解：

(1)2/n2-8；

(2)(a2+9)2-36a2

【答案】(1)2(〃什2)5?-2)；(2)33)2(«-3)2.

【解析】

【分析】

(1)原式提取2,再利用平方差公式分解即可；

(2)原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可.

【详解】

(1)2m2-8

=2(m2-4)

—2(/n+2)(/n-2)；

(2)(«2+9)2-36a2

=(“2+9+6。)(a2+9-6a)

=(«+3)2(a-3)2.

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

32.先化简，再求值

(1)(3x—l)(3x+5)—(3x+2)(3x—2),其中x=—2.

2

(2)(2m+3)(m-4)-(m+2)(m-3),其中机=(一产9xZS。”.

【答案】⑴12x7,-25；(2)m2-4m-6--9.

【解析】