高中数学题型全面归纳（学生版）：第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

本章知识结构图

充要条件一充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条

第一节集合

知识点精讲

一、集合的有关概念

1.集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象

外，还可以是其他对象.

2.集合元素的特征

(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合

中的元素.

(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复

出现.

(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关.如,也可=｛。,0,可.

3.集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法.

4.常用数集的表示

R—实数集Q—有理数集Z—整数集N—自然数集N*或N*—正整数集C一复数集

二、集合间的关系

1.元素与集合之间的关系

元素与集合之间的关系包括属于(记作aeA)和不属于(记作a史A)两种.

空集：不含有任何元素的集合，记作0.

2.集合与集合之间的关系

(1)包含关系.

子集：如果对任意acAnAeB,则集合A是集合8的子集，记为或8=4,显

然规定：0cA.

(2)相等关系.

对于两个集合A与8,如果同时BqA,那么集合A与8相等，记作4=6.

(3)真子集关系.

对于两个集合A与8,若AgB,且存在人但。WA,则集合A是集合8的真子集,

记作或BVA.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表1-1所示.

1.交集

由所有属于集合A且属于集合8的元素组成的集合，叫做A与8的交集，记作AcB,即

AcB={x|xwAHxw6}.

2.并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与8的并集，记作ADB,即

AD8={x|xw洞txG6}.

3.补集

已知全集/,集合A±/,由/中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全

集/的补集，记作6/A,即@A={x|xw/且r定A}.

四、集合运算中常用的结论

1.集合中的逻辑关系

(1)交集的运算性质.

Ar>B=Br>A,AcB^A,AcBqBAn/=A,Ar>A=A,An0=0.

(2)并集的运算性质.

A<JB=B^A,A^A^JB,B^AuBA<JI=1,A<JA=A,A<J0=A.

(3)补集的运算性质.

颁,A)=A,6/0=7,取=0©A)cA=0,Au(6;A)/.

补充性质：Ac8=A=AD5=8OAqBo辄q,A<=>=0.

(4)结合律与分配律.

结合律：Au(BuC)=(AuB)uCAn(BnC)=(AnB)nC.

分配律：An(BuC)=(AnB)u(AnC)A58CC)=(AU8)C(AUC).

(5)反演律(德摩根定律).

颁Ac6)=(潭)5?/)取ADB)=(/A)C(?/).

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交

2.由〃(〃wN*)个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2"个，非空子集有2"-1个,

真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

3.容斥原理

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB).

题型归纳及思路提示

题型1集合的基本概念

思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性.

例1.1设集合{1,。+匕,。}=，贝（）

A.1B.-1C.2D.-2

变式1已知集合人={1,2,3,4,5},B={(x,y)|xewA},则8中所含元素的个数为

().

A.3B.6C.8D.10

变式2（2017济南调研）设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b\aeP,b&Q},

若尸={0,2,5},0={1,2,6},则尸+。中元素的个数是（）

A.9B.8C.7D.6

题型2集合间的基本关系

思路提示

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻

找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思

维方法.

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转

化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.

一、集合关系中的判断问题

例L2若A={X|X=4〃+1,〃GZ},B={x\x=4n-3,n^Z],

C={x|x=8〃+l,“eZ},则A,B,C之间的关系为（）.

A.CuBuAB.AuB7CC.COA=BD.A=3=C

变式1设集合=g+M={x|x=：+g,Zez),则

A.M=NB.M。NC.MuND.McN=0

二、已知集合间的关系，求参数的取值范围

例1.3设4=卜|丁一8x+15=0},B={x|分—1=0}.若B=则实数a组成的集合为

().

A.1或，B.」或2C.0或』或』D.0或一1或，

35353535

分析：解方程办-1=0,建立。的关系式求a,从而确定集合C.

评注：(1)研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.

(2)含参数的一元一次方程办=b解的确定：

当时，方程有唯一实数解x=2；

a

当。=万=0时，方程有无数多个解，可为为任意实数；

当a=0且人不。时，方程无解.

变式1已知集合A={1,3,J£},8={1,/〃},AuB=A,则加=()

A.0或后B.0或3C.1或百D.1或3

例1.4已知集合4={%|尤2—。?7jc^016<0},B={x\x<a},若418,则实数a

的取值范围是.

变式1若将例1.4中的集合B改为{x|x2a},其他条件不变，则实数。的取值范围是

变式2已知集合4=卜|%2一3%-10«0}，集合B={x|p+lWxW2p-l}，若B±A,

求实数p的取值范围.

变式3已知集合?={X，<1},知={4},若PcM=M,则a的取值范围是()

A.(—oo,—1]B.[1,-Foo)C.[―1,1]D.(―oo,—1][1,-poo)

三、集合关系中的子集个数问题

例1.5已知集合4=卜|》2—3x—10W0,xeZ},则集合A的子集个数为.

分析：本题应首先确定集合A中元素的个数，再求其子集的个数.

例1.6已知集合A={x|尤？-3x+2=0,xe尺},3={x|0<x<5,xeN},满足条件

的集合C的个数为()

A.1B.2C.3D.4

变式1已知集合M满足{l,2}UMq{x|x410,xeN*},求集合M的个数.

题型3集合的运算

思路分析

凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图

是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

一、集合元素属性的理解

例1.7已知集合”=}及=炉+1,%€7?}”=卜及=>/^?},则McN=（）

A.1x|1<x<3}B.{x|lWx<3}C.1<x<3}D.1x|1<x<4}

分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断〃、N是

数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合/代表元素是因

变量，故是函数的值域（数集）；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.

变式1(2017•山东)设函数y=74—f的定义域为A,函数y=妨(1-工)的定义域为B,

则Ac3=()

A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)

变式2已知集合4={九eR||x+3|+|x—4区9},B={ycR|y=4x+,-6,x>0卜则

集合Ac6=.

变式3设全集/={(x,y)|x,ywR},集合

M=(x,仁l},N={(x,y)|ywx+l},那么(牺)c(,N)=(

A.0B.{(2,3)}C.(2,3)D・{O,y)ly=x+1}

二、数轴在集合运算中的应用

例1.8设集合S={x||x-2|>3},T={x[a<x<a+8},SuT=H,则“的取值范围是

()

A.(―3,—1)B.[―3,—1]C.(—oo,-3]-1,+8)D.(oo,—3)(—1,+oo)

分析：借助数轴表示集合S和集合T,根据集合的关系，求解参数的取值范围.

变式1已知全集。=/?,集合4={幻一24%43},6={幻》<一1或04},那么集合

AC@B)=().

A.{x|-2<x<4}B.{X|X<3BJU>41C.{X|-2<X<-1)D.{X|-1<X<3}

变式2已知集合加=|划上二

<0,N={x|无<一3},则集合{x|x21}=().

Ix—1

A.MDNB.MDNC.&(MCN)D.0(M2N)

变式3已知集合A=|x|x2-4/nx+2m+6=0,XG/?}.若An(-oo,0)w0,则实数m的

取值范围是.

三、韦恩图在集合运算中的应用

例1.9设U为全集，M,P是两个非空集合，定义例与P的差集

M-P^{x\xeM^jc^P},则〃一(M—P)=().

A.PB.McPC.M<JPD.M

分析：本题可利用题中所给定义M-P表示从集合M中去掉属于集合P的元素解题.

变式1设全集U=MDN={1,2,3,4,5},Mcd,N={2,4},则％=().

A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}

例1.10如图1-3所示，/是全集，A,民C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()

图1-3

A.(AnB)nCB.(An6/B)nCC.(An/?)n6/CD.(6/BuA)nC

分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.

变式1已知M,N为集合/的非空子集，且不相等，若Nc@M)=0,则MuN=

()

A.MB.NC.ID.0

四、以集合为载体的创新题

例1.11设A是整数集的一个非空子集，对于ZeA,如果左且Z+1史A,那么称k

是A的一个孤立元，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素组成的所有集合中，不

含孤立元的集合共有个.

变式1定义一种新的集合运算△:AAB={x\xeA,且.若集合

A={x|f—4x+3<0},B={x|2<x<4},则按运算A,3AA等于（）

A.{x|3<x44}：B.{x|3<%<4}

C.{x|3<x<4}D.{x|2<x<4}

评注解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义.首先分析新定义的

特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破

解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可

以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

最有效训练题1(限时45分钟)

1.集合P={XWZ|0«X<3},M={XGR|X2〈9},则PcM=().

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<3}

2.若A={x[y==|y=x?+1},则AcB=()

A.(l,+oo)B.[1,2]C.[0,+oo)D.(0,+oo)

3.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}.集合A={2,4,5,7},B={1,4,7,8},那么如图1-5所

示的阴影部分表示的集合是（）

4.已知全集/=/?,集合M={x||x|<2,xeR},P={x|x>a},并且那么a

的取值范围是()

A.{2}B.\a<2}C.\^a\a>2!D.®a<2}

5.设集合A={x||x—a|<l,xeR},3={x|l<x<5,xeR}.若AcB=0,则实数a的

取值范围是()

A.{a10WaW6}B.{a[a<2^a>41C.^a\a<O^a>6}D.{«|2<a<4)

6.设全集U={(x,y)|xeR,yeR},A-{(x,y)12x-y+m<0],B={(x,y)|x+y-n>0}

,那么P(2,3)eAc(0.B)的充要条件是()

A.m>—lfin