中考数学总复习教学案 3

3-2一次函数

知识考点：

1、掌握一次函数的概念及图像；2、掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题；

3、会用待定系数法求一次函数的解析式。

精典例题：

【例1】已知直线y=kx+A(&W0)与x轴的交点在x轴的正半轴上，下列结论：①

k>0,b>0；②女>0,b<0；③k<0,b>0；®k<0,b<0,其中正确结论的个数

为()

A、1B、2C,3D、4

解：根据题意知，直线y=(攵W0)的图像可以如图1,这时4>0,b<0；也

评注：本题关键是掌握一次函数y=中的系数攵、》与图像性质之间的关系。

【例2】一直线与y轴相交于点A(0,-2),与x轴相交于点B,且tan/OAB=l,

3

求这条直线的解析式。

分析：欲求直线的解析式，需要两个独立的条件建立关于A、。的方程组，结合题目条

件，本题要分两种情况讨论，如上图所示。

答案：y=3x-2或y=-3x-2

【例3】如下图，已知直线y=Zx+6与y=/nx+〃交于点P(1,4),它们分别与x轴

交于A、B,PA=PB,PB=2正。

(1)求两个函数的解析式；(2)若BP交y轴于点C,求四边形PCOA的面积。

解析:

(1)作PHJ_AO,则PH=4,OH=1,BH=7(2A/5)2-42=2

B(-1,0)»设A(a,0),贝IjAH=a-1,AP=AB=Q+1,

(4+1)2=3—1)2+42,解得a=4。...A(4,0),故直线PB：y=2x+2；直线AP：

416

y=

(2)S四边形PCOA=S.M8P_SAOBC=9

评注：灵活运用勾股定理等几何知识求线段长，进而求点的坐标，是解函数题的常用方

法。

探索与创新:

【问题一】如上图，已知直线y=—x+2与x轴、y轴分别交于点A、B,另一直线

y=kx+b(k^0)经过点C(1,0),且把^AOB分成两部分。

(1)若AAOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式；

(2)若AAOB被分成的两部分面积比为1：5,求经过C的直线解析式。

解析：(1)如上图，过B(0,2),C(1,0)的直线解析式为y=-2x+2；

(2)设、=依+6与OB交于M(0,h),分AAOB面积为1：5得：

12

S&OMC=二SAOAB，则L1XA=LL2X2解得/?=彳，所以M(0,

62623

2)

3

27

经过点M作直线MN〃OA交AB于N(a,-),则SWMC=S&CAN,因N(a,-)

44232

在直线y=—x+2上，所以“=一，故N(—，-)直线CM：y=--x+—,直线

33323

CN：y=2x-2

评注：本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。

【问题二】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服

用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克=10-3毫克），接着

逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x

（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：

（1）分别求出xW2和x22时y与x之间的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那

么这个有效的时间是多长？人微克）

解析设xW2时，y=kx,把坐标（2,6）

代入得：y=3x；设x22时，y=k'x+b,把坐标

10N小时）

327问题二图

(2,6),(10,3)代入得：y=--XH---。

84

327

(2)把y=4代入丁=3%与y=——xd---中得：

84

224

t=x-x.=-----=6（小时），因此这个有效时间为6小时。

2-133

评注：本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解

析式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。

跟踪训练：

一、选择题：

1、若函数y=—x—从与丁=2》+4的图像交于％轴上一点A,且与y轴分别交于B、C两

点，则AABC的面积积为（）

A、6B、4+V2C、4-V2D、2

2、己知M（3,2）,N（1,一1）,点P在y轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是（）

A、（0,-）B、（0,0）C、（0,—）D、（0,--）

3、若一次函数了=（1-2%）%-人的图像不经过第二象限，则％的取值范围是（）

A、k<-B、0<A:<-C、OW&V，D、k<0^.k>-

4、直线y=々x+Z>经过点A（―1,m）与点B（m,1）,其中m>l,则必有（）

A、k>0,b>0B、k>0,b<0C、k<0,b>0D、k<0,b<

5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西

金额（元）

瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜后余下的每千克降价

0.40元，全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系

如图所示，那么小李赚（）质量（千克）

A、32元B、36元

C、38元D、44元

二、填空题：

1、若，_=_L,则直线一定经过第________象限。

b+ca+ca+b2〃

2、一次函数y=Ax+b的图像经过点A（0,1）,B（3,0）,若将该图像沿着x轴向左平移

4个单位，则此图像沿y轴向下平移了单位。

3、如图，己知直线PA：y=x+l交y轴于Q,直线PB：y=-2x+m

若四边形PQOB的面积为:,则阳=o

4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开

始时风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒

漠地，风速变为平均每小时增加4千米，一段时间风速保持不（

变,。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千

米，最终停止。结合风速与时间的图像填空：

①在卜轴（）内填入相应的数值；

②沙尘暴从发生到结束共经过小时；

③当x225时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系式是o

三、解答题：

1、一位投资者有两种选择：①中国银行发行五年期国债，年利率为2.63%。②中国人

寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险——鸿泰分红保险，投资者一次性交保费10000元

（10份），保险期为5年，5年后可得本息和10486.60元，一般还可再分得一些红利，，但

分红的金额不固定，有时可能多，有时可能少。

（1）写出购买国债的金额x（元）与5年后银行支付的本息和月（元）的函数关系式；

（2）求鸿泰分红保险的年利率，并写出支付保费x（元）与5年后保险公司还付的本

息和必（元）的函数关系式（红利除外）；

（3）请你帮助投资者分析两种投资的利弊。

2、如图，已知一次函数y='x+l的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C、

D都在X轴的正半轴上，D点坐标为（2,0）,若两钝角NABD=NBCD。

（1）求直线BC的解析式；

（2）若P是直线BD上一点，且s=ls,求P点坐标。

0&,CDP20ACDB

3、如图，直线y=gx+2分别交x轴、y