高中数学：空间平行证明

空间平行证明

【四基概述】

1、直线与平面平行

(1)直线与平面平行定义：直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判a

定平面外一条直线与此平面内的一条acta

定bua\=alla

直线平行，那么该直线与此平面平/b/

理

行.a//b

性

质一条直线与一个平面平行，如果过alia

定该直线的平面与此平面相交，那么au/3>=>allb

理

该直线与教学平行.ac0=b

2、平面与平面平行

(1)平面与平面平行定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

auB

判bu0

定如果一个平面内的两条相交直线与

acb=p>=>pIIa

定另一个平面平行，那么这两个平面

理平行.Z^7alla

心CZ7blla

性plla

质两个平面平行，如果另一个平面与1

acyy-a>=allb

定这两个平面相交，那么两条交线平

理0cy=b

行.1

判定定理判定定理、

线线平行线面平行面面平行

性质定理性质定理

性质

4、基本解题思路

(1)在线线平行与线面平行的转化中，寻找到经过已知直线的平面与此平面的交线是

核心。比如要证明直线AH/&,主要方法是用判定定理证明，即在平面a内找到一条直

线CD与A3平行。如果CQ与平行，那么CQ

与必然共面。因此C。为经过AB的面与a交

线。寻找交线主要是两种方法：三角形法和平行四

边形法。

法一：三角形法：理论依据是三点确定一个平面,

如右图：在直线AB与平面a外找到一个点P,连

接PAP8与平面a交于C,。。那么证明A8〃C。就是目标，根据等比分点平行的原理,

主要转化为一=—的证明与应用。

PCPD

法二：平行四边形法：两条平行线可以确定一个平面的原理。

分别过A,B做同一方向的平行线，与平面a交于CD,只要证

明AD=BC

(2)在线面关系和面面关系的实际应用中，核心步骤分两

步：一、作平行线，二、证第三条线平行。要证明先做

内的某条直线，再证明即可。

【典例分析】

例1如图，在四棱台ABCD—A8C。中，AB^2AB,,乙尸分别为4。,。。中

点.求证：AC〃平面D'EE.

【思路点拨】根据线面平行的判定定理，将线面关系转化为线线关系.在平面内找一条

直线与已知直线平行，可以利用三角形法或者平行四边形法；也可以根据面面平行的性质，

找到（构造）一个经过直线的面，证明面面平行进而转化为线面平行.

【自主解答】

例2如图，在多面体ABCDEE中，底面ABC。为平行四边形，E,尸位于底面的同

侧，面E4OC面E8C=GH,求证：HGH^ABCD.

【思路点拨】可以先证明另一组线面平行（比如8C〃面AOF）,再根据线面平行的性

质定理得到线线平行，进而获证.=

E

［自主解答］标

例3、如图，在四棱台ABCD-中，AB=2A.B.,直线AB1，交于点E,

直线CBi，GB交于点、F,O为底面ABC的重心.求证：平面。EF〃平面A4c.

【思路点拨】根据面面平行的判定定理，在一个平面内找两条相交直线与另一个平面平

行，即证明两组线面平行，此题利用三角形法证明线面平行较为简易.

【自主解答】

例4、如图，在R/AABC,D,£分别为边A8,AC的三等分点.将AAOE绕着DE旋

转至AA'DE,连接A3,AC.F,G分别为线段AC,AE的中点.M,N分别为线段

CG,3尸的中点.求证MM/面BCDE.

【思路点拨】此题至少有三种方法可得证，当然利用线面平行的判定定理，在平面上与

已知直线平行的线较为难找的时候，构造面面平行相对较为直观.

【自主解答】

例5、如图，在三棱锥A6CD中，瓦/分别是AC,QD的中点，在BO上是否存在点G,

使得B£7/面AFG.若存在，求出3G与8。的比值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】此题为线定面动问题，思路一：根据线面平行的性质定理，找到经过直线

的平面与已知平面的交线，当交线与直线平行时，应满足怎么的条件，即三角形法或平行四

边形法的逆用.思路二：可以经过该直线构造面面平行，利用面面平行的判定定理求得.

【自主解答】

例6、在四棱锥P—A3CD中，AD=DC=2,AB=BC=2拒,AD±AB,APBC

为等边三角形.E,歹分别是线段尸。，A3上的点.

(1)当E为PO的中点时，AF=AAB,试确定X的值，使得后尸〃平面P8C.

(2)当£尸〃平面P8C时，求线段EF长度的取值范围.

【思路点拨】此题为面定线动问题，第一小题可参照例5的思路.第二小问，可以先找

到线段长度的关联因素，引入参数，列出线段关于该因素的表达式，利用函数思想求得范围.

【自主解答】

B

【巩固练习】

1、设。，，为两个不重合的平面，/是直线且/ua.“/〃a”是％〃夕'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2、在空间四边形A8CO中，£,b分别是ABBC上的点，若=:尸6=1:2,

则对角线AC与平面。ER的位置关系是()

A.平行B.相交C.在面内D.不能确定

3、已知〃z,〃是两条不同的直线，a,/3,7是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

(1)若aJ_/?,且“a,则£7/y；

(2)若加ua,nuB,mlln,则。〃/?；

(3)若犯〃是异面直线，加ua,mH/3,nu。,nila,则a〃尸；

(4)若《//月，mua,nu0,则加〃〃.其中正确命题的有几个()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、己知/,，〃为两条不重合的直线，夕为两个不重合的平面，有下列三个命题：

(1)如果/_1_加，ILa,mH/3,那么a〃万；

(2)如果/J,a,mHa,那么/_L/〃；

(3)如果allP，那么/与a所成的角与机与P所成的角相等.

其中正确的命题有几个()

A.OB.lC.2D.3

5、如图P是正方体ABCD-A'3'C'的棱的中点，给出下列命题：

(1)过P点有且只有一条直线与直线5C,C'。都相交;

(2)过P点有且只有一条直线与直线6C,C'。都垂直;

(3)过P点有且只有一个平面与直线5C,C'。都相交;

(4)过P点有且只有一个平面与直线5C,C'。都平行.

其中真命题是()

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(4)

6、在正方体438—43'。'£>'中，E,F,G分别是边A'5',AD,CC'的中点，则

平面£FG与平面A?C的位置关系是()

A.垂直B.相交但不垂直C.平行D.重合

7、已知/，机为两条不重合的直线，a,，为两个不重合的平面,

下列条件：

(1)a内不全在一条直线的无数个点到夕的距离相等；

(2)/,加为异面直线，mua,/u£,/上所有的点到a的距离等于加上所有的点

到夕的距离.

(3)I,mup,且〃/a,mila；

(4)U/m,且/_La,mA.0.

其中可以判定all(3的是

8、已知a,b是两条不重合的直线，平面下列命题正确的是

(1)若auy,allb,贝仍〃7；

(2)若auy,blly,则a〃b

(3)若a上有两个点到y的距离相等,则。〃/；

(4)若a〃7,则。平行于平面/内的无数条直线；

(5)若。〃7,则。平行于平面/内的任意一条直线.

9、己知加,〃是两条不同的直线，a,/3,y是三个两两不重合的平面，有下列三个条件：

(1)mily,〃u尸；(2)mHy,nil/3；(3)nil/3,muy.

如果命题"acB=m,nuy,且___________,则mHnn为真命题，则可以在横线处

填入的条件是(把所有正确的序号填上).

10、在正方体的棱长为1cm,过4c作平行于对角线的截面，则

截面面积为cm2；其周长为cm.

11、如图，在底面是矩形的四棱锥P—A3QD中，E,R分别为PD,AB的中点，求证:

直线A£7/平面PFC

12、如图，在四棱锥P—A8CD中，底面四边形ABCD为平行四边形，E,E分别为

AB,PC的中点，设直线/为平面PAO与平面PBC的交线.

（1）求证：1/IBC；（2）EF与平面PAO是否平行？试证明你的结论.

13、（2018绍兴质检）在如图所示的几何体中，。是AC的中点，EFHBD.已知G,H济

别是EC和EB的中点.求证：GH〃平面ABC.

B