导数复习教案1（共7份） 人教课标版3

函数的单调性

【基础知识点】

.定义：一般地，设函数()在某个区间内有导数，如果在这个区间内：/>,那么函数()在

为这个区间内的增函数；如果在这个区间内那么函数()在为这个区间内的减函数

.用导数求函数单调区间的步骤：

①先明确函数的定义域

②求出函数/(幻的导数/'(X)

③求单调增区间时令/(幻>0,求单调减区间时令/'(x)<0

【典例解析】

【典例】求下列函数的单调区间：

(1)f(x)=x4-2x2-5(2)f(x)=2x2⑶f(x)=e'-ex

变式：确定函数/(x)=sinx(xe[0,2%])的单调减区间

【典例】已知函数/(x)=lnx-ox?+(2-a)x.讨论/(x)的单调性；

【解析】

/(X)的定义域为(0,”),/'(%)=--2ax+(2-a)=一生里幽二12

XX

①若.a<0,贝犷'(％)>0,所以，(幻在(0,+oo)单调增加.

②若a>0,贝1J由/''(x)=0得％=L且当

a

xe(0一)时，:(x)>0,当X〉,时,_f(x)<0.

aa

所以/■(%)在(o,L)单调增加，在(!,”)单调减少.

aa

变式:.设/(x),g(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，g(x)#0,,当x<0时，

/1'(x)g(x)-/(x)g'(x)>0且/(—3)=0,则不等式上功<0的解集

g(x)

,/(x)的定义域为(0,+8),/(X)的导函数为("),且对任意正数%均有r(刈>幺2,

X

判断函数F{x}=加在(0,+8)上的单调性；

X

【基础知识点】

已知函数的单调性或单调区间，求字母参数的取值范围

若/(x)在某区间上单调递增，则/'(%)20(犬€/)恒成立

若/(x)在某区间上单调递减，则f'(x)<0(xe/)恒成立

注意：在利用f'(x)>0或/'(x)〈0取等号时，函数〃二是否会为常数函数，如果是,

则不能取等号，即/'(x)>0或/'(x)<0

【典例】求函数/(x)=x3-mjc+l的单调减区间.

解f'(x)-3x2—2mx.

2m

当机>0时，令/'(x)<0,解得0<x<y-；

当机=。时，r(x)=3x2N0；

2/??

当机<()时，令/'(X)<0,解得-y<X<0.

2777

综上所述，当加〉o时，函数/(幻=》3—m¥+1的单调减区间是［0,7］；当机<()时，

函数/5)=_?-加¥+1的单调减区间是［3_,0］

反思：解关于含参数的导函数问题，应对参数进行讨论(抓住“讨论点”以及其完整性)。

变式:.已知函数/。)=4V一2%+2+111%(。>0)在定义域上是单调增函数，求实数的取

值范围

.已知函数/。）=竟-01（》＞0且#）.若函数，（x）在（l,y）上为减函数，求实数的最小值;

1,1,

.若函数0c2+（q_i）x+i在区间（1,4）为减函数，在区间（6,+0。）上为增函

数，试求实数a的取值范围。

.已知函数/（x）=（x—a）lnx,（心0）.若/（尤）在限2]上是单调减函数，求。的最小值；

.已知/（X）=+依2+》+],。eR

（）讨论/（尤）的单调区间

21

（）讨论函数/富）在区间（-§,-§）内是减函数，求a的取值范围

【典例】已知函数/'（X）=/+（1-0）刀2-a（a+2）x+Z?（a,力eR）.若函数/（x）在区间

（一1,1）上不单调,求a的取值范围.

解析：函数/（x）在区间不单调，等价于

导函数/'（X）在既能取到大于的实数，又能取到小于的实数

即函数/'（X）在上存在零点，根据零点存在定理，有

/，(-1)/，(1)<0-即：[3+2(1—a)—a(a+2)][3—2(1—a)—a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(。+1)3-1)2<0,解得一5<a<7

练习：

.设。>0,求函数/(x)=«-ln(x+a)(xw(0,+oo)的单调区间.

.己知函数/(x)=ad—2x+2+lnx(a>0)在定义域上是单调增函数，求实数的取值范

围

2

.设()_

2

()求()的单调区间；

()当G[,]时，()〈恒成立，求实数的取值范围.

.已知函数/(x)=℃—g—21nx,/⑴=0J(x)在其定义域内为单调函数，求实数的

取值范围;

已知函数/(x)=l+&+"r+c,过曲线y=/(x)上的点尸(1,./'⑴)的切线方程为，若

函数y=/*)在区间［-，］上单调递增，求实数的取值范围

解:()在［一，］上单调递增,又-3=3：+2«%+6,由①知2a。

依题意广(幻在［一，I上恒有/'⑴》，即3*2_"+心0.

b

x=->!Si,fXx)=f'(l)=3-b+b>o,.-.b>6

①当6min；

b

x=-<一2时,/'(x)min=7'(—2)=12+2〃+620,.•，e。

②当6；

-2Wg<1时,/'(x)而n=>0,则0<b<6.

③当b12

综上所述，参数的取值范围是1°，+8)

练习

.若函数/(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=xlnx,则不等式/(x)<—e的

解集为.

.曲线y=—』(x<0)与曲线y=lnx公切线(切线相同)的条数为.

x

.已知函数()=一+—在［,+］上不单调，则的取值范围是.

.已知函数()=(+—)，其中是自然对数的底数，匕若<,求()的单调区间.

.(高考江苏，)已知函数/。)=%3+。幺+仪4/€夫).试讨论/。)的单调性;

.已知a为正的常数，函数/(x)=|2x—引+/〃无，求函数/(x)的单调增区间;

.已知函数/(x)=e]x2-小求的单调减区间;

参考答案

.【答案】(一8,—).

【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质，导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思

维，难度中等.

x\nx,x>0

【解析】当〈时，->,贝ij()-(-)-(-)(-)(-),贝ij()J0,x=0,当〉

xln(-x),x<0

时，'()，令'()，解得1,则当<<,时，'()<;当〉L时，'()>,则函数()在

eee

(,-)上递减，在(1,8)上递增，当L时取得极小值(1)结合函数()

eeeee

是上的奇函数，作出图象如下，由以上分析知不等式()〈一在(,8)上无解，而当〈时,

由于(一)---，则不等式()V—(一),可得V—,

【举一反三】已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域.

()解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：

①抓住对变量所在区间的讨论.

②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.

③弄清最终结果取并还是交.

.【答案]

【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的儿何意义，直线的方程，考查转化和化归

能力，难度中等.

]_

【解析】设()，()—无，并设()在点的切线与()在点的切线相同，则对应的切线斜

J__1__1__1_

率必相同，可得玉々一，得，而()在点的切线方程为％(-),而(，())(,一尤2)

J_J__2_2

必在该切线上，从而有一々百(一)，把代入并整理有一超，而曲线一X和在(-8,)

仅有一个交点，故只有一条相同的切线.

.答案<<或《

解析f(x)=-x+4-^=--'-

=一回二手二2,(x)=o荐函数的两个限值点1.3,则只荽这菊个发值点在区同(f,f+1)内，函数字区

IK[tf-1]上交工至谓，5r<l<Z*l1,癖等0«<1或24V3.

解析(l)a=l时，M0=(x2+x—l)e\

所以/(x)=(2x+DM+az+x—l)ex=(x2+3x)eI,

所以曲线人x)在点(1,人1))处的切线斜率为2=/*(l)=4e.

又因为<l)=e,

所以所求切线方程为>-e=4e(x-l),

即4ex—y—3e=0.

(2y*(x)=(2ar+l)ex+(ar*+x—l)ex=[ox2+(2a+l)x]er,

①若一当x<0或。一弓口时，/(x)〈0；当gv-乂F时，f(x)X).

所以网的单调递减区间为(一8,0心一笞1：,+OO.单调递增区间为"一个■

②若4=一，则/仁)=一会2£0,所以工(X)的单调递减区间为(-8,+8).

③若o<—1,当xv-/」或x>0时，f(x)<0?

2〃+1

当一_.<r«时，f(x)>0.

所以五X)的单调递减区间为(一8,-(1),(0,+8八单调递W区间为

(2fl+l♦

Ia'V-

,2

.解：/(x)=3x+2ar,令/'(x)=。，解得玉=。，x2=--拳.

当。=0时,因为，(力=3%2>0("0),所以函数〃x)在(ro,4w)上单调递增；

当“>()时，(0,+oo)时，/'(x)>0,时，//(x)<0,

所以函数/(x)在1-0。,一年］,(O,4w)上单调递增，在(一年,。)上单调递减：

当a<0时，XG(-OO,0)f--,+oo时，/,(x)>0,xefo,-—时，/'(x)<。，

\3JI3,

所以函数/(x)在(—,0),(-手,+8)上单调递增，在(。,一彳)匕单调递减.

.【解析】()由，得()-(>).

2

当<<时，f(x)=2x-x2+lnx,f'(x)=2-2x+—=―~'+2x+l.

XX

由‘()，得-,解得x上反，或x=l一爽(舍去)・

x22

当0<x〈^S^，'()>；Ai2^<x<2时，'()<•

22

，函数()的单调增区间为(，上幽)，(，00).

2

2

当>时，f(x)=x2_2x+lnx,f/(x)=2x_2+-^=-......'/I•

XX

由'()，得-.

()在(,00)上为增函数.

•••函数()的单调增区间为(0,上乎)，(，8).

cr\f(x)

()g(x)=------u-|x-a|+-^,x€[1,e]-

X

1-Inxx2+1-Inx

①若三贝(Jg(x)=x-a+^nx.贝Ug(x)=1+

xx2X2

ve[,],.*.<<,->,->,・•・'()>.

二()在［,］上为增函数，()的最小值为()

1—Inxx2+lInx

②贝iJ()-All5,则g'(x)=-1+

xx2x2

令()--则h'(x)=-2x--<0-