全国大学生数学建模竞赛创意折叠桌完整版论文

B题创意折叠桌摘要为了节省室内存放空间，方便人们的生活，某公司生产了一种可折叠并且可随着铰链活动平摊成平板的圆形桌子。桌子的桌腿由两组分别用一条钢筋连接的若干根木条组成，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

针对问题一，本文通过对所给的图片以及视频的分析，根据创意折叠桌的对称性，我们选定三维空间中桌体的为研究对象，从其投影入手，将其转化到二维平面中，采用数形结合的方法，构造直角坐标系，以最外侧木条旋转后与桌平面的夹角为变量，把在折叠过程中各木条端点的位置放到坐标系中，分析各变量间的关系，从而建立数学模型。运用MATLAB软件编程，得到每个木条的开槽长度和桌角边缘线的运动轨迹。针对问题二，要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。我们将最外侧木条旋转后与桌平面的夹角和最外侧木条的钢筋固定位置距桌腿与地面接触点的长度作为变量进行分析。首先，物体的稳固性（稳度）与其重心的高度、支撑面的面积有关，重心越低，稳度越高；支撑面的面积越大，稳度越高。其次，开槽的总长度决定了工作量和操作难度，开槽的总长度越长，操作越不便，坚固性越不好。最后，在不考虑材料厚度的情况下，由于折叠桌的宽度等于圆形桌面直径符合实际情况，所以长方形平板材料的多少取决于它的长度，长方形平板越短，所需的材料就越少。根据上述3个影响因素，我们使用多目标最优化模型，运用MATLAB编程求解创意折叠桌的最优化参数。在该模型中，我们设立了三个变量分别代表木材总长度，稳定系数（支撑面与桌面面积之差的平方）以及总开槽长度，通过分析相关限定条件进行建立模型与求解。从所得的结果来看，该模型基本准确。针对问题三，除了考虑桌高，还要求考虑桌面边缘线的形状和大小以及桌脚边缘线的形状。为了描述桌面边缘线的形状和大小，我们规定了几个常见的形状及其属性（如，长，宽，半径，对角线长度等）。在给定桌面边缘线的形状和大小后，按照问题一的思路，寻找木材总长度，稳定系数以及总开槽长度与和的关系以及变量的限定条件，建立多目标最优化模型，求解最优的和值。绘制动态图时，将利用问题一求得的木条端点随变化的动态坐标进行绘制。本文给出了圆形桌面、正方形桌面、菱形桌面的GIF格式的动画。【关键字】创意折叠桌MATLAB多目标最优化模型稳度问题重述问题背景 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。使得桌腿可随着铰链的活动平摊成一张平板，从而大大节省了存放空间。问题提出根据创意折叠桌的结构试建立数学模型讨论下列问题：1.给定长方形平板尺寸为，每根木条宽，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线的运动轨迹。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高，桌面直径的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少张动态变化过程的示意图。模型假设桌腿倾斜时，由其厚度引起的误差对实际桌高没影响，可以忽略其厚度。讨论桌面面积时，按圆面考虑。3.圆桌面与木条接触边缘的中点代表桌面上对应的点。4.钢筋对问题分析影响不大，可以近似看作一条直线段，将钢筋与各木条的接触位置看作点。三、符号说明符号符号表示木板两条长边中点的连线，它穿过圆形桌面的中心木板两条长边中点的连线，它穿过圆形桌面的中心桌面相对于地面的高度旋转后与高线的夹角旋转后与桌平面的夹角圆形桌面的半径注：其它未给出符号在题中会说明四、模型建立与求解本题主要研究了折叠桌的动态变化过程和设计折叠桌的加工参数。首先，我们需要建立模型描述此折叠桌的动态变化过程并给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。其次，为了实现产品稳固性好、加工方便、用材最少，需要讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。最后，建立相关数学模型，给出自己所设计的创意平板折叠桌并画出8张动态变化过程的示意图。4.1问题一的模型建立与求解针对问题一，基于折叠桌的对称性，我们取其为研究对象，根据假设1，我们忽略桌腿的厚度。最外侧木条经过旋转达到预定高后，第()根木条与最外侧木条的位置关系的主视图如图所示。我们将运用数形结合的方法，构造直角坐标系，建立出数学模型，以（旋转后与桌平面的夹角）为变量，研究各木条端点的坐标的变化，描述了折叠桌的动态变化过程，进一步通过MATLAB编程，计算出此折叠桌的桌腿木条开槽的长度。4.1.1模型的建立因创意折叠桌的对称性，本组成员选定桌体的为研究对象。图为简化后的桌体主视图。我们以桌面中心为原点O，沿木条方向为y轴，垂直于圆面且过原点的直线轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系。图1-1和图1-2为不同情况下此坐标系在面的投影。图1-1点到的距离为为最外侧木板长的一半，其长为则的上限应该为，故。圆桌面上第根木板相对于最外侧木板多出来的长度为(1.1)在中应用余弦定理，有(1.2)可得第根木板上钢筋与桌面接触点的长度为;钢筋在第根木板中卡槽移动的距离为(1.3)显然RtΔBFD与RtΔBHC相似，根据三角形相似定理，有(1.4)因为折叠桌折叠前，即时，各木条端点到的距离相等，故有等式(1.5)成立。化简可得(1.6)如图1-1和图1-2会对的坐标产生影响，分两类讨论（1）当时，与的轴坐标应满足即在三角形中由勾股定理可得(1.7)当时，如图1-2所示，此时，有在三角形中由勾股定理可得 另外，第根木条在旋转过程中横坐标保持不变，恒为故第根木条的端点的坐标为，钢筋在第根木板中卡槽移动的距离，。现在将这根木条按照下面的对称公式，计算出与之对称的根木条端点的坐标和。4.1.2模型求解当最外侧旋转角度达到时，每个都将达到最大值。代入，利用附录中程序2，可求得每根木条上的开槽长度如表表1每根木条上的开槽长度木条序号12345开槽长度04.35647.663710.368412.5926木条序号678910开槽长度14.393015.803116.844517.531417.8728木条序号1112131415开槽长度17.872817.531416.844515.803114.3930木条序号1617181920开槽长度12.592610.36847.66374.35640 每根木条的组成情况如图1-3图1-3各木条的组成情况 将代入，可求得桌脚边缘线各点的坐标，如表，我们将用这些数据描述桌脚边缘线。表2桌脚边缘线的坐标数据木条序号X轴坐标Y轴坐标Z轴坐标1-23.75-22.7791496963108-502-21.25-17.1323888441318-46.66246330422433-18.75-14.3771510879539-43.41040914976274-16.25-12.9865188493691-40.55850959729985-13.75-12.3476971117286-38.17929310930556-11.25-12.1231944618212-36.26651944580447-8.75-12.1106714080814-34.78959512608148-6.25-12.1854608391201-33.71502811328949-3.75-12.2712789841449-33.014842218913210-1.25-12.3242256330333-32.6696548001687111.25-12.3242256330333-32.6696548001687123.75-12.2712789841449-33.0148422189132136.25-12.1854608391201-33.7150281132894148.75-12.1106714080814-34.78959512608141511.25-12.1231944618212-36.26651944580441613.75-12.3476971117286-38.17929310930551716.25-12.9865188493691-40.55850959729981818.75-14.3771510879539-43.41040914976271921.25-17.1323888441318-46.66246330422432023.75-22.7791496963108-50 桌脚边缘线的图像如图图1-4桌脚边缘线的三维形状图1-5桌脚边缘线的主视图图1-6桌脚边缘线的俯视图图1-7桌脚边缘线的左视图4.2问题二的模型建立与求解针对问题二，折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。（1）由于折叠桌的宽度已知，所需长方形平板材料的最小尺寸取决于它的长度(材料厚度不作考虑)，木条的宽度由用户指定，记为。由图2-1可知，木条旋转前的长度（2.1）在桌高固定的情况下，只与最外侧木条旋转的角度有关。（2）由于折叠桌需有稳固的结构，因而我们第二个考虑因素就是其稳定性，也就是稳度。《物体的稳度与哪些因素有关》[3]记载，物体的稳度与其重心的高度、支撑面的面积有关。重心越低，稳度越高；支撑面的面积越大，稳度越高。图2为折叠桌的示意图。1）如图2-2，当支撑面矩形的面积过大时，重心低，但在力的作用下，折叠桌容易成恢复平板形态。图2-22）如图2-3，当支撑面矩形的面积过小时，在力的作用下，折叠桌容易左右晃动，稳定性不好。图2-33）由图2所示，围成的矩形面积逐渐减少，与桌面面积相接近时，折叠桌的稳定性变强。为圆面直径，表示最外侧木条由水平位置转过的角度，；桌面面积记为，四脚连线围成的矩形面积记为。结合图2-1可得：（2.2）（2.3）（3）开槽的总长度决定了工作量和操作难度，开槽的总长度越长，操作越不便，坚固性越不好。与问题一中求开槽长度类似，设最外侧木条的钢筋固定位置距离桌腿与地面接触点的长度为，最外侧木条的钢筋位置及其由水平位置转过的角度均为变量，所以得出第根木条的槽长是以为变量的函数，即，在此基础上定义总槽长，其中表示的整数部分，。4.2.1模型建立按题意要求得到一组最优参数使得桌子具有稳固的结构、耗材量少同时也使得工程量尽可能小，因此我们设立了三个相关变量：总用料长度，结构稳定参数及桌腿的总槽长，如下（2.4）可得到一个多目标最优化模型（2.5）取得最小值时，即可得出最优解。4.2.2模型简化在折叠桌的设计中，应优先考虑其稳固性，只有折叠桌保证了稳固性，才能体现其功能。加上两个量至于有关，与无关。因而可以简化模型为（2.6）（2.7）模型是在模型的基础上进行优化，即由模型求出最佳旋转角度，然后将带入模型进行优化求出最佳位置。4.2.3模型求解将桌高，圆桌面直径，木条宽度，带入模型，可求的最佳旋转角度。长方形最小长度为。4.3问题三的模型建立与求解针对问题三，设定折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小，桌脚边缘线的大致形状和木条的宽度。其中表示的形状和大小等属性要求如表所示。表3属性要求桌面边缘的形状表示形状所需的属性举例圆形半径正方形边长菱形两对角线长度椭圆长轴和短轴对桌脚边缘线的要求可以放低，只需近似满足形状即可，而不必苛求属性。设最外侧木条的钢筋固定位置距离桌腿与地面接触点的长度为，最外侧木条由水平位置转过的角度为。尽管桌面边缘的形状大小不同，但总可以计算出所需木板的宽度，从而可以得出所需的木条数，通过桌面边缘线的属性计算桌面边缘线的曲线方程。按照问题一的思路，计算桌面上第个木条相对于第1个木条多出来的长度，可得，利用问题二的模型可求得最佳旋转角度和钢筋的最佳位置。要达到桌脚边缘线的要求，需要用穿过两个桌脚的平面去截直纹面，只要截取的曲线可以近似达到。表4桌面边缘线属性桌脚边缘线矩形板尺寸桌高钢筋的位置对应图像圆形无要求正方形无要求菱形无要求椭圆无要求图3-1圆形桌面图3-2正方形桌面图3-3菱形桌面五、模型检验我们经过建立问题二的模型及MATLAB编程运算得到了最优的。用问题一的桌高、直径、木条宽度，代入模型中，用附录中程序求得的与实际角度相差，在允许的误差范围之内。因此我们建立的模型是基本准确的。5.1对模型的稳定性的检验改变初始角度，求解的结果一致为，模型较稳定；给桌高一个微小偏差（此处为），求得结果仍然一致为；故模型是稳定的。5.2模型不足与推广在问题二的模型中，我们忽略了之间的关联，仅采用了两个变量进行最优值的求解。因为无法很好的将变量运用在真实解题过程，所以模型的结果存在一定的误差。该模型中的变量均可以被赋予相关系数，从而进一步的得到更加优化而准确的结果。六、参考文献[1]赵静,但琪.数学建模与数学实验（第3版），北京：高等教育出版社2008.01[2]卢少夫.图形创意设计，上海：人民美术出版社2007.10.01[3]赵秀富.物体的稳度与哪些因素有关[物理教师]1986年03期[4]王焕定,祁皑.结构力学（第2版)，北京：清华大学出版社2012.07.01[4]李成标,刘新卫.运筹学，北京：清华大学出版社2012.08.01附录程序1：计算创意折叠桌的一组桌脚边缘线的坐标数据。d=2.5;D=50;L=120;r=D/2;h=53-3;n=floor(D/d/2);l1=sqrt(r^2-(r-d/2)^2);L1=L/2-l1;theta=pi/2-acos(h/L1);z(1)=-L1*sin(theta);y(1)=-L1*cos(theta)-l1;x(1)=-d*(9+1/2);forj=2:nb=sqrt(r^2-(r-d*(j-1/2))^2)-l1;c=sqrt(b^2+(L1/2)^2-2*b*(L1/2)*cos(theta));x(j)=-(10-j+1/2)*d;y(j)=-b-(L1-b)*cos(asin((L1/2)*sin(theta)/c))-l1;if(y(1)+l1)/2<-by(j)=-b-(L1-b)*cos(asin((L1/2)*sin(theta)/c))-l1;elsey(j)=-b+(L1-b)*(cos(asin((L1/2)*sin(theta)/c)))-l1;endz(j)=-L1/2*sin(theta)*(L1-b)/c;endforj=n+1:n+nx(j)=(j-10-1/2)*d;y(j)=y(21-j);z(j)=z(21-j);endplot3(x,y,z)title('桌脚边缘线')xlabel('X轴')ylabel('Y轴')zlabel('Z轴')pos=[x',y',z']程序2：计算每个木条的开槽长度l1=sqrt(25^2-23.75^2);zhong=(120/2-l1)/2;h=50;theta=acos(h/(120/2-l1));stheta=sin(theta);x=[];x(1)=0;yuan(1)=0;c=[];c(1)=zhong;fori=2:10yuan2=sqrt(25^2-(25-2.5*(i-1/2))^2);yuan(i)=yuan2-l1;c(i)=sqrt(yuan(i)^2+zhong^2-2*yuan(i)*zhong*stheta);x(i)=c(i)+yuan(i)-zhong;endbar([[(60-yuan-l1-c)';fliplr((60-yuan-l1-c))'],...[x';fliplr(x)'],...[(60-zhong-l1-yuan)';fliplr(60-zhong-l1-yuan)']],'stacked')xlim([0,21])title('木条的组成情况')legend('各木条开槽之外的部分','各木条开槽部分',...'与桌面相连接的未开槽部分','location','best')xlabel('木条序号');ylabel('长度');x=[x,fliplr(x)]程序3：建立优化目标函数fun1functionf=fun1(alpha)h=70;%桌高D=80;%桌直径d=3;%木条宽度r=D/2;l1=sqrt(r^2-(r-(d/2))^2);f=2*(h/sin(alpha)+l1)+(2*(h/tan(alpha)+l1)*D-pi*r^2)^2;L=2*(h/sin(alpha)+l1)程序4：将模型转化为无约束问题，将角度初值设为2.5(弧度制)[alpha,f]=fminsearch(@fun1,2.5);alpha=alpha/pi*180程序5：模型检验与稳定性，利用问题一的条件进行检验functionf=fun2(alpha)%问题一条件下的目标函数fun2h=50;%桌高D=50;%桌直径d=2.5;%木条宽度r=D/2;l1=sqrt(r^2-(r-(d/2))^2);f=2*(h/sin(alpha)+l1)+(2*(h/tan(alpha)+l1)*D-pi*r^2)^2;%检验：计算实际旋转角与模型求出的最佳旋转角的差值h=50;l1=sqrt(25^2-23.75^2);theta=acos(h/(120/2-l1));theta=90-theta/pi*180;[alpha,f]=fminsearch(@fun2,2.5);th=theta-alpha/pi*180%模型稳定性的检验，通过改变初始角度[alpha,f]=fminsearch(@fun1,1.5);alpha=alpha/pi*180[alpha,f]=fminsearch(@fun1,0.5);alpha=alpha/pi*180%模型稳定性的检验，通过改变桌高%建立目标函数fun3functionf=fun3(alpha)h=69.9;%桌高D=80;%桌直径d=3;%木条宽度r=D/2;l1=sqrt(r^2-(r-(d/2))^2);f=2*(h/sin(alpha)+l1)+(2*(h/tan(alpha)+l1)*D-pi*r^2)^2;[alpha,f]=fminsearch(@fun3,2.5);alpha=alpha/pi*180程序6：圆桌面创意折叠桌，在当前目录下会产生名为“圆桌创意折叠桌.gif”的动画。warningoffalld=2.5;D=50;L=120;r=D/2;h=53-3;n=floor(D/d/2);l1=sqrt(r^2-(r-d/2)^2);L1=L/2-l1;theta=acos(h/L1);fileName='圆桌创意折叠桌';holdonfori=0:0.01:pi/2-thetaz1(1)=-L1*sin(i);y1(1)=-L1*cos(i)-l1;x1(1)=-d/2;plot3([x1(1),x1(1),x1(1),x1(1)],[y1(1),-l1,l1,-y1(1)],...[z1(1),0,0,z1(1)])forj=2:nholdonb(j)=sqrt(r^2-(r-d*(j-1/2))^2)-l1;c(j)=sqrt(b(j)^2+(L1/2)^2-2*b(j)*(L1/2)*cos(i));x1(j)=-(j-1/2)*d;y1(j)=-b(j)-(L1-b(j))*cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j)))-l1;if(y1(1)+l1)/2<-b(j)y1(j)=-b(j)-(L1-b(j))*cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j)))-l1;elsey1(j)=-b(j)+(L1-b(j))*(cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j))))-l1;endz1(j)=-L1/2*sin(i)*(L1-b(j))/c(j);plot3([x1(j),x1(j),x1(j),x1(j)],...[y1(j),-b(j)-l1,b(j)+l1,-y1(j)],...[z1(j),0,0,z1(j)])endforj=n+1:n+nx1(j)=-(j-1/2)*d;y1(j)=y1(21-j);z1(j)=z1(21-j);plot3([x1(j),x1(j),x1(j),x1(j)],...[y1(j),-b(21-j)-l1,b(21-j)+l1,-y1(j)],...[z1(j),0,0,z1(j)])holdonendaxis([-50,0,-70,70,-60,10]);view([-97,6])plot3([x1(1),x1(end)],[(y1(1)+l1)/2-l1,(y1(1)+l1)/2-l1],...[z1(1)/2,z1(1)/2],'k')plot3([x1(1),x1(end)],[-(y1(1)+l1)/2+l1,-(y1(1)+l1)/2+l1],...[z1(1)/2,z1(1)/2],'k')wg=getframe;imindex=frame2im(wg);[imindex,cm]=rgb2ind(imindex,256);holdoffifi~=0imwrite(imindex,cm,fileName,'gif','WriteMode','append',...'DelayTime',0.01);pause(0.05)elseimwrite(imindex,cm,fileName,'gif','Loopcount',inf,...'DelayTime',0.1);pause(1)endendfork=1:3:16view([-97+k,6])pause(0.5)end程序7：正方形桌面创意折叠桌，在当前目录下会产生名为“正方形创意折叠桌.gif”的动画。warningoffalld=2.5;D=50;L=120;h=53-3;n=floor(D/d/2);l1=d/2;L1=L/2-l1;theta=acos(h/L1);fileName='正方形创意折叠桌';%holdonfori=0:0.01:pi/2-thetaz1(1)=-L1*sin(i);y1(1)=-L1*cos(i)-l1;x1(1)=-d/2;plot3([x1(1),x1(1),x1(1),x1(1)],[y1(1),-l1,l1,-y1(1)],...[z1(1),0,0,z1(1)])forj=2:nholdonx1(j)=-(j-1/2)*d;b(j)=-x1(j)-l1;c(j)=sqrt(b(j)^2+(L1/2)^2-2*b(j)*(L1/2)*cos(i));y1(j)=-b(j)-(L1-b(j))*cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j)))-l1;if(y1(1)+l1)/2<-b(j)y1(j)=-b(j)-(L1-b(j))*cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j)))-l1;elsey1(j)=-b(j)+(L1-b(j))*(cos(asin((L1/2)*sin(i)/c(j))))-l1;endz1(j)=-L1/2*sin(i)*(L1-b(j))/c(j);plot3([x1(j),x1(j),x1(j),x1(j)],...[y1(j),-b(j)-l1,b(j)+l1,-y1(j)],...[z1(j),0,0,z1(j)])endforj=n+1:n+nx1(j)=-(j-1/2)*d;y1(j)=y1(21-j);z1(j)=z1(21-j);plot3([x1(j),x1(j),x1(j),x1(j)],...[y1(j),-b(21-j)-l1,b(21-j)+l1,-y1(j)],...[z1(j),0,0,z1(j)])holdonendaxis([-50,0,-70,70,-60,10]);view([-97,6])plot3([x1(1),x1(end)],[(y1(1)+l1)/2-l1,(y1(1)+l1)/2-l1],...[z1(1)/2,z1(1)/2],'k')plot3([x1(1),x1(end)],[-(y1(1)+l1)/2+l1,-(y1(1)+l1)/2+l1],...[z1(1)/2,z1(1)/2],'k')wg=getframe;imindex=frame2im(wg);[imindex,cm]=rgb2ind(imindex,256);holdoffifi~=0imwrite(imindex,cm,fileName,'gif','WriteMode','append',...'DelayTime',0.01);pause(0.5)elseimwrite(imindex,cm,fileName,'gif','Loopcount',inf,...'DelayTime',0.1);pause(1)endendfork=1:3:16view([-97+k,6])pause(0.5)end程序8：菱形桌面的创意折叠桌，warningoffalld=2.5;D=50;L=120;h=53-3;n=floor(D/d/2);l1=d/2;L1=L/2-l1;theta=acos(h/L1);fileName='菱形创意折叠桌';%holdonfori=0:0.01:pi/2-thetaz1(1)=-L1*sin(i);y1(1)=-L1*cos(i)-l1;x1(1)=-d/2;plot3([x1(1),x1(1),x1(1),x1(1)],[y1(1),-l1,l1,-y1(1)],...[z1(1),0,0,z1(1)])forj=2:nholdonx1(j)=-(j-1/2)*d;