2025届新高考数学冲刺精准复习抛物线的方程与性质

2025届新高考数学冲刺精准复习抛物线的方程与性质01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解抛物线的定义、标准方程及简单几何性质；了解抛

物线的简单应用.【考情概述】在新高考中，抛物线的地位显著提升，既会考选择题、

填空题，也会以解答题的形式进行考查.通常以考查抛物线的性质、直

线与抛物线的位置关系为主，难度中等偏上.

知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点

F

和一条定直线

l

（

l

不经过点

F

）的距离

⁠的

点的轨迹叫做抛物线.

F

叫做抛物线的焦点，直线

l

叫做抛物线的

⁠

.其数学表达式：{

M

｜｜

MF

｜＝

d

}（

d

为点

M

到准线

l

的距离）.相等准

线2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程

y

2＝2

px

（

p

＞0）

y

2＝－2

px

（

p

＞0）

x

2＝2

py

（

p

＞0）

x

2＝－2

py

（

p

＞0）

p

的几何意义：焦点

F

到准线

l

的距离图形

顶点

O

（0，0）对称轴直线

y

＝0直线

x

＝0焦点离心率

e

＝1准线方程范围

x

≥0，

y

∈R

x

≤0，

y

∈R

y

≥0，

x

∈R

y

≤0，

x

∈R开口方向向右向左向上向下焦半径[其中

P

（

x

0，

y

0）]｜

PF

｜

＝

⁠

⁠｜

PF

｜

＝

⁠

⁠｜

PF

｜

＝

⁠

⁠｜

PF

｜

＝

⁠

⁠x

0＋

－

x

0＋

y

0＋

－

y

0＋

常用结论设

AB

是过抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）焦点

F

的弦，

AB

所在直线的倾斜角

为θ.若

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2），则：（1）

y

1

y

2＝

，

x

1

x

2＝

⁠；

－

p

2

✕✕✕√2.（RA选一P138习题3.3第2题（2）改编）若抛物线

y

2＝8

x

上一点

P

到

其焦点的距离为10，则点

P

的坐标为（

C

）A.（8，8）B.（8，－8）C.（8，±8）D.（－8，±8）C3.（RA选一P138习题3.3第5题改编）如图，

M

是抛物线

y

2＝4

x

上一

点，

F

是抛物线的焦点，以

Fx

为始边、

FM

为终边的角（∠

xFM

）为120°，则｜

FM

｜等于（

A

）C.3D.4A4.（多选）（RA选一P136练习第1题改编）顶点在原点处，对称轴为坐

标轴，且过点

P

（－4，－2）的抛物线的方程为（

AB

）A.

y

2＝－

x

B.

x

2＝－8

y

C.

x

2＝－

y

D.

y

2＝－8

x

AB5.（RA选一P139习题3.3第11题改编）已知圆心在

y

轴上移动的圆经过

点

A

（0，5），且与

x

轴、

y

轴分别交于

B

（

x

，0），

C

（0，

y

）两个

动点，则点

M

（

x

，

y

）的轨迹方程为

⁠.x

2＝－5

y

考点一

抛物线的定义及应用例1（1）

设抛物线的顶点为

O

，焦点为

F

，准线为

l

，

P

是抛物线上

异于点

O

的一点，过点

P

作

PQ

⊥

l

于点

Q

，则线段

FQ

的垂直平分线

（

B

）A.经过点

O

B.经过点

P

C.与直线

OP

平行D.与直线

OP

垂直解：连接

PF

.

根据题意及抛物线的定义可知，｜

PQ

｜＝｜

FP

｜，所

以△

QPF

为等腰三角形.所以线段

FQ

的垂直平分线经过点

P

.

B（2）

（2023·江西校联考阶段练习）已知

P

是抛物线

C

：

x

2＝8

y

上的动

点，点

M

的坐标为（4，1），

PQ

⊥

x

轴，垂足为

Q

，则｜

PQ

｜＋｜

PM

｜的最小值为（

D

）B.2D总结提炼

1.利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）

轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离

有关的轨迹是否为抛物线.（2）

距离问题：涉及抛物线上的点到焦点和到准线的距离问题时，

注意在解题中利用两者之间的相互转化.2.抛物线定义的应用规律[对点训练]1.（2022·山东模拟）已知

P

为抛物线

y

2＝4

x

上的一个动点，

Q

为圆（

x

＋2）2＋（

y

－4）2＝1上的一个动点，则点

P

到点

Q

的距离与点

P

到抛

物线的准线的距离之和的最小值是（

C

）A.6B.5C.4D.3C

A.[1，2]B.[1，＋∞）C3.如图，过抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点

F

的直线交抛物线于

A

，

B

两点，交准线

l

于点

C

.

若｜

BC

｜＝2｜

BF

｜，且｜

AF

｜＝3，则此抛

物线的方程为

⁠.y

2＝3

x

考点二

抛物线的标准方程例2若顶点在原点且以坐标轴为对称轴的抛物线过点（－2，3），则

它的方程为（

A

）A

A.

y

2＝6

x

B.

y

2＝2

x

C.

y

2＝

x

D.

y

2＝4

x

A[拓展探究]总结提炼

求抛物线标准方程的方法（1）

先定位：根据焦点或准线的位置.（2）

再定形：根据条件求

p

.考点三

抛物线的性质考向1

焦半径和焦点弦例3（1）

（2023·南通海安模考）设过抛物线

C

：

y

2＝

x

的焦点的直

线交抛物线

C

于

A

，

B

两点（点

A

在

x

轴上方），过抛物线

C

的顶点和点

A

的直线交抛物线

C

的准线于点

D

.

若点

A

，

D

的纵坐标之比为－4，则

直线

AB

的斜率为（

C

）C

（2）

已知抛物线

y

2＝4

x

的焦点为

F

，过点（2，0）的直线

l

交抛物线

于

M

，

N

两点.若｜

MF

｜＋｜

NF

｜＝10，则｜

MN

｜等于（

C

）A.14D.12C2.（多选）抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点是

F

，直线

m

与

C

相交

于不同的两点

A

，

B

，

M

是线段

AB

的中点，

O

是坐标原点，则下列说

法正确的是（

ABD

）A.过点（0，

p

）可作3条与抛物线

C

只有一个公共点的直线C.若直线

m

经过焦点

F

，且｜

AF

｜＋4｜

BF

｜的最小值是9，则

p

＝3ABD[拓展探究]总结提炼

抛物线性质的应用技巧（1）

利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线

方程化为标准方程.（2）

要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.[对点训练]4.（多选）（2023·全国专题练习）设抛物线

E

：

y

2＝4

x

的焦点为

F

，

A

，

B

是抛物线

E

上不同的两点，且｜

AF

｜＋｜

BF

｜＝8，则下列说法

正确的是（

ABD

）A.线段

AB

的中点到抛物线

E

的准线的距离为4D.线段

AB

的垂直平分线过某一定点ABD考向2

与抛物线有关的最值问题例4已知抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点为

F

（1，0），则抛物线上

的动点

N

到点

M

（3

p

，0）的距离｜

MN

｜的最小值为（

C

）A.4B.6C

总结提炼

解与抛物线有关的最值问题，可通过两点间的距离公式或者点到

直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解.解题的关

键是根据所给抛物线方程设出动点坐标.[对点训练]5.已知

P

（2，4）是抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）上一点，过抛物线

C

的焦点

F

的直线

l

与抛物线

C

交于

A

，

B

两点，则｜

AF

｜＋9｜

BF

｜的

最小值为（

D

）A.24B.28C.30D.32D

1.（2023·北京卷）已知抛物线

C

：

y

2＝8

x

的焦点为

F

，点

M

在抛物线

C

上.若点

M

到直线

x

＝－3的距离为5，则｜

MF

｜等于（

D

）A.7B.6C.5D.4解：因为抛物线

C

：

y