专题04 三角形的证明（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

专题04三角形的证明目录TOC\o"1-3"\h\u【考点1等腰三角形中求角度、边长】 3【考点2等腰三角形的判定和性质】 7【考点3等边三角形中求角度、边长】 11【考点4等边三角形的判定和性质】 16【考点5全等的性质和HL综合】 21【考点6与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】 26【考点7利用线段的垂直平分线的性质求解】 32【考点8利用角平分线的性质求解】 34【考点9线段的垂直平分线的判定和性质】 37【考点10角平分线的判定和性质】 41【过关检测】 461.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在中，AB＝AC，2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形.5.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在中，，6.直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于.7.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在中，勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在中，，8.线段的垂直平分线9.角的平分线考点剖析【考点1等腰三角形中求角度、边长】例题1：（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是．例题2：（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等腰中，，D为上一点，且，若，，则的长是．【变式训练】1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，在直线上取一点，使，连接，则的度数为．2.（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在边上，.若，则的度数为．3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为，点在边上，，点、在边上，．若为，则为．4．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为．【考点2等腰三角形的判定和性质】例题：（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点．(1)求证：；(2)判断的形状，并说明理由．【变式训练】1．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．

(1)求证：是等腰三角形；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．2．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，已知点O在等边的内部，，，以为边作等边，连接．(1)求证：；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；【考点3等边三角形中求角度、边长】例题1：（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，是等边三角形的中线，，则．例题2：（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点．如果测得，那么．

2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是．3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，等边边长为，点D，E分别在边边上，以为边往下作等边，连接，当且的周长最小时，的长为．4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点，分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点，于点．若，，则的长为．【考点4等边三角形的判定和性质】例题：（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F．(1)连接，判断的形状，并证明你的结论；(2)求证：．【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．（1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______；【探究发现】（2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分．【拓展延伸】（3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求．2．（22-23八年级下·广东·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：(填“”、“”或“”)．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，(填“”、“”或“”)；理由如下，过点作，交于点．(请你完成以下解答过程)．(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)．【考点5全等的性质和HL综合】例题：（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点．(1)求证：(2)若，，求的长．【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图所示，点、、、在一条直线上，，过点，分别作，，，连接交于点．求证：(1)；(2)平分．2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分；（2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示）（3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度．【考点6与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】例题：（23-24八年级上·江西南昌·期末）在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是.【变式训练】1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则．

2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为直角顶点，为腰作等腰，则点的坐标为．

3．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为．4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

【考点7利用线段的垂直平分线的性质求解】例题：（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的长为．【变式训练】1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则．2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是．

【考点8利用角平分线的性质求解】例题：（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，平分，交于点，于点，，则的周长为．【变式训练】1．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则度．2．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为．【考点9线段的垂直平分线的判定和性质】例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，是的角平分线，，分别是和的高．(1)试说明垂直平分；(2)若，，，，求的长．【变式训练】1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．

(1)求证：；(2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由；(3)若，，求的度数．2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．

(1)求证：；(2)如果．求证：垂直平分线段．【考点10角平分线的判定和性质】例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在和中，，，，延长，交于点M．(1)求证：平分；(2)若，，，求的长．【变式训练】1．（23-24八年级上·江西宜春·期末）如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且．

(1)求证：；(2)请你判断是否平分，并证明你的结论；(3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数．2．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，向外作和等边，连接．(1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点．①试猜想、的关系，并说明理由；②连接，问是否平分，为什么？(2)如图2，当是直角三角形时，若，．求证：．【过关检测】过关检测一、单选题1．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，连接、，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（）A． B．6 C．8 D．3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（

）A．直线是筝形的对称轴B．对角线平分，C．对角线，互相垂直平分D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半4．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（

）

A． B．6 C．9 D．125．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点E，F分别在，上，且，连接，两直线相交于点G，连接，下列结论：①，

②，

③，

④，⑤．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则．7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则．8．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则．9．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，E是的中点，在斜边上有一动点D．从点B出发，沿着的方向以每秒的速度运动，当点D运动到点A时，停止运动．设动点D的运动时间为，连接，若为等腰直角三角形，则t的值为．10．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．若点恰好运动到的垂直平分线上时，则的值为秒．

三、解答题11．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中