九年级数学下册专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型(原卷版+解析)

专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A． B． C． D．例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；课后专项训练1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（

）A． B．4 C． D．22．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．4．（2023·广东珠海·校考三模）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为.

5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．6．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．（1）写出中点D的坐标，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．

12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,①求证：；②若，，求的度数．（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．16．（2023·重庆沙坪坝·九年级校联考期中）已知，在中，，，E是边上一点．(1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积；(2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：；(3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值．

专题15三角函数中的最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.知识储备：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．【答案】【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．例2．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．【答案】【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．【详解】解：过作，菱形，，，，即为等边三角形，，在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，，，，在中，，则的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，∵四边形是正方形，，，的最小值为0，∵，∴的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．例5．（2023.广西九年级期中）如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．例6．（2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．例7．（2022·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则，根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线．（2）如图，连接，，垂直平分AB，当点与重合时，,此时最小，，设，则解得：PA+PC=当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；（3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，，由（2）知，平分点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为∠QAC的正弦值为【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键．例8．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．例9．（2023.重庆九年级一诊）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求直线BD的解析式；（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；【答案】（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；【分析】（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．【详解】解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴B（﹣2，0），A（4，0），令x＝0，y＝4，∴C（0，4），∵D为AC的中点，∴D（2，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，，解得，∴直线BD的解析式为y＝x+1．（2）如图所示，过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点H为（t，t+1），∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PH最大，此时点P为（，），当PH最大时，△PDF的面积也最大．∵直线BD的解析式为y＝x+1，令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，∴sin∠FBO＝过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，∴∠MEG＝∠FBO，∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，∴PG﹣GE＝PG﹣MG，当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，令﹣x2+x+4＝x+1，解得x1＝3，x2＝﹣2，∴点E（3，），∴PM＝﹣＝，∴点G（，），∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．【点睛】本题考查二次函数求最值问题，线段的和差求最值问题，找等腰三角形的分类讨论，综合性较强．课后专项训练1．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（

）A． B．4 C． D．2【答案】C【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，∴，∴，∴直线PD的解析式为；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，∴的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．2．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．【答案】3【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查菱形性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.3．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．【答案】4【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，四边形是菱形，边长为5，，，，，，，，，，，，，，即，，当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，菱形的面积，，的最小值是4．故答案为：4．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．4．（2023·广东珠海·校考三模）如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为.

【答案】【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．6．（2023.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于．解：如图，过点作，交的延长线于点，，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，故答案为：7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．8．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________．【答案】3【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解．【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中，，如图，当时，最小，最小值为的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键．9．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【答案】4【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．10．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．（1）写出中点D的坐标，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=经过D(，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，∴sin∠JOD=，∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值为4．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，关于的对称图形为．

(1)求证：四边形是菱形；(2)连接，若，．①求的值；②若点P为线段上一动点（不与点A重合），连接，一动点Q从点O出发，以的速度沿线段匀速运动到点P，再以的速度沿线段匀速运动到点A，到达点A后停止运动．设点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间为t，求t的最小值．【答案】(1)见解析(2)①；②t的最小值为3【分析】（1）根据矩形的性质可得，折叠的性质可得，即可求证；（2）①连接交于点M，作交的延长线于H，根据菱形的性质得出，，，通过证明四边形是矩形，得出，，则，根据勾股定理得出最后根据，即可求解；②根据题意得出点Q的运动时间，连接，过点P作于H，则，进而得出，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵关于的对称图形为，∴，∴四边形是菱形．（2）解：①如答图1中，连接交于点M，作交的延长线于H．

∵四边形是菱形，∴，，∵，∴为中位线，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，∴

②由题意得：点Q的运动时间如答图2中，连接，过点P作于H，由①，得过点O作于M．如答图2根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与重合时，t有最小值，t的最小值为的值，

又所以t的最小值为3．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，是中考压轴题．12．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴点到的距离为．（2）如图，连接，过点作于，过点作于．∵，∴的最小值等于的长，∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值为；故答案为：（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．13．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,①求证：；②若，，求的度数．（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为AD=BC，即得CE=CD．②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH=，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．【详解】解：（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2=CB2+CE2∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ADC=90°∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2∴CB2+CE2=CB2+CD2∴CE=CD②设∠CED=α，则∠CDE=∠CED=α∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α∵∠AEC=135°∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α∵DA=DE∴∠DAE=∠DEA=135°-α∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°∴2（135°-α）+（90°-α）=180°解得：α=60°∴∠ADE=90°-60°=30°（3）①∵矩形ABCD中，AB=5，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=5∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CE=CD=5i）如图1，若DE=DA，则DE=8过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N∴∠AME=∠MND=90°∴四边形AMND是矩形∴MN=AD=8，AM=DN设AM=DN=x，则CN=CD-DN=5-x∵Rt△DEN中，EN2+DN2=DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2=CE2∴DE2-DN2=CE2-CN2∴82-x2=52-（5-x）2解得：x=∴EN=，AM=DN=∴ME=MN-EN=8-,∴Rt△AME中，AE=ii）如图2，若AE=DE，则E在AD的垂直平分线上过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q∴AP=DP=AD=4，∠APQ=∠PQC=90°∴四边形CDPQ是矩形∴PQ=CD=5，CQ=PD=4∴Rt△CQE中，EQ=＝3∴PE=PQ-EQ=2∴Rt△APE中，AE=iii）如图3，若AE=AD=8，则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2∴∠AEC=90°取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上∴点E也在⊙O上∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．②在CB上截取CH=，连接EH∴,∵∠ECH=∠BCE∴△ECH∽△BCE∴,∴EH=BE∴AE+BE=AE+EH∴当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值∵BH=BC-CH=8-＝,∴AH=∴AE+BE的最小值为．【点睛】此题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂．14．（2023.上海九年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接．①求的周长为最大值时点P的坐标；②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标．【答案】（1）；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解；（2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解；②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作，垂直分别为，则∠MGO=60°，从而得到，，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C，∴当时，，∴点，将点，代入，得：，∴直线BC的解析式为，当时，，∴点B（4,0），将点，B（4,0），代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）①设，则，∴，设△PEF的周长为m，∵，∴∠PEF=∠BCO，∵∠PFO=∠BCO=90°，∴△PFE∽△BOC，∴，∵点B（4,0），，∴，∴，∴，∴，∴当时，m最大，此时，即的周长为最大值时点P的坐标为；②抛物线的对称轴为，如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作，垂直分别为，则∠MGO=60°，∴，，∴，∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，∵∠MGO=60°，∴∠MOG=30°，∵，∴，，∴∠POB=60°，∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，∴点P、O、M三点共线，设直线AC的解析式为，∵，∴，解得：，∴直线AC的解析式为，∵，∴可设直线BG的解析式为，把点B（4,0），代入得：，∴直线BG的解析式为，∴点，∴，∴，∴PM=10，∴的最小值为10，∵∠POB=60°，抛物线对称轴为，∴此时点H的纵坐标为，∴的最小值为10，此时点H的坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．15．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．(1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；(2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：(3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BP