江苏省南京市2024届高三上学期9月学情调研数学试题

南京市2024届高三年级学情调研数 学2023.09注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．若，则z的虚部为A．2 B． C． D．3．的展开式中常数项为A． B． C．4 D．244．在中，点D为边AB的中点．记，，A． B． C． D．5．设O为坐标原点，A为圆C：上一个动点，则的最大值为A． B． C． D．6．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形7．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v（），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为，其中常数为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为，且时室内空气中颗粒物的浓度是时的倍，则v的值约为（参考数据：，）A．1.3862 B．1.7917 C．2.1972 D．3.58348．若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，且，则A． B． C． D．10．有一组样本数据，，，，，已知，，则该组数据的A．平均数为2 B．中位数为2 C．方差为2 D．标准差为211．在中，，，D是AB的中点．将沿CD翻折，得到三棱锥A＇-BCD，则A．B．当时，三棱锥A＇-BCD的体积为C．当时，二面角A＇-CD-B的大小为D．当时，三棱锥A＇-BCD的外接球的表面积为12．函数及其导函数的定义域均为R，且，，则A．为偶函数 B．的图象关于直线对称C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则．14．某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为．15．记为数列的前n项和，已知则．16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M．若，且，则C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知公比大于1的等比数列满足：，．（1）求的通项公式；（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，，求的面积．19．（12分）某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．（第19题图）（1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；B学科良好B学科不够良好合计A学科良好A学科不够良好合计（2）用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.07220．（12分）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，，，（第20题图）点G是线段BF的中点．（1）证明：平面DAF；（2）求直线EF与平面DAF所成角的正弦值．21．（12分）已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．（1）求C的方程；（2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．22．（12分）已知函数，其中．（1）若，证明：；（2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围．南京市2024届高三年级学情调研数学参考答案 2023.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13． 14．0.56 15． 16．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）方法1：因为是等比数列，所以，又，所以或.又，所以，所以，.因此． 5分方法2：由基本量得出或.又，所以.因此．（2）由（1）得，所以，两式作差可得，．所以，即（）．所以数列是公差为的等差数列．18．（12分）解：（1）由正弦定理，得．因为，，所以，即．因为，所以．（2）解法1：由正弦定理，所以，因此，．所以．所以，的面积为．解法2：因为，，所以．化简得，因为，所以，故．因此，进而可解得．所以的面积为．分19．（12分）解：（1）由直方图可得A学科良好的人数为，所以2×2列联表如下：B学科良好B学科不够良好合计A学科良好403070A学科不够良好102030合计5050100假设：A学科良好与B学科良好无关，，所以有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关．（2）AB学科均良好的概率，X的可能取值为0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列为X0123P因为，所以．20．（12分）（1）证法一：连接OE，OG．在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．在中，点O，G分别是AB和BF的中点，所以．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．又，OE，平面OEG，所以平面平面DAF．又平面OEG，所以平面DAF．证法二：取AF的中点M，连接MD，MG．因为点M，G分别是FA和FB的中点，所以．在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中，．所以，因此四边形DEGM是平行四边形．因此．又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．证法三：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，．因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．又，所以，因此．因为点G是线段BF的中点，所以，因此．因为平面ABF，平面ABF，所以．又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，因此是平面DAF的一个法向量．因为，又平面DAF，所以平面DAF．（2）解：法一：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，．因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．又，所以，因此．因此，．因为平面ABF，平面ABF，所以．又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，因此是平面DAF的一个法向量．设EF与平面DAF所成角为，则，所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．法二：由（1）得平面DAF，所以点E到平面DAF的距离等于点G到平面DAF的距离．因为平面ABF，平面ABF，所以．因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．又，AF，平面DAF，所以平面DAF．所以点E到平面DAF的距离．连结OE，OF，易得，所以．设EF与平面DAF所成角为，则，所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．法三：过F作AD的平行线交上底面于点H，连结DH，平面ADF即为平面AFHD．过E作，K为垂足，又因为，，则平面AFHD，则为EF与平面ADF所成的角．得，．设EF与平面DAF所成角为，则，所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．21．（12分）解：（1）设椭圆C的焦距为2c，由题得．当A为短轴顶点时，的周长．又，所以，解得，．所以，椭圆C的标准方程为．（2）法一：易得，设直线AB：．联立，消去y并整理得，设，，则，，则．于是线段AB的垂直平分线的方程为．令，得．处理法1：因为，所以．因为，所以Q，O，M，F四点共圆，由相交弦定理可得．因为，且函数在上递增，所以．处理法2：易得，所以，所以．处理法3：．令，则，因为，所以，因此，因此．法二：易得，设直线AB：．联立，消去x并整理得，设，，则，，则．于是线段AB的垂直平分线的方程为．令，得．处理法1：因为，所以．因为，所以Q，O，M，F四点共圆，由相交弦定理可得．因为，且函数在上递增，所以．处理法2：易得