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文档简介
浙江省湖州市长兴县、德清县、安吉县三县2025届高一下数学期末调研试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知是边长为4的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是()A. B. C. D.2.设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是()A.与 B.与C.与 D.与3.体积为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为A. B. C. D.4.在中,,则此三角形解的情况是()A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解5.在中,已知,,,则的形状为()A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定6.不等式的解集是()A. B.C. D.7.若tan()=2,则sin2α=()A. B. C. D.8.函数的部分图象如图所示,函数,则下列结论正确的是()A.B.函数与的图象均关于直线对称C.函数与的图象均关于点对称D.函数与在区间上均单调递增9.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生参加演讲比赛,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1名男生和至少有1名女生B.至多有1名男生和都是女生C.至少有1名男生和都是女生D.恰有1名男生和恰有2名男生10.已知函数,则有A.的图像关于直线对称 B.的图像关于点对称C.的最小正周期为 D.在区间内单调递减二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.若角的终边经过点,则___________.12.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,则________.13.一个扇形的圆心角是2弧度,半径是4,则此扇形的面积是______.14.不等式的解集为_____________________。15.函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为______.16.在正方体中,是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为__________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设二次函数f(x)=ax2+bx.(1)若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围;(2)当b=1时,若对任意x∈[0,1],-1≤f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.18.爱心超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温单位:有关如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份每天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:最高气温天数216362574(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率;(2)当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时,求这一天销售这种酸奶的平均利润(单位:元)19.在三棱锥中,平面平面,,,分别是棱,上的点(1)为的中点,求证:平面平面.(2)若,平面,求的值.20.如图,在四边形中,,,.(1)若,求的面积;(2)若,,求的长.21.数列的前项和.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和,并求使成立的实数最小值.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】
建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算,求得最小值,即可求解.【详解】由题意,以中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则,设,则,所以,所以当时,取得最小值为,故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.2、C【解析】
利用向量可以作为基底的条件是,两个向量不共线,由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可.【详解】由是平面内的一组基底,所以和不共线,对应选项A:,所以这2个向量共线,不能作为基底;对应选项B:,所以这2个向量共线,不能作为基底;对应选项D:,所以这2个向量共线,不能作为基底;对应选项C:与不共线,能作为基底.故选:C.【点睛】本题主要考查基底的定义,判断2个向量是否共线的方法,属于基础题.3、A【解析】试题分析:因为正方体的体积为8,所以棱长为2,所以正方体的体对角线长为,所以正方体的外接球的半径为,所以该球的表面积为,故选A.【考点】正方体的性质,球的表面积【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个:外接球、内切球和与各条棱都相切的球,其半径分别为、和.4、B【解析】由题意知,,,,∴,如图:∵,∴此三角形的解的情况有2种,故选B.5、A【解析】
由正弦定理得出,从而得出可能为钝角或锐角,分类讨论这两种情况,结合正弦函数的单调性即可判断.【详解】由正弦定理得可能为钝角或锐角当为钝角时,,符合题意,所以为钝角三角形;当为锐角时,由于在区间上单调递增,则,所以,即为钝角三角形综上,为钝角三角形故选:A【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判断三角形的形状,属于中档题.6、D【解析】
把不等式,化简为不等式,即可求解,得到答案.【详解】由题意,不等式,可化为,即,解得或,所以不等式的解集为.故选:D.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解,其中解答中熟记分式不等式的解法,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7、B【解析】
由两角差的正切得tan,化sin2α为tan的齐次式求解【详解】tan()=2,则则sin2α=故选:B【点睛】本题考查两角差的正切公式,考查二倍角公式及齐次式求值,意在考查公式的灵活运用,是基础题8、D【解析】
由三角函数图像可得,,再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解:由函数的部分图象可得,,即,则,又函数图像过点,则,即,又,即,即,则对于选项A,显然错误;对于选项B,函数的图像关于直线对称,即B错误;对于选项C,函数的图像关于点对称,即C错误;对于选项D,函数的增区间为,函数的增区间为,又,,即D正确,故选:D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式,重点考查了三角函数图像的性质,属中档题.9、D【解析】试题分析:A中两事件不是互斥事件;B中不是互斥事件;C中两事件既是互斥事件又是对立事件;D中两事件是互斥但不对立事件考点:互斥事件与对立事件10、B【解析】
把函数化简后再判断.【详解】,由正切函数的性质知,A、C、D都错误,只有B正确.【点睛】本题考查二倍角公式和正切函数的性质.三角函数的性质问题,一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式,然后结合相应的三角函数得出结论.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、3【解析】
直接根据任意角三角函数的定义求解,再利用两角和的正切展开代入求解即可【详解】由任意角三角函数的定义可得:.则故答案为3【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算,熟记公式准确计算是关键,属于基础题.12、【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况,分别计算得到答案.【详解】抛物线的焦点F为,当斜率不存在时,易知,故;当斜率存在时,设,故,即,故,.综上所述:.故答案为:.【点睛】本题考查了抛物线中线段长度问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.13、16【解析】
利用公式直接计算即可.【详解】扇形的面积.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积,注意扇形的面积公式有两个:,其中为扇形的半径,为圆心角的弧度数,为扇形的弧长,可根据题设条件合理选择一个,本题属于基础题.14、或【解析】
利用一元二次函数的图象或转化为一元一次不等式组解一元二次不等式.【详解】由,或,所以或,不等式的解集为或.【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查计算能力,属于基本题.15、【解析】
根据三角函数图象依次求得的值.【详解】由图象可知,,所以,故,将点代入上式得,因为,所以.故.故答案为:【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式,属于基础题.16、【解析】
假设正方体棱长,根据//,得到异面直线与所成角,计算,可得结果.【详解】假设正方体棱长为1,因为//,所以异面直线与所成角即与所成角则角为如图,所以故答案为:【点睛】本题考查异面直线所成的角,属基础题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)5≤f(-2)≤10;(2)[-2,0).【解析】
(1)用和表示,再根据不等式的性质求得.(2)对进行参变分离,根据和求得.【详解】解(1)方法一⇒∵f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤f(-2)≤10.方法二设f(-2)=mf(-1)+nf(1),即4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b,比较两边系数:⇒∴f(-2)=3f(-1)+f(1),下同方法一.(2)当x∈[0,1]时,-1≤f(x)≤1,即-1≤ax2+x≤1,即当x∈[0,1]时,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0恒成立;当x=0时,显然,ax2+x+1≥0且ax2+x-1≤0均成立;当x∈(0,1]时,若ax2+x+1≥0恒成立,则a≥--=-(+)2+,而-(+)2+在x∈(0,1]上的最大值为-2,∴a≥-2;当x∈(0,1]时,ax2+x-1≤0恒成立,则a≤-=(-)2-,而(-)2-在x∈(0,1]上的最小值为0,∴a≤0,∴-2≤a≤0,而a≠0,因此所求a的取值范围为[-2,0).【点睛】本题考查不等式的性质和参变分离的恒成立问题,属于难度题.18、(1);(2)460元.【解析】
(1)根据表中的数据,求得最高气温位于区间和最高气温低于20的天数,利用古典概型的概率计算公式,即可求得相应的概率;(2)分别求出温度不低于、温度在,以及温度低于时的利润及相应的概率,即可求解这一天销售这种酸奶的平均利润,得到答案.【详解】(1)根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,如果最高气温位于区间,需求量为300瓶,如果最高气温低于20,需求量为200瓶,得到最高气温位于区间和最高气温低于20的天数为,所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率.(2)当温度大于等于时,需求量为500瓶,利润为:元,当温度在时,需求量为300瓶,利润为:元,当温度低于时,需求量为200瓶,利润为:元,平均利润为【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及概率的实际应用,其中解答中认真审题,熟练应用古典概型及其概率的计算公式,以及平均利润的计算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.19、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据等腰三角形的性质,证得,由面面垂直的性质定理,证得平面,进而证得平面平面.(2)根据线面平行的性质定理,证得,平行线分线段成比例,由此求得的值.【详解】(1),为的中点,所以.又因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)∵平面,面,面面∴,∴.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理,考查线面平行的性质定理,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)由余弦定理求出BC,由此能求出△ABC的面积.(2)设∠BAC=θ,AC=x,由正弦定理得从而,在中,由正弦定理得,建立关于θ的方程,由此利用正弦定理能求出sin∠CAD.再利用余弦定理可得结果.【详解】(1)因为,,,所以,即,所以.所以.(2)设,,则,在中,由正弦定理得:,所以;在中,,所以.即,化简得:,所以,所以,,所以在中,.即,解得或(舍).【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用,考查了引入角的技巧方法,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.2
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