上海市上海中学2025届数学高一下期末考试试题含解析

上海市上海中学2025届数学高一下期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．的内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．B．C．D．2．已知，，则的值域为（）A． B．C． D．3．两圆和的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则()A． B． C． D．5．在中，，，则的最大值为A． B． C． D．6．过两点，的直线的倾斜角为，则实数=（）A．-1 B．1C． D．7．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)9．若，且，则的值为A． B． C． D．10．在直角梯形中，，，，，，则梯形绕着旋转而成的几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7从散点图分析，与线性相关，且，则______．12．已知，若数列满足，，则等于________13．在△中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则________14．已知向量，则与的夹角是_________.15．若，且，则是第_______象限角.16．函数的单调递减区间是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，且，求（用含、、的形式表示）.18．已知向量，其中．函数的图象过点，点与其相邻的最高点的距离为1．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）计算的值；（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间[0，3]上的零点个数．19．已知函数为奇函数.（1）求实数的值并证明函数的单调性；（2）解关于不等式:.20．在等差数列中，，，等比数列中，，．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．21．如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，求证：（1）平面ABC；（2）平面EDB.（3）求几何体的体积.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除.【详解】A.,由所以不存在这样的三角形.B.,由且所以只有一个角BC.中，同理也只有一个三角形.D.中此时，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形.所以选择D【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，记得一定要去判断是否会出现两个角.2、C【解析】

根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入即可求得所有函数值.【详解】由题意得，最小正周期：；；；；；且值域为：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值.3、B【解析】

由圆的方程可得两圆圆心坐标和半径；根据圆心距和半径之间的关系，即可判断出两圆的位置关系.【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为：和；半径分别为：，则圆心距：两圆位置关系为：相交本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定；关键是明确两圆位置关系的判定是根据圆心距与两圆半径之间的长度关系确定.4、A【解析】

先由a、b、c成等比数列，得到，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.【详解】解：a、b、c成等比数列，所以，​所以，由余弦定理可知，又，所以.故选A．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.5、A【解析】

利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．【详解】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选A．【点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．6、A【解析】

根据两点的斜率公式及倾斜角和斜率关系,即可求得的值.【详解】过两点,的直线斜率为由斜率与倾斜角关系可知即解得故选:A【点睛】本题考查了两点间的斜率公式,直线的斜率与倾斜角关系,属于基础题.7、B【解析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【点睛】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.8、A【解析】

，，因为单调递减，所以，所以，且，所以只需，，且，所以，故选A．9、A【解析】

利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【详解】解：，且，，则，故选A．【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．10、A【解析】

易得梯形绕着旋转而成的几何体为圆台,再根据圆台的体积公式求解即可.【详解】易得梯形绕着旋转而成的几何体为圆台,圆台的高,上底面圆半径,下底面圆半径.故该圆台的体积故选：A【点睛】本题主要考查了旋转体中圆台的体积公式,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据数据表求解出，代入回归直线，求得的值.【详解】根据表中数据得：，又由回归方程知回归方程的斜率为截距本题正确结果：【点睛】本题考查利用回归直线求实际数据，关键在于明确回归直线恒过，从而可构造出关于的方程.12、【解析】

根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.【详解】，所以数列是以5为周期的数列，因为20能被5整除，所以.【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.13、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面积公式求解即可.【详解】由,因为,故,.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型.14、【解析】

利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【详解】由题知，，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.15、三【解析】

利用二倍角公式计算出的值，结合判断出角所在的象限.【详解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案为三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.16、【解析】

求出函数的定义域，结合复合函数求单调性的方法求解即可.【详解】由，解得令，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增函数在定义域内单调递增函数的单调递减区间是故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

由任意角的三角函数定义求得，再由诱导公式及同角的三角函数基本关系式求得，再由两角差的正弦求.【详解】由题意，，，又，所以，，则.【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数定义，同角三角函数的关系，两角和差的正弦，属于中档题.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）2028；（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f（x），由题意求得ω，再由函数f（x）的图象过点B（2，2）列式求得．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，可得f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．得到f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．进一步可得结论；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵（，cos2（ωx+φ）），（，），∴f（x）cos2（ωx+）＝2﹣cos2（ωx+）），∴f（x）max＝2，则点B（2，2）为函数f（x）的图象的一个最高点．∵点B与其相邻的最高点的距离为2，∴，得ω．∵函数f（x）的图象过点B（2，2），∴，即sin2φ＝2．∵0＜，∴．∴f（x）＝2﹣cos2（）＝2+sin，由，得，．的单调递减区间是，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+sin，∴f（x）是周期为2的周期函数，且f（2）＝2，f（2）＝2，f（3）＝0，f（2）＝2．∴f（2）+f（2）+f（3）+f（2）＝2．而2027＝2×502+2，∴f（2）+f（2）+…+f（2027）＝2×502+2＝2028；（Ⅲ）g（x）＝f（x）﹣m﹣2，函数g（x）在[0，3]上的零点个数，即为函数y＝sin的图象与直线y＝m在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m＞2或m＜﹣2时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣2≤m＜0或m＝2时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m＜2时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m＞2或m＜﹣2时，函数g（x）在[0，3]上无零点；②当﹣2≤m＜0或m＝2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点；③当0≤m＜2时，函数g（x）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．19、（1）2，证明见解析（2）【解析】

（1）由函数为奇函数，得，化简得，所以，.再转化函数为，由定义法证明单调性.（2）将可化为，构造函数，再由在上是单调递增函数求解.【详解】（1）根据题意，因为函数为奇函数，所以，即，即，即，化简得，所以.所以，证明：任取且，则因为，所以，，，，所以∴，所以在上单调递增；（2）可化为，设函数，由(1)可知，在上也是单调递增，所以，即，解得.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20、（1），（2）【解析】

（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.

(2)由用错位相减法求和.【详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.由，有，解得：所以又设的公比为，由，，得所以.(2)…………………①……………②由①－②得所以【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.21、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）如图：证明得到答案.（2）证明得到答案.（3）几何体转化为，利用体积公式得到答案.【详解】（1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M，∴FM∥EA，FMEA＝1∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝FM∴四边