2025届山西省浑源县第五中学高一数学第二学期期末统考试题含解析

2025届山西省浑源县第五中学高一数学第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或2．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．4 C． D．3．对数列,“对于任意成立”是“其前n项和数列为递增数列”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件4．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等5．中，角的对边分别为，且，则角（）A． B． C． D．6．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有()A．30辆 B．1700辆 C．170辆 D．300辆8．已知，则三个数、、由小到大的顺序是（）A． B．C． D．9．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A． B． C． D．10．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为()A． B． C．36 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，则的最小值为______．12．数列是等比数列，，，则的值是________．13．已知，且，则的值是_______.14．已知中，，且，则面积的最大值为__________.15．在中，角，，所对的边分别为，，，已知,,，则______．16．已知x，y＝R+，且满足x2y6，若xy的最大值与最小值分别为M和m，M+m＝_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状.18．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=4，点E为线段PA的中点.（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求三棱锥E-BCD的体积.19．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.（1）若，求AM的长度；（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范围.20．已知函数，.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.21．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.【详解】因为，所以，即，即，又（当且仅当时等号成立）所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.2、B【解析】

依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为,又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，,,即，，故选B．【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键．3、A【解析】

根据递增数列的性质和充分必要条件判断即可【详解】对于任意成立可以推出其前n项和数列为递增数列，但反过来不成立如当时其，此时为递增数列但所以“对于任意成立”是“其前n项和数列为递增数列”的充分非必要条件故选：A【点睛】要说明一个命题不成立，只需举出一个反例即可.4、C【解析】

由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．【详解】29；30，∴∴A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；排除可得C选项正确，故选C．【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.5、B【解析】

根据题意结合正弦定理，由题，可得三角形为等边三角形，即可得解.【详解】由题：即，中，由正弦定理可得：，即，两边同时平方：，由题，所以，即，所以，即为等边三角形，所以.故选：B【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化，根据边的关系判断三角形的形状，求出三角形的内角.6、B【解析】

试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．考点：线性规划问题．7、B【解析】

由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为0.03+0.035+0.02×10=0.85∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有2000×0.85=1700（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题.直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.8、C【解析】

比较三个数、、与的大小关系，再利用指数函数的单调性可得出、的大小，可得出这三个数的大小关系.【详解】，，，，且，函数为减函数，所以，，即，，因此，，故选C.【点睛】本题考查指数幂的大小关系，常用的方法有如下几种：（1）底数相同，指数不同，利用同底数的指数函数的单调性来比较大小；（2）指数相同，底数不同，利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；（3）底数和指数都不相同时，可以利用中间值法来比较大小.9、B【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.10、B【解析】

由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，∴由茎叶图得：得x＝4，∴5个分数的方差为：S2故选B【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.12、【解析】

由题得计算得解.【详解】由题得,所以.因为等比数列同号，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13、【解析】

计算出的值，然后利用诱导公式可求得的值.【详解】，，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】

先利用正弦定理求出c=2,分析得到当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，利用余弦定理求出，最后求面积的最大值.【详解】由可得，由正弦定理，得，故，当点在的垂直平分线上时，边上的高最大，的面积最大，此时.由余弦定理知，，即，故面积的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.15、30°【解析】

直接利用正弦定理得到或，再利用大角对大边排除一个答案.【详解】即或，故，故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，没有利用大角对大边排除一个答案是容易发生的错误.16、【解析】

设，则，可得，然后利用基本不等式得到关于的一元二次方程解方程可得的最大值和最小值，进而得到结论.【详解】∵x，y＝R+，设，则，∴∴12t＝（2t+2）x+（4t+1）y，∴18t≥（t+1）（4t+1）＝4t2+5t+1，∴4t2﹣13t+1≤0，∴，∵xy的最大值与最小值分别为M和m，∴M，m，∴M+m.【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和运算推理能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）60∘【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根据正弦定理化简已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化简后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A为60°，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=3中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围，求出这个角的范围，利用特殊角的三角函数值求出B为60°，可得出三角形ABC三个角相等，都为60°，则三角形ABC为等边三角形．【详解】(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2+c(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3，∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，B＝60°，∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形.【点睛】此题考查了三角形形状的判断，正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等边三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18、（1）见解析（2）16【解析】

（1）证明EO∥PC得到PC∥平面BDE.（2）先证明EF就是三棱锥E-BCD的高，再利用体积公式得到三棱锥E-BCD的体积.【详解】（1）证明：连结AC交BD于O，连结EO.∵四边形ABCD是正方形，在ΔPAC中，O为AC中点，又∵E为PA中点∴EO∥PC.又∵PC⊄平面BDE，EO⊂平面BDE.∴PC∥平面BDE.（2）解：取AD中点F，连结EF.则EF∥PD且EF=1∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF就是三棱锥E-BCD的高.在正方形ABCD中，SΔBCD∴V三棱锥【点睛】本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19、（1）；（2），当时，；（3）.【解析】

（1），，，由即可得解；（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.【详解】（1）由题意可知:，即，，所以；（2），，，，，，，时，取得最大值1，；（3），由题意可知，令，.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.20、（1），；（2）.【解析】

（1）首先把化成的型式，再根据三