人教版中考模拟测试《数学试题》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩________

一.选择题

1.-2020的绝对值是（）

1

A.-2020B.2020D.

20202020

2.已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3,则用科学记数法表示该数为（）

A.1.239xl0-3g/cm:,B.1,239x10-2g/cm3

C.0.1239xl0g/cm3D.12.39x10'g/cm3

3.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

4.如图所示的工件的主视图是1】

5.下列各运算中，计算正确的是（）

A.2ae3a=6aB.(3a2)3=27a6

C.a4-?a2=2aD.(a+b)2=a2+ab+b2

6.关于方程N-40x+9=O的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个相等实根B.有两个不相等实数根

C.没有实数根D.有一个实数根

7.如图，在△4BC中，ZACB=90°,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于,4B）为半径作弧,

2

两弧相交于点M和点N,作直线交AB于点£>,交8c于点E.若AC=3,AB=5,则。E等于（)

c3

1015

A.2B.—D.

4T

8.如图，抛物线y=ox2+bx+c（a翔）与x轴交于点A（1,0）,对称轴为直线x=-l,当y>0时，x的取值

范围是（）

C.x<\D.-3<x<\

9.方程x?+3x—1=0的根可视为函数丁=x+3的图象与函数y=’的图象交点的横坐标，则方程

X

x3+2x-l=0的实根xo所在的范围是（）

c1I1111

A.0<x（）<—B.—<x0<—C-<xo<2D.-<x<l

°44°30

10.如图①,在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B~C—D-B运动.设点P经过的路程为x,AABP

的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）

二.填空题

11.^-4+(--)-2=

2

12.若抛物线丫=产-6犬+机与x轴没有交点，则m的取值范围是一

13.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机

摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为

14.如图，在nABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长

7T

BA与。。相交于点F.若成的长为,，则图中阴影部分的面积为一

15.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2,AD=2，^,对角线AC与BD交于点O,EAD边动点，作直

线OE交BC于点G,将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D，处，点C落在点C处，ED，交AC于

F,若4AEF是直角三角形，则AE=.

三.解答题

16.先化简，再求值："一痴+“（二-_n—］）,其中m=6.

m-1m-\

17.某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩

进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中

所给信息解答下列问题:

（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有人;

⑵将条形统计图补充完整；

⑶在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是—，等级C对应的圆心角的度数为一。；

(4)若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有一人.

18.如图直线yi=-x+4,y2=，x+b都与双曲线y="交于点A(l,3),这两条直线分别与x轴交于B,C

4x

两点.

(1)求k值；

(2)直接写出当x>0时，不等式3x+b>K的解集;

4x

(3)若点P在x轴上，连接AP,且AP把aABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是

19.如图，AB为。。的直径，尸为弦AC的中点，连接。尸并延长交弧AC于点。，过点。作。。的切线，交

BA的延长线于点E.

(1)求证：AC//DE；

(2)连接40、CD、OC.填空

①当/0AC的度数为时，四边形A0CD为菱形；

②当OA=A£=2时，四边形ACQE的面积为.

20.如图，小东在楼顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42°，在楼AB的底部B处测

得旗杆CD的顶端C的仰角为30°，已知旗杆CD的高度为12优，根据测得的数据，计算楼A3的高度.(结

果保留整数，参考数据：sin42°»0.7.cos42°»0.7.tan42°«0.9.V3»1.7)

DB

21.每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、

乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型

设备比购买3台乙型设备少花6万元.

（1）求甲、乙两种型号设备的价格；

（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产

量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

22.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA,连接CE并延长，交AB于点F.

（1）尝试探究：如图1,当/BAC=90。，ZB=30°,DE=EA时，BF,BA之间的数量关系是；

（2）类比延伸：如图2,当AABC为锐角三角形，DE=EA时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请

给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展迁移：如图3,当aABC为锐角三角形，DE=nEA时，请直接写出BF,BA之间的数量关系.

23.如图抛物线>=依2+法+6开口向下与x轴交于点A（-6,0）和点8（2,0）,与>轴交于点C，点P是

抛物线上一个动点（不与点C重合）

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点尸是抛物线上一个动点，若VPC4的面积为12,求点P的坐标；

(3)如图2,抛物线的顶点为。，在抛物线上是否存在点E，使得NE4B=2NZMC,若存在请直接写出点E

的坐标；若不存在请说明理由.

答案与解析

一.选择题

1.-2020的绝对值是（）

11

A.-2020B.2020C.----------D.-------

20202020

【答案】B

【解析】

【分析】

根据绝对值的定义直接进行计算即可.

【详解】解:根据绝对值的概念可知：I-20201=2020,

故选：B.

【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的概念，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数

的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

2.已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3,则用科学记数法表示该数为（）

A.1.239xW3g/cm3B.1,239x10'2g/cm3

C.0.1239xl0-2g/cm3D.12.39xl0-4g/cm3

【答案】A

【解析】

试题分析:0.001239=1.239x10-3.故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

3.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确;

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

故选：A.

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4.如图所示的工件的主视图是1】

B.C.D.

【解析】

从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形.故选B.

5.下列各运算中，计算正确的是（）

A.2a・3a=6aB.(3a2)3=27a6

C.ala?=2aD.(a+b)2—a2+ab+b2

【答案】B

【解析】

试题解析:A、2a-3a=6a2,故此选项错误;

B、（3〃2）3=27小，正确;

C、/打2=*故此选项错误;

D、(.a+b)^cfi+lab+b1,故此选项错误;

故选B.

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幕的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知

识，正确化简各式是解题关键.

6.关于方程N-4j5x+9=0的根的情况，下列说法正确的是（）

A.有两个相等实根B.有两个不相等实数根

C.没有实数根D.有一个实数根

【答案】C

【解析】

【分析】

找出方程a,b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断.

【详解】这里a=l,b=-4j^,c=9,

,.,△=b2-4ac=32-36=-4<0,

•♦•方程无实数根.

故选：C.

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）A,。。方程有两个不相等的实数根；

（2）△=（）0方程有两个相等的实数根；

（3）AVOQ方程没有实数根.

7.如图，在△ABC中，ZACB=90°,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于1AB）为半径作弧，

2

两弧相交于点M和点N,作直线交AB于点Z）,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则OE等于（）

ix

101515

A.2B.—C.—D.—

382

【答案】C

【解析】

根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE,根据勾股定理求出AE,再根据勾股定理求出

DE即可.

解：在RtABC中，由勾股定理得：BC=V52-32=4>

连接AE,

从作法可知：DE是AB的垂直评分线,

根据性质AE=BE,

在RtZkACE中,由勾股定理得：AC2+CE2=AE2,

即32+(4-AE)2=AE2,

25

解得：AE=—,

8

AD=-AB=-,由勾股定理得：DE2+（?）2=（竺）2,

在RtZXADE中,

2228

解得：DE二—.

8

故选C.

“点睛”：本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的

关键.

8.如图，抛物线>=公2+公+'（存0）与x轴交于点4（1,0）,对称轴为直线x=-l,当y>0时，x的取值

范围是（）

B.-3<x<-1C.x<]D.-3<x<l

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标,即可得到答案.

【详解】解：；抛物线y="x2+6x+c与X轴交于点A（1,0）,对称轴为直线x=-1,

.•.抛物线与x轴的另一交点坐标是（-3,0）,

...当y>0时，x的取值范围是-3<x<l.

所以答案为：D.

【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点

坐标.

9.方程x?+3x—1=0的根可视为函数丁=%+3的图象与函数y=，的图象交点的横坐标，则方程

X

x3+2x-l=0的实根xo所在的范围是（）

111111

A.0<X（）V—B.一<Xn<—C.—VX°V—D.—<Xn<l

0440330220

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据题意推断方程x3+2x-l=0的实根是函数y=x2+2与y的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x

x

的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个

点即可判定推断方程x3+2x-l=O的实根x所在范围.

【详解】解：依题意得方程x3+2x—1=0的实根是函数丫=*2+2与丫=’的图象交点的横坐标，这两个

X

函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限.

1,11

当*=一时，y=x2+2=2—,y=—=4,此时抛物线的图象在反比例函数下方;

416x

11

当*=一时，y=x92+2=2-y=-=3,此时抛物线的图象在反比例函数下方;

39X

1,1

当x=s时，y=x2+2=2-y=-=2,此时抛物线的图象在反比例函数上方;

X

1-

当x=l时，y=x0?+2=3,y=—=1,此时抛物线的图象在反比例函数上方.

X

方程x'+2x—1=0的实根xo所在范围为："

故选C.

【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关

键点“，还要善于分析各图象的变化趋势.

10.如图①,在菱形ABCD中，动点P从点B出发,沿折线B-C-D-B运动.设点P经过的路程为x,AABP

的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）

C.5D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AC交BD于0,根据图②求出菱形的边长为4,对角线BD为6,根据菱形的对角线互相垂直平分求

出B0,再利用勾股定理列式求出C0,然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出

菱形的面积，b为点P在CD上时4ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解.

【详解】解：如图，连接AC交BD于0,

由图②可知，BC=CD=4,BD=14-8=6,

11

.\BO=-BD=-X6=3,

22

在Rt^BOC中，C0=1BC?-BO?="2-32="

AC=2CO=2V7，

所以，菱形的面积=；AOBD=；X2J7X6=6，7，

当点P在CD上运动时，4ABP的面积不变，为b,

所以，b=yX6V7=377.

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等

于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线BD的长是解题的关键.

二.填空题

II.&_4+(-3=

2

【答案】2ypi

【解析】

【分析】

根据算术平方根的定义、负整数指数基的定义计算即可.

【详解】原式=28一4+4=2夜.

故答案为2夜.

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和负整数指数耗的定义.

12.若抛物线)，=犬-6苫+〃1与》轴没有交点，则〃，的取值范围是—

【答案】加>9.

【解析】

解：•.•抛物线y=/-6.丫+〃?与x轴没有交点，•,•△=按-4acV0,(-6)2-4xlx,〃<0,解得机>9,...〃?

的取值范围是〃?>9.故答案为，">9.

13.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机

摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为.

【答案】-

4

【解析】

【分析】

先画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解.

红

【详解】

黄

白白

黄红红红白白

白黄白红红红

解：画树状图如图：

91

共有36种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为9,所以两次都摸到红球的概率为一=一.故

364

答案为一.

4

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出

符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出概率即可.

14.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长

7T

BA与。。相交于点F.若成的长为,，则图中阴影部分的面积为

【分析】

由切线的性质和平行四边形的性质得到BA±AC,ZACB=ZB=45°,ZDAC=ZACB=45°=ZFAE,根据

弧长公式求出弧长，得到半径，即可求出结果.

【详解】如图，连接AC,CD与。A相切，

ACD1AC,

在平行四边形ABCD中，：AB=DC,AB〃CD〃BC,

ABAIAC,VAB=AC,

，ZACB=ZB=45°,

：AD〃BC,

；./FAE=/B=45。，

，NDAC=NACB=45°=ZFAE,

EF=EC

.的长度为E二,

解得R=2,

OYc10245^-x22_71

o阴='AACD-\扇形=—xZ------=Z

23602

【点睛】此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及

扇形面积的计算.

15.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2,AD=26,对角线AC与BD交于点O,E是AD边动点，作直

线0E交BC于点G,将四边形DEGC沿直线EG折叠，点D落在点D，处，点C落在点。处，ED，交AC于

F,若4AEF是直角三角形，则AE=

【答案】空或上-1

3

【解析】

【分析】

首先证明DAOB是等边三角形，分两种情形分别求解即可;

【详解】解：在矩形ABCD中，

ZBAD=9Q°,AD=28AB=2,

AIJL

tanABAD=—=V3

AB

：.ZABD=60°,

O^OB,

/.DAOB是等边三角形，

①当EFJ_ACI1寸，易证点。'与3重合,

ZAEF=60°

：.ZABE^3Q°

此时AE=AB・S〃30°=拽.

3

：.AE^BM

又：OA=OC,ZAOE=Z.COG,ZDAO=ZOCG

:QAOE^]COG

AE=BM=CG=-(BC-AB)=73-1

2

综上所述，满足条件的AE的值为2叵或6-1

3

故答案是：空或6—1.

3

【点睛】本题主要结合矩形的翻折，考查三角函数和全等，充分掌握矩形的性质以及口4石尸是直角三角形

的可能性，并且进行准确的分类讨论是解决本题的关键.

三.解答题

m2-4m+43八廿上，

16.先化简，再求值:------------r(z-------m-1),其中m=6.

m-1m-\

【答案］2*

2+m2

【解析】

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把”

的值代入计算即可求出值.

【详解】解：原式+

m—\m-1

(m-2)2m—l

------------------------------------

m-\(2+m)(2-m)

_2-/n

2+m

2-61

当加=6时，原式=----=—.

2+62

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，准确的对分式各部分进行因式分解，以及括号里面的进行通分是

求解本题的关键.

17.某校九年级（1）班所有学生参加2010年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩

进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中

所给信息解答下列问题：

⑴九年级（1）班参加体育测试的学生有人；

⑵将条形统计图补充完整；

⑶在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是—，等级C对应的圆心角的度数为一°；

（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有一人.

【答案】（1）50；（2）画图见解析；（3）40%；72；（4）595.

【解析】

【分析】

(1)由A等人数和比例，根据总数=某等人数十所占的比例计算；

(2)根据“总数=某等人数+所占的比例”计算出D等的人数，总数-其它等的人数=(2等的人数；

(3)由总数=某等人数+所占的比例计算出B等的比例，由总比例为1计算出C等的比例，对应的圆心角

=360°x比例;

(4)用样本估计总体.

【详解】(1)总人数=A等人数+A等的比例=15+30%=50人；

(2)D等的人数=总人数xD等比例=50xl0%=5人，

C等人数=50-20-15-5=10人，

如图：

(3)B等的比例=20-50=40%,

C等的比例=1-40%-10%-30%=20%,

C等的圆心角=360°x20%=72°；

(4)估计达到A级和B级的学生数=(A等人数+B等人数)-50x850=(15+20)+50x850=595人.

【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

3k

18.如图直线yi=-x+4,y2=—x+b都与双曲线y=一交于点A(l,3),这两条直线分别与x轴交于B,C

4x

两点.

(1)求k的值；

3

(2)直接写出当x>0时，不等式士x+b>k—的解集；

4x

(3)若点P在x轴上，连接AP,且AP把AABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是

25

【答案】(1)3；(2)x>l；(3)0)或(一，0)

33

【解析】

【分析】

(1)将点A的坐标代入y=~,即可求解；

x

(2)观察图象即可求解；

(3)AP把口48。的面积分成1:2两部分，则点P把8c分成1:2两部分，即可求解.

【详解】解：⑴将点A的坐标代入"上得：仁芍=1x3=3；

X

3k

(2)从图象看，xX)时，不等式一x+Z?>—的解集为：x>l；

4x

339

(3)将点A的坐标代入丫2=-x+b得，3——卜b,解得：b=一,

444

39

+令%=。，则-3,即点C(—3,0),

y=-x+4,令y=0,则尸4,即点8(4,0),则3c=7,

AP把□A3C的面积分成1：2两部分则点P把BC分成1：2两部分

1?714

即尸3=—3。或PB=-3C,即3尸二」或一，

3333

714

设点P的横坐标为1，则4—x二一或一

33

52

解得：％=一或工=—

33

故点P的坐标为：1触)或停

故答案为：(一："［或1

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用，熟练掌握反比例函数与一次函数的不等关系以

及反比例函数图象上的坐标是解决本题的关键.

19.如图，AB为。。的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点。，过点。作。。的切线，交

BA的延长线于点E.

(1)求证：AC//DE；

(2)连接A。、CD、0C.填空

①当/OAC的度数为时，四边形AOCZ)为菱形；

②当。A=AE=2时，四边形ACDE的面积为.

【答案】(1)证明见解析；(2)①30°；②26.

【解析】

【分析】

(1)由垂径定理，切线的性质可得FO_LAC,OD1DE,可得AC〃DE；

(2)①连接CD,AD,OC,由题意可证AADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF,AF=FC,

J1AC1OD,可证四边形AOCD为菱形；

A0OFAF21

②由题意可证△AFOsaODE,可得一■=——=--=----=一，g|jOD=2OF,DE=2AF=AC,可证四

OEODDE2+22

边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积.

【详解】(1)：F为弦AC的中点，

：.AF=CF,且。尸过圆心。

：.FO±AC,

是。。切线

：.ODLDE

：.DE//AC

(2)①当N。4c=30。时，四边形40CZ)是菱形,

理由如下：如图，连接CD,AD,OC,

D

\'ZOAC=30°,0F1AC

：./4OF=60。

\'AO=DO,ZAOF=60°

：.△AOO是等边三角形

y.-：AF±DO

:.DF=FO,jaAF^CF,

，四边形AOCD是平行四边形

又•；AO=CO

，四边形AOCO是菱形

②如图，连接C£),

•：AC//DE

：.XAFOsXEDO

.AOOFAF2_j_

"'~OE~~OD~~DE~2+2~2

：.OD=2OF,DE=2AF

•；AC=2AF

.,.£>E=AC,且。E〃AC

...四边形ACDE是平行四边形

'：OA=AE=OD=2

；.OF=DF=l,OE=4

•••在RtAODE中，DE=yj0E2-0D2=2百

；・S四边形AC0E=力Ex。尸=2百x1=2百

故答案为26.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形

的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

20.如图，小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CO的顶端C的俯角为42。，在楼AB的底部B处测

得旗杆8的顶端C的仰角为30。，己知旗杆。的高度为12皿，根据测得的数据，计算楼A3的高度.（结

果保留整数,参考数据:sin42°«0,7.cos42°«0.7.tan42°«0.9,百。1.7）

门

DB

【答案】楼AB的高度约为30〃?.

【解析】

【分析】

首先分析图形：根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形AAEC、ACBD,通过解这两个直

角三角形求得AE、DC的长度，进而可解即可求出答案.

【详解】•..在肋DCBD中，ZCBD=30°.CD=12m,

：.DB==12上,

tan30"

过点C作CELAB于点E,

DB

则CE=£>3=12Gm.

•••在A处测得旗杆CD的顶端C的俯角为42。，

...NACE=42°，

：,AE=CE-tan42c«1273x0.9«18.4（m）

：.AB=BE+AE=CD+AE=\2+\SA^30（m）.

答：楼AB的高度约为30%

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题.解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和

矩形的问题.

21.每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、

乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型

设备比购买3台乙型设备少花6万元.

（1）求甲、乙两种型号设备的价格；

（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产

量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.

【答案】（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；（2）有6种购买方案；（3）最省钱

的购买方案为选购甲型设备4台，乙型设备6台

【解析】

【分析】

（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为X万元和V万元，根据购买3台甲型设备比购买2台乙型设

备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元，列出方程组，然后求解即可：

（2）设购买甲型设备加台，乙型设备（10-巾）台，根据公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超

过110万元，列出不等式，然后求解即可得出购买方案；

（3）根据甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月和总产量不低于2040吨，列出不等式,

求出心的取值范围，再根据每台的钱数，即可得出最省钱的购买方案.

【详解】解：（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为％万元和y万元

3x-2y=16

由题意得：〈

2x+6=3y

x=12

解得：＜

y=10

则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元.

（2）设购买甲型设备加台，乙型设备（1。-相）台,

则：12m+10(10-m)<110,

m<5,

Vm取非负整数

m=0,1,2,3,4,5,

.•.有6种购买方案.

(3)由题意：240m+180(10-m)>2040

/n>4

/,加为4或5.

当机=4时，购买资金为：12x4+10x6=108（万元），

当加=5时，购买资金为：12x5+10x5=110（万元），

则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台.

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意准确的列出方程和不

等式是求解本题的关键.

22.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA,连接CE并延长，交AB于点F.

（1）尝试探究：如图1,当NBAC=90。，ZB=30°,DE=EA时，BF,BA之间的数量关系是；

（2）类比延伸：如图2,当aABC为锐角三角形，DE=EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请

给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展迁移：如图3,当aABC为锐角三角形，DE=nEA时，请直接写出BF,BA之间的数量关系.

【解析】

【分析】

（1）尝试探究：过点。作PCF,交AB于A7，可证口BDA/sQBCF,

〜BDBM1AEAF1一

\AFE(yrQAMD>可得——==—,==—，utBM=MF=AF>

BCBF2ADAM2

可得BF,BA之间的数量关系；

（2）类比延伸：过点。作。交A3于A/，可证口友》分用8（7，口AFEsQAWD，可得

»r）RM1AFAF1

叱="=±,23=二=+，可证5M=M^=A尸，可得BE,84之间的数量关系；

BCBF2ADAM2

（3）拓展迁移：过点。作DMPC77,交AB于M，由平行线分线段成比例可得BM=MF,FM=nAF,

可得AB=2nAF+AE,BF=2nAF,即可求BEBA之间的数量关系.

【详解】解：S）尝试探究

如图，过点。作。交A3于M

,/AD中线，AE=DE

：.BD=CD=-BC,AE=-AD

22

DMPCF,

：.UBDM^QBCF,QAFE^QAMD

.BDBMAE_AF_I

:.BF=BM,AM^2AF

：.BM=MF,AF=FM

/•BM=MF=AF

BF2

•*•—

AB3

(2)类比延伸：

结论仍然成立，

理由如下：

如图，过点。作ZWPCT,交A3于M

,/AD是中线，AE=DE

：.BD=CD=-BC,AE=-AD

22

•：DMPCF,

：.DBDM^QBCF,UAFE^L\AMD

.BDBM\AEAF1

"~BC~~BF~2，~AD~~AM~2

：.BF^2BM,AM^2AF

BM=MF,AF=FM

•••BM=MF=AF

,BF2

-=——

AB3

(3)拓展迁移

如图，过点。作DMPCb,交A3于M

VDMDFC,且比=8

.BDBM

"~DC~~FM

BM=MF

'：DMQCF,DE=nEA

.AEAFI

"'~DE~~FM~~n

：.FM=nAF

：.BM=MF=nAF

：.AB=2nAF+AFBF=2nAF

•BF2n

一罚—2"+l

【点睛】本题主要考查了相似三角形判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角

形是解决本题的关键.

23.如图抛物线y=o?+陵+6的开口向下与x轴交于点A(-6,0)和点3(2,0),与>轴交于点C,点P是

抛物线上一个动点(不与点C重合)

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点尸是抛物线上一个动点，若VPC4的面积为12,求点P的坐标；

(3)如图2,抛物线的顶点为。，在抛物线上是否存在点E，使得NE4B=2NZMC,若存在请直接写出点E

的坐标；若不存在请说明理由.

【答案】(1)y=-^x2-2x+6；(2)点P的坐标为(-2,8)或(-4,6)或"3-J万，-JI7-1)或

139757

(―3+JF7,JFFT)；(3)点E坐标为(一，--)或(一，----).

2828

【解析】

【分析】

(1)将点4~6,0)和点8(2,0)代入>=依2+法+6求出a,b即可；

11万

(2)如图作辅助线，根据SAPCA=5PGXAC=,X拳HPX6&=12求出HP=4,由直线AC表达式为y

=x+6可得直线m的表达式，然后求出直线m和抛物线的交点即可得到两个P点坐标，同理可得直线n的

表达式，进而得出另外两个P点坐标；

(3)首先证明NACD=90。，可得sin/DAC=YR,然后作辅助线构造三角形，求出sin2NDAC=

10

33

-=sin?E4B,进而可得lan/EA