新教材高中数学集合与常用逻辑术语集合的概念教学案新人教A版必修第一册

1.1集合的概念

(教师独具内容)

课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题,

能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.

教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与

集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).

教学难点：L对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.

【知识导学】

知识点一集合与元素的定义

元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element).

集合：把一些元素组成的里总他叫做集合(set)(简称为集).

表示：通常用大写拉丁字母/,B,G…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集

合中的元素.

知识点二集合中元素的三个特性

(1)确定性：

(2)互异性;

(3)无序性.

知识点三元素与集合的关系

(1)“属于"：如果a是集合4的元素，就说a属于集合4记作批ae4

(2)“不属于"：如果a不是集合力中的元素，就说a不属于集合儿记作里里.

知识点四几个常用数集的固定字母表示

知识点五集合的表示方法

集合常见的表示方法有：一自然语言、.列举法、因描述法.

(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.使用此方法时，只要叙述清楚即可，

如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”.再如全体实

数组成的集合，或实数集等.

(2)列举法：把集合的所有元素丝一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的

方法叫做列举法.

(3)描述法：一般地，设1是一个集合，我们把集合/中所有具有共同特征/(X)的元素x

所组成的集合表示为首P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.

知识点六集合的分类

(1)有限集；

(2)无限集.

【新知拓展】

1.元素和集合关系的判断

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即

可.此时应先明确集合是由哪些元素构成的.

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有

的特征即可.此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件.

2.集合的三个特性

(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的

“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.

(2)整体性：集合是一个整体，暗含''所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一

旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚

至一个集合也可以是某集合的一个元素.

3.使用列举法表示集合时需注意的几点

(D元素之间用“，”隔开；

(2)元素不重复，满足元素的互异性；

(3)元素无顺序，满足元素的无序性；

(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须

把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.

1.判一判(正确的打“，错误的打"X")

(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合.()

(2)已知力是一个确定的集合，a是任一元素，要么要么展4,二者必居其一且只

具其一.()

(3)对于数集/=｛1,2,x｝,若则x=0.()

(4)集合3y=V,xGR｝与集合｛s|s=/,tGR｝的元素完全相同.()

答案⑴V(2)J(3)X(4)V

2.做一做

(1)下列所给的对象能组成集合的是()

A.“金砖国家”成员国B.接近1的数

C.著名的科学家D.漂亮的鲜花

(2)用适当的符号(e,时填空:

00,0{0},0N,

-2N*,tZ,木—Q,

nR.

答案(1)A(2)庄GG庄庄庄G

题型一正确理解描述法中元素的“代表符号”

例1分析下列集合中的元素是什么？

4=3尸¥｝,6=｛ygf｝,「=｛（*,y）.

［解］三个集合都是用描述法表示的.对于集合4其中的元素是x,根据uy=xn,这

里的x并没有什么限制，即x可以是任意实数，即集合4是由所有实数组成的集合，即实数

集.对于集合6,其中的元素是片这里的x没有任何限制，即x可以是任意实数，但是通过

“y=f"，元素y有了限制：实数的平方，从而6中的元素是非负实数.对于集合G从元

素的代表符号“（x,力”可以看出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数x没有

限制，第二个数y受条件“y=x?”的限制，因此。中的元素是有序实数对，且数对的第一个

数取任意实数，第二个数是第一个数的平方（从几何角度讲，（x,y）就是坐标平面内的一个点,

从而C中的元素就是抛物线上的点）.

金版点睛

使用描述法表示集合时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如｛XGR|X>1｝不能写

成5>1｝；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被

说明的字母，如｛xdZ|x=2〃｝中加未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④所有描述的

内容都要写在花括号内，如“｛xCZ|x=2屈，/GN*”不符合要求，应将“RGN*”写进“｛｝”

中，即｛xGZ|x=2勿，勿GN*｝；⑤元素的取值（或变化）范围，从上下文的关系来看，若xGR是

明确的，则xCR可省略不写，如集合〃=｛xGR【x<10｝也可表示为〃=｛x|x〈10｝；⑥多层描述

时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如“｛xiK—1或x>l｝”等.

［跟踪训练1］试分析集合｛（x,y）|y=x+l｝的元素，并能从几何角度解释这个集合.

解集合中的元素是有序实数对，且第二个实数等于第一个实数加1.

从几何角度：该集合就是一次函数尸x+1的图象，即直线y=x+l.

题型二判断元素与集合的关系

例2已知集合力={x|才=H+〃•斓，m,〃WZ}.

（1）判断0,（1+V2）2,与力的关系；

（2）若汨，照£力，试探究ME,小+矛2与力的关系.

［解］⑴易知0=0+0X*,且0WZ,

所以0G4

因为（1+/+=3+2班,且3,2WZ,

所以（1+m）2G4

因为UF正茄%H+当

*巽，所叼/4

（2）因为汨，X2^Af所以可设矛1=如+镜〃1,汝=破+也小，且如，〃i,nh,ngZ,

所以X\X2=（砌+啦〃i）（德+$加=血血+镜（版〃i+加1加+2〃也=（0您+2〃i加+班（以刀1

+面〃2）.因为例/龙+2/?imeZ,nknx+nhn-z^Z,所以汨照£4

因为荀+及=（勿i+/）（m+〃2）,0+/%£Z,〃I+〃2£Z,所以M+X2£/.

金版点睛

该问题是判断所给的元素是否具有集合A中元素的特征，用自然语言理解为：所给元素

是否能写成“整数+整数的贬倍”的形式.可以看出，问题的实质是正确解读集合的表示方法

（描述法）.

［跟踪训练2］已知集合4=xezU—ez，试判断一2,2与{的关系.

解解法一：易知4={-3,0,1,2,4,5,6,9},

所以一2阵力,2w4

解法二：当x=-20寸，4=%Z,所以一2阵4

3—x5

6

当x=2时，xWZ且;;一=6SZ,所以2G/1.

3—x

题型三含参问题探究

例3集合/f=34f—8x+16=0},若集合力只有一个元素，试求实数4的值，并用列

举法表示集合A.

［解］①当衣=0时，原方程为16-8x=0,

：.x=2,此时/={2}.

②当20时，若集合/中只有一个元素，

则方程收-8*+16=0有两个相等实根.

即4=64—64%=0,即一=1,

从而小=及=4,

集合/={4}.

综上所述，实数％的值为。或1.当4=0时，/={2}；

当k=1时,A={4}.

金版点睛

对于含参问题，随着参数值的变化，问题的解发生变化，所以这类问题往往需要分类讨

论.通过分类，把复杂的问题简单化，从而蕴含着转化的数学思想.

［跟踪训练3］把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数4的取值范围

的集合.

解由题意可知方程在f—8x+16=0有两个不等的实根.

发0,

解得k<\且k于0.

/=64-644>0,

•••实数4的取值范围的集合为{用在<1且*#0}.

题型四集合中的新定义问题

例4已知集合力={1,2,4},则集合8={（x,y）\x^A,⑷中元素的个数为（）

A.3B.6

C.8D.9

［解析］根据已知条件，列表如下：

由上表可知，8中的元素有9个，故选D.

［答案］D

金版点睛

本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；

列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方

法通常配合图表（含树形图）使用.

［跟踪训练4］定义4*6={z|z=xy,xG/,y6脐，设4={1,2},B—{0,2},则集合4*8

中的所有元素之和为（）

A.0B.2

C.3D.6

答案D

解析根据已知条件，列表如下：

根据集合中元素的互异性，可由上表知4*6={0,2,4},故其中所有元素之和为0+2+4

=6,故选D.

1.下列所给的对象不能组成集合的是（）

A.我国古代的四大发明

B.二元一次方程”+尸1的解

C.某班年龄较小的同学

D.平面内到定点距离等于定长的点

答案C

解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性，故选C.

2.已知集合［含有三个元素2,4,6,且当aS4时，有6—则@为（）

A.2B.2或4

C.4D.0

答案B

解析集合力中含有三个元素2,4,6,且当aC4有6—当a=2G4时，6-a=4

...a=2；当a=464时，6—a=2W4,.'.a—4；