《弧、弦、圆心角》名师教案

1/124.1.3弧、弦、圆心角（张江萍）一、教学目标（一）学习目标1.探索圆的中心对称性2.了解圆心角的概念，探索并掌握在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等3.掌握圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题（二）学习重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．（三）学习难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1)旋转的三要素是旋转中心，旋转方向，旋转角度(2)中心对称的定义：如果把一个图形绕某个点旋转，它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称.2.预习自测（1）圆是图形，也是图形【知识点】圆的中心对称性与轴对称性【答案】轴对称中心对称【解题过程】圆既是轴对称图形又是中心对称图形【思路点拨】圆既是轴对称图形又是中心对称图形（2）圆的对称中心是．【知识点】圆的中心对称性【答案】圆心【解题过程】圆是中心对称图形，由于它绕着圆心旋转180°后和原图形重合，所以圆的对称中心是圆心【思路点拨】根据中心对称图形的定义找到圆的对称中心（3）如图，已知的半径相等，若，则，（填“”、“”或“=”）【知识点】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【答案】==【解题过程】,,【思路点播】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等(4)已知与半径相等，若，则，（填“”、“”或“=”）【知识点】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．【答案】=【解题过程】，,,≌，【思路点拨】在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，就联想到其他的量也相等（二）课堂设计1.知识回顾（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.问题探究探究一圆的中心对称性活动①以旧引新想一想：这些现象说明了什么？现象一：一块圆形的蛋糕，糕点师只要过圆心点在互相垂直的两个方向上切两刀，不管糕点师站在哪里，分成的四块一定是均等的.这个现象跟圆的哪个性质有关？学生抢答答案：现象一说明对折后能够完全重合，只要是过圆心的直线，分成的两部分均对称，说明圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线.【设计意图】复习回顾圆的轴对称性，为引发新知识铺垫现象二：机械式闹钟上钟时，每次只要转动发条上的钟钮时，看上去跟没转动以前是一个样的.这个现象跟圆的哪个性质有关？现象二说明钟钮左右两端转动后完全重合，而两端均在以轴心为圆心的圆上运动，说明圆是中心对称图形，对称中心是圆心.【设计意图】整合旧知识，探索圆的中心对称性活动②归纳概括想一想：由以上现象，概括圆的对称性结论：1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.探究二圆心角、弧、弦之间的关系★▲活动①大胆操作探究新知识1.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．【设计意图】大胆猜想，大胆操作，激发学生兴趣，探究新知识活动②集思广益证明新知根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．【设计意图】创设问题情境，集思广益，证明新知识活动③反思过程发现定理定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系，在同圆或者等圆中，圆心角，弧，弦有一个量相等，那么其他的量也对应相等【设计意图】反思过程，发现定理，重新认识，拓展创新探究三圆心角、弧、弦之间关系定理的应用活动①旧题新解例1.如图，的直径CD与弦AB交于点M，添加条件（写出一个即可），就可得到M是AB的中点.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】补入的条件是：或.【思路点拨】对开放性逆向思维的题目，首先应依题意抓住问题适合的依据定理，再由定理和题设补充条件.【答案】或.练习：如图，CD是的直径，AB是弦，于M，则可得出，等多个结论，请你按现有图形给出其他两个结论.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】另两个结论是：，.【思路点拨】对开放性思维的题目，首先应依题意抓住已知条件，再由定理和题设得到结论.【设计意图】复习垂径定理，同时利用新知识解决旧问题活动②集思广益求解角度例2.如图，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】∵∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．【思路点拨】由，有，可得△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．练习．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是∠BOD＝×180°＝120°【思路点拨】求圆心角度数，可先求出该圆心角度数所对弧的度数【答案】120°【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理解决圆中简单的角度问题活动③大胆探索证明线段相等与弧度相等例3.如图，AB，CD是的弦，M、N分别为AB、CD的中点且，求证：AB=CD.【知识点】垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】证明：为AB，CD中点，，。，，.连接OB、OD，则OB=OD，≌。，.【思路点拨】由中点想到垂径定理，由等角对等边定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件练习：如图，AB是⊙O的直径，P，Q是AB上两点，且AP=BQ，C、D是⊙O上两点，且，分别延长CP、DQ，交⊙O于M、N，求证：CP=DQ.【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理，全等三角形的判定定理【解答过程】连接AC，BD，CO，DO，∵，∴=BD，∠COA=∠DOB∵AP=BQ,≌,∴CP=DQ.【思路点拨】由圆心角、弧、弦之间关系定理可以得到线段与角度的相等关系，可以为证明全等三角形创造条件.【设计意图】利用圆心角、弧、弦之间关系定理证明圆中的线段相等或者弧相等3.课堂总结知识梳理（1）圆心角概念：顶点在圆心的角叫圆心角（2）圆是轴对称图形，也是中心对称图形（3）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等重难点归纳（1）在同圆或者等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的相等，就可以推出其他两个量对应相等（2）圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件不可忽略（3）由圆心角、弧、弦之间关系定理可以求得圆中的角度，证明圆中的线段和弧相等.（三）课后作业基础型自主突破1．交通工具上的轮子都是圆做的，这是运用了圆的性质中的____.【知识点】圆的旋转不变性【解答过程】因为圆绕着圆心旋转任意角度，新图形与原图形重合，这样保证了交通工具运动中的平稳性，所以轮子会做成圆形【思路点拨】根据圆的旋转不变性可以为我们生活带来便利【答案】圆的旋转不变性2．如图，AB和DE是的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=【知识点】圆心角、弧、弦之间关系定理，平行线的性质【解答过程】连接OC，∥DE，，，，,,.【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，再由角的关系可以得到弦的关系【答案】33.如图，AB是直径，C、D在上，AD∥OC，，连接AC，则等于（）A.15 B.30 C.45 D.60【知识点】平行线的性质，等腰三角形性质，圆心角、弧、弦之间关系定理【解答过程】AD∥OC，【思路点拨】由平行线可以得到角的关系，此题注意隐藏条件是圆的半径处处相等【答案】B4.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A.51° B.56° C.68° D.78°【知识点】圆心角、弧、弦的关系【数学思想】数形结合【解答过程】解：如图，∵，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选：A．【思路点拨】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【答案】A5．在⊙O中，圆心角，则两条弧AB与弧CD关系是（）A. B. C. D.不能确定【知识点】圆心角、弧、弦的关系【解答过程】作的角平分线OE，，，，.【思路点拨】当题目中出现二倍关系时，要善于把二倍关系分解一下【答案】A6．如图，以的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若，求弧BE的度数和弧EF的度数.【知识点】平行四边形的性质，弧的度数【解答过程】连接AE，，ABCD为平行四边形，，，，，的度数为，，，，的度数为.【思路点拨】圆心角有角度，弧有角度也有长度，弦有长度，圆可以和以前学过的知识结合起来考线段长和角度【答案】的度数为，的度数为.能力型师生共研7.如图，，，，，求度数.【知识点】圆心角、弧、弦的关系，全等三角形判定，等腰三角形性质【解答过程】连接OB、OD，，，，，，又OB=OD≌.【思路点拨】利用圆的半径相等常常可以建立全等三角形【答案】25°8．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为．【知识点】垂径定理，勾股定理【数学思想】数形结合【解答过程】连接OC，如图．∵点E是的中点，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．【思路点拨】由垂径定理有OD⊥BC，得BD=3．由勾股定理列方程可求得⊙O的半径，从而求得AC长。【答案】89.如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过P点的两条弦，且∠DPB=∠EPB

求证：CD=EF，弧CE=弧DF。【知识点】等弦心距对等弦定理全等三角形等式的性质【数学思想】数形结合【解答过程】证明：过圆心O作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∠DPB＝∠EPB，OP＝OP∴△OMP≌△ONP（AAS）

∴OM＝ON

∴CD＝EF

∴劣弧CD＝劣弧EF

∴劣弧CD－劣弧CF＝劣弧EF－劣弧CF

∴弧CE＝弧DF【思路点拨】由角等构造全等三角形，根据弦心距相等推得弦等【答案】弧CE＝弧DFCD＝EF。10.如图，圆中有两条相等的弦AC与BD相交与点P，∠ADB=∠BCA，求证：PO⊥AB.【知识点】等对等定理全等三角形的判定等腰三角形的性质【数学思想】数形结合【解答过程】∵AC=BD,∴弧AC=弧BD，∴弧AC－弧DC=弧BD－弧CD，即弧AD=弧BC，∴AD=CB又∠ADB=∠BCA∠DPA=∠CPB∴△ADP≌△BCP∴AP=BP∵O是AB中点∴PO⊥AB【思路点拨】由等对等定理可以实现弦等和弧等之间的相互转化。【答案】PO⊥AB自助餐1．如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对【知识点】圆心角、弧、弦的关系【解答过程】由圆心角与弧的关系知，在同圆或等圆中，圆心角等，其所对的弧相等，故选D【思路点拨】在圆心角、弧、弦的关系定理中，“在同圆或等圆中”这个前提不能忽略【答案】D 2.如图，中，如果弧，那么（）A.AB=AC B.AB=2AC C. D.【知识点】圆心角、弧、弦的关系定理，三角形三边关系【解答过程】取中点D，连接AD，BD，，，，，.【思路点拨】题目中若出现二倍关系，常常要把二倍转化为一倍【答案】C3.如图，已知AB是O的直径，C、D是的三等分点，，则是（ ）A. B. C. D.【知识点】弧的度数，圆心角定义【解答过程】C，D是的三等分